Formules emprunts obligataires Sommaire Formules emprunts obligataires1 I Emprunts obligataires avec obligations remboursées au pair (R=C)2 1 Cas général2 2 Annuités constantes3 3 Amortissements constants3 4 In fine3 II Emprunts obligataires avec obligations remboursées à une valeur différente du pair (R>C)4 1 Cas général4 2 Annuités constantes5 3 Amortissements constants5 4 In fine5 III Taux de rendement et taux de revient6 1 Taux de rendement moyen6 2 Taux de rendement effectif6 3 Taux de revient6 1/6 http://maths13freefr
I Emprunts obligataires avec obligations remboursées au pair (R=C) 1 Cas général F 0 Capital emprunté : NE (= NC si E=C ) Dette en début d'année : D 0 =NC F 1 F 2 F 3 a p =I p m p D p =d p C I p =D p 1 i=d p 1 Ci et c=ci m p = p C a p =d p 1 Ci p C F 4 F 5 F 6 NC= a 1 1 C i a n d n 1 = n = m n C = C 1 i P 1 : Relation entre nombre d'obligations émises et annuités P 2 : Relation entre annuités et amortissements P 3 : Relation entre nombre d'obligations émises et remboursées P 4 : Nombre d'obligations amorties après le p ieme P 5 : Nombre d'obligations encore vivante après le p ieme NC = a k 1 i k a p 1 a p = p 1 C p C 1 i N = r p = k =p k=1 d p =N r p Tableau d'amortissement : Année d p 1 Dette en début d'année D p 1 1 2 3 p n 1 n N d 1 d 2 d p 1 d n 2 d n 1 D 0 =NC D 1 =d 1 C D 2 =d 2 C D p 1 =d p 1 C D n 2 =d n 2 C D n 1 =d n 1 C Intérêts de p Amortisseme l'année I p nt de l'année m p I 1 =NCi I 2 =d 1 C i I 3 =d 2 C i I p =d p 1 C i I n 1 =d n 2 C i I n =d n 1 Ci 1 p n 1 n m 1 = 1 C m 2 = C m 3 = 3 C m p = p C m n 1 = n 1 C m n = n C Annuités a p d p Dette au terme de l'année D p a 1 =NCi 1 C a 2 =d 1 Ci C a 3 =d 2 Ci 3 C a p =d p 1 Ci p C a n 1 =d n 2 Ci n 1 C a n =d n 1 Ci n C d 1 =N 1 d 2 =d 1 d 3 =d 2 3 d n 1 =d n 2 n 1 d n =d n 1 n =0 D 1 =d 1 C D 2 =d 2 C D p 1 =d p 1 C D n 2 =d n 2 C D n 1 =d n 1 C D n =0 2/6 http://maths13freefr
2 Annuités constantes P 0 ' : Généralités P 1 ' : Relation entre nombre d'obligations émises et annuités constantes P 2 ' : Loi de progression du nombre d'obligations amorties Loi de progression des annuités P 3 ' : Relation entre nombre d'obligations émises et nombre d'obligations amorties au premier P 4 ' : Nombre d'obligations amorties après le p ieme P 5 ' : Nombre d'obligations encore vivante après le p ieme a =annuité constante théorique, a 1 a n sont sensiblement constantes a NC=a 1 1 i n i p 1 = p 1 i p = 1 1 i p 1 a p 1 a p =0 N = 1 1 i n 1 i 1 i p 1 r p = 1 =N 1 i p 1 i 1 i n 1 d p =N 1 i n 1 i p 1 i n 1 3 Amortissements constants P 0 ' ' : Généralités P 1 ' ' : Relation entre nombre d'obligations émises et annuités P 2 ' ' : Loi de progression des annuités Loi de progression des intérêts P 3 ' ' : Relation entre nombre d'obligations émises et nombre d'obligations amorties à chaque m 1 = =m n =m, 1 = = n =, m= C NC = a k 1 i k a p 1 a p = Ci et a p =a 1 p 1 Ci I p 1 I p = Ci et I p =I 1 p 1 Ci N =n P 4 ' ' : Nombre d'obligations amorties après le p ieme r p = p P 5 ' ' : Nombre d'obligations encore vivante après le p ieme d p = n p 4 In fine P 0 ' ' ' : Généralités P 1 ' ' ' : Relation entre nombre d'obligations émises et intérêts P 2 ' ' ' : Loi de progression des annuités Loi de progression du nombre d'obligations amorties P 3 ' ' ' : Relation entre le nombre d'obligations émises et dernier amortissement I 1 = =I n =I =NC i NC= I i a p =NCi pour p n et a n =NC 1 i p =0 pour p n et n =N NC=m n P 4 ' ' ' : Nombre d'obligations amorties après le p ieme r p =0 Pour p n et r n =N P 5 ' ' ' : Nombre d'obligations encore vivante après le p ieme d p =N Pour p n et d n =0 3/6 http://maths13freefr
II Emprunts obligataires avec obligations remboursées à une valeur différente du pair (R>C) 1 Cas général F 0 Capital emprunté : NE (= NC si E=C ) Dette en début d'année : D 0 =NR et i' = C R i F 1 F 2 F 3 a p =I p m p D p =d p R I p =d p 1 Ci=D p 1 i '=d p 1 Ri' et c=ci m p = p R a p =d p 1 Ci p R=d p 1 Ri ' p R F 4 F 5 F 6 NR= a 1 1 R i ' a n d n 1 = n = m n R = R 1 i ' P 1 : Relation entre nombre d'obligations émises et annuités P 2 : Relation entre annuités et amortissements P 3 : Relation entre nombre d'obligations émises et remboursées P 4 : Nombre d'obligations amorties après le p ieme P 5 : Nombre d'obligations encore vivante après le p ieme NR = a k 1 i ' k a p 1 a p = p 1 R p R 1 i' N = r p = k =p k=1 d p =N r p Tableau d'amortissement : Année d p 1 Dette en début d'année D p 1 1 2 3 p n 1 n N d 1 d 2 d p 1 d n 2 d n 1 D 0 =NR D 1 =d 1 R D 2 =d 2 R D p 1 =d p 1 R D n 2 =d n 2 R D n 1 =d n 1 R Intérêts de p Amortisseme l'année I p nt de l'année m p I 1 =NCi I 2 =d 1 C i I 3 =d 2 C i I p =d p 1 C i I n 1 =d n 2 C i I n =d n 1 Ci 1 p n 1 n m 1 = 1 R m 2 = R m 3 = 3 R m p = p R m n 1 = n 1 R m n = n R Annuités a p d p Dette au terme de l'année D p a 1 =NCi 1 R a 2 =d 1 Ci R a 3 =d 2 Ci 3 R a p =d p 1 Ci p R a n 1 =d n 2 Ci n 1 R a n =d n 1 Ci n R d 1 =N 1 d 2 =d 1 d 3 =d 2 3 d n 1 =d n 2 n 1 d n =d n 1 n =0 D 1 =d 1 R D 2 =d 2 R D p 1 =d p 1 R D n 2 =d n 2 R D n 1 =d n 1 R D n =0 4/6 http://maths13freefr
2 Annuités constantes P 0 ' : Généralités P 1 ' : Relation entre nombre d'obligations émises et annuités constantes P 2 ' : Loi de progression du nombre d'obligations amorties Loi de progression des annuités P 3 ' : Relation entre nombre d'obligations émises et nombre d'obligations amorties au premier P 4 ' : Nombre d'obligations amorties après le p ieme P 5 ' : Nombre d'obligations encore vivante après le p ieme a =annuité constante théorique, a 1 a n sont sensiblement constantes a NR=a 1 1 i' n i' p 1 = p 1 i ' p = 1 1 i ' p 1 a p 1 a p =0 N = 1 1 i' n 1 i ' 1 i' p 1 r p = 1 =N 1 i' p 1 i ' 1 i' n 1 d p =N 1 i' n 1 i' p 1 i' n 1 3 Amortissements constants P 0 ' ' : Généralités P 1 ' ' : Relation entre nombre d'obligations émises et annuités P 2 ' ' : Loi de progression des annuités Loi de progression des intérêts P 3 ' ' : Relation entre nombre d'obligations émises et nombre d'obligations amorties à chaque m 1 = =m n =m, 1 = = n =, m= R NR = a k 1 i ' k a p 1 a p = Ri '= Ci et a p =a 1 p 1 Ci I p 1 I p = Ri' = Ci et I p =I 1 p 1 Ci N =n P 4 ' ' : Nombre d'obligations amorties après le p ieme r p = p P 5 ' ' : Nombre d'obligations encore vivante après le p ieme d p = n p 4 In fine P 0 ' ' ' : Généralités P 1 ' ' ' : Relation entre nombre d'obligations émises et intérêts P 2 ' ' ' : Loi de progression des annuités Loi de progression du nombre d'obligations amorties P 3 ' ' ' : Relation entre le nombre d'obligations émises et dernier amortissement I 1 = =I n =I =NC i=nri' NR= I i' a p =NCi=NRi' pour p n et a n =NR 1 i' p =0 pour p n et n =N NR=m n P 4 ' ' ' : Nombre d'obligations amorties après le p ieme r p =0 Pour p n et r n =N P 5 ' ' ' : Nombre d'obligations encore vivante après le p ieme d p =N Pour p n et d n =0 5/6 http://maths13freefr
III Taux de rendement et taux de revient 1 Taux de rendement moyen C'est le taux t tel que : NE = a k 1 t k Expression Si R=C Si R C NE=NC Annuités constantes NE=a 1 1 t n t i 1 1 t n 1 1 i n t i ' 1 1 t n NE=NR 1 1 i' n t 2 Taux de rendement effectif ( R=C ou R C ) C'est le taux t pour un obligataire, où x est la date de remboursement de l'obligation Si x=1, E= c R 1 t 1 = c R 1 t Si x=2, E=c 1 t 1 c R 1 t 2 Si x 2, E=c 1 1 t x R 1 t x t 3 Taux de revient C'est le taux r tel que : NE F = a k 1 r k Expression Si R=C Si R C Annuités constantes NE F =a NE F =NC 1 1 r n r i 1 1 r n 1 1 i n r i' 1 1 r n NE F =NR 1 1 i' n r 6/6 http://maths13freefr