Mathématiques financières

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1 Mathématique financière à court terme I) Les Intérêts : Intérêts simples Mathématiques financières - Intérêts terme échu et terme à échoir - Taux terme échu i u équivalent à un taux terme à échoir i r - Intérêt simple post compté ou in fine o Intérêt Payable à l échéance IPE o Intérêt Payable d avance IPA - Intérêt simple précompté ou taux d escompte Conventions de durées - Les conventions de paiements - Les conventions de bases o Jours o années Le taux composé, actuariel et continu : - taux actuariel - taux continu Les conversions de taux - Conversion d un taux simple en taux actuariel - Conversion d un taux simple en taux continu - Conversion d un taux actuariel en taux continu Taux nominal - Taux proportionnel Taux équivalent - Taux nominal - Taux proportionnel - Taux équivalent - Relation entre le taux proportionnel et le taux équivalent Valeur acquise, valeur présente

2 II) Annuités et rentes Annuités - série d annuités constantes immédiates payables en fin de période o Valeur actuelle V O o Calcul de l annuité constante o Valeur acquise V n d une o Relation valeur acquise et valeur présente - série d annuités en progression géométrique immédiates payables en fin de période o la valeur actuelle V O o la valeur acquise V n o Relation valeur acquise et valeur présente - série d annuités constantes immédiates payables en fin de période o Valeur actuelle o Calcul de l annuité constante o Valeur acquise o Relation valeur acquise et valeur présente Rentes - Rente immédiate constante versée annuellement d avance

3 Annuités et rentes Une annuité est un règlement périodique, la période n est pas nécessairement l année. On désigne par suite d annuité une suite de règlements à intervalle de temps constant. On appel rente le bénéfice d une série d annuités, elle peut être - certaine quand le nombre de ces termes est fixé à l avance. - Aléatoire quand le versement de ces termes est interrompu par la survenance d un événement que l on ne peut prévoir à l avance. - Temporaire lorsque le nombre de termes est fini - Perpétuelle lorsque le nombre de termes est infini - à termes constants (annuité égales) ou variables - à termes échus ou à termes à échoir - immédiates ou différés Les versements sont toujours périodiques. La période peut être l année ou toute autre durée. Si elle est différente de l année le terme annuité devient impropre on parle alors semestrialité, trimestrialité, mensualité.. Immédiate, différée Paiement : fin début de période

4 Valeur actuelle d une série d annuités constantes immédiates payables en fin de période Avec a = annuité, i = taux d intérêt annuel, V 0 =Valeur actuelle, n = nombre d annuité constantes versées en fin de période Suite géométrique de raison En posant la valeur présente de 1 par période

5 Calcul de l annuité constante payable en fin de période Cas de la rente perpétuelle

6 Valeur acquise d une série d annuités constantes payable en fin de période Avec a = annuité, i = taux d intérêt annuel, V 0 =Valeur actuelle de la dette de l emprunteur Suite géométrique de raison Relation valeur acquise et valeur présente On pose Valeur acquise en n de versement unitaire à chaque période pendant n périodes Or on a vu que On constate que

7 Valeur actuelle d une série d annuités constantes payable en fin de période avec un différé de d périodes Avec a = annuité, i = taux d intérêt annuel, V 0 =Valeur actuelle, n = nombre de périodes de versement; annuité constantes versées en fin de période d = différé Suite géométrique de raison Calcul de l annuité constante payable en fin de période

8 Cas de la série d annuités perpétuelle constantes payable en fin de période avec un décalage de d périodes

9 la valeur actuelle V O d annuités en progression géométrique, de versements de fin de période La formule entre parenthèse est une suite géométrique composée de n termes, de premier terme 1 et de raison q avec

10 Si i <> z la valeur actuelle V 0 d annuités perpétuelles en progression géométrique, de versements de fin de période

11 la valeur acquise V n d annuités en progression géométrique, de versements de fin de période est Progression géométrique de raison Si z< i

12 Si z= i

13 Valeur actuelle d une série d annuités constantes payable en début de période Avec a = annuité, i = taux d intérêt annuel, V 0 =Valeur actuelle de la dette de l emprunteur Suite géométrique de raison On sait que

14 Calcul de l annuité constante payable en début de période Or donc

15 Valeur acquise d une série d annuités constantes payable en début de période Avec a = annuité, i = taux d intérêt annuel, V 0 =Valeur actuelle de la dette de l emprunteur Suite géométrique de raison On a vu que

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17 Relation entre valeurs acquises

18 Le fractionnement des annuités Si l on fractionne l annuité a annuelle en k «annuités» par an de montant avec k entier positif, les annuités mensuelles sont partiellement anticipées, la suite d annuités vos donc plus cher que la rente originale. Si k=1 alors on retrouve la formule de l annuité annuelle à terme échu

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20 Supposons maintenant que l on travail avec un taux proportionnel Relation entre V p0 et V 0

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22 Supposons maintenant que l on travail avec un taux équivalent Verification de la relation V e0 et V 0

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24 Rentes Une rente certaine est une série d annuités de 1 reçues par le rentier quelque soit sont état. Notation versement de r chaque année pendant n années à terme échu. La rente peut être - Immédiate, différée - Constant, croissante - d avance, à terme échu Rente immédiate constante versée annuellement d avance versement de 1 chaque année pendant n années d avance. Avec versement de 1 chaque année pendant n années à terme échu. Rente différée d périodes versée annuellement d avance versement de 1 chaque année pendant n années à terme avance.

25 Emprunt indivis Les remboursements Un emprunt indivis est - un emprunt dont le versement par le préteur s effectue en une seule fois à une date 0. - Le remboursement du principal s effectue de manière progressive avec une périodicité constante. A l échéance de chacune des annuités, l emprunteur rembourse en plus de remboursement du principal, les intérêts échus correspondant au capital restant dû en début de la période considérée. La somme de l intérêt et de l amortissement du capital correspond au montant de l annuité. Le tableau d amortissement Emprunt - Capital emprunté V 0 - durée n - au taux d intérêt i - Capital amorti à chaque échéance - Intérêts a chaque échéance - Total échéance a p = I p + A Période Annuité a t Intérêts de la période Amortissement Capital remboursé Capital restant dû 0 V 0 1 a 1 = I 1 +A 1 I 1 = V 0 x i r 1 V 1 = V 0 - r 1 2 a 2 = I 2 +A 2 I 2 = V 1 x i r 2 V 2 = V 1 - r 2 P a p = I p +A p I p = V p-1 x i r p V p = V p-1 - r p N a n = I n +A n I n = V n-1 x i r n 0 Amortissement in fine

26 L amortissement in fine consiste à rembourser le capital en une seule fois à l échéance du prêt. Les intérêts peuvent être payé périodiquement ou à l échéance. Ce type de prêt s applique sur des durées courtes et les intérêts sont calculés selon la méthode des intérêts simples

27 Amortissement constant L amortissement constant consiste à rembourser une partie identique du capital à chaque période. Les intérêts de chaque échéance sont calculés sur le capital restant dû à chaque début de période. Emprunt - Capital emprunté V 0 = durée n = 10 - au taux d intérêt i = 5% - Capital amorti à chaque échéance - Intérêts a chaque échéance - Total échéance a p = I p + A - Capital restant dû R p = R p-1 - r p Tableau d amortissement Echéance Total intérêts Capital Capital échéance remboursé restant dû 5% Total

28 Amortissement à échéances constantes Calcul du premier amortissement r 1 de l emprunt Le remboursement constant a comprend - une part r d amortissement de capital - une part I d intérêt sur le capital restant dû Avec et

29 Calcul du deuxième amortissement de l emprunt avec Généralisation

30 Calcul du capital remboursé Rp après le paiement du P ieme remboursement

31 Calcul du capital remboursé r p au P ieme remboursement Or on peut écrire le taux i comme étant

32 Capital du restant dû V p après le paiement du P ieme remboursement Suite géométrique de n-p termes de raison En remplacent a dans cette formule par

33 On obtient V p en fonction de V 0

34 Une autre manière de calculer le montant restant dû

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36 Intérêts payer I p au P ieme remboursement

37 Intérêts cumulé payer I Tp pour l emprunt après le p paiement Le paiement périodique s écrit L amortissement périodique de capital s écrit

38 Calcul du capital remboursé Rp après le paiement du P ieme remboursement

39 Intérêts total payer I T pour l emprunt Le paiement périodique s écrit L amortissement périodique de capital s écrit

40 Tableau d amortissement Emprunt Durée année 10 capital initial taux nominal 5.00% annuités constantes Echéance Total échéance Intérêts Capital remboursé Capital restant dû 5% Total

41 Valeur actuelle d annuité en progression géométrique Progression géométrique de raison (1+z) Ils croîtront chaque année de z% Avec a = annuité, i = taux d intérêt annuel, V 0 =Valeur actuelle de la dette de l emprunteur En mettant en facteur on obtient La formule entre parenthèse est une suite géométrique de n termes de premier terme 1 et de raison q = Calcul de la première annuité a 1

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43 mensualités progressive de z% chaque année - Mensualités progressives de z% par an, - TEG = i, - Taux périodique i p = i/k, - k=nombre de période par ans

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45 Calcul du premier amortissement r 1 de l emprunt Le remboursement constant a comprend - une part d amortissement de capital A - une part d intérêt sur le capital restant dû I Avec et

46 Calcul du deuxième amortissement de l emprunt Avec

47 Calcul du troisième amortissement de l emprunt Avec

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49 Calcul du capital remboursé Rp après le paiement du P ieme remboursement

50 Capital du capital restant dû V p après le paiement du P ieme remboursement

51 calculer le capital restant dû à la fin de la p eme mensualité. - Mensualités progressives de z% par an, - TEG = i, - Taux périodique i p = i/k, - K = nombre de période par ans - n= nombre d années du crédit - p = période de la dernière mensualité - n p = nombre années entières écoulées après le paiement de la p eme échéance - Si k = 1 - n p = n-p et n- n p =p Intérêts cumulé payer I Tp pour l emprunt après le p paiement

52 Le paiement périodique s écrit

53 mensualités progressive de z% chaque année une autre approche : Valeur acquise des mensualités - Mensualités progressives de z% par an, - TEG = i, - Taux périodique i p = i/k, - k=nombre de période par ans Mensualités progressives de z% chaque années, il est possible de ce ramener d u n paiement mensuel à une annuité annuelle. En effet on peut considérer que l annuité annuelle dans le cas de paiements mensuels n est autre que la valeur la valeur acquise S 12 d une suite de mensualités certaines en adaptant le taux d intérêt d un taux périodique en un taux équivalent annuel i eq Dès lors la mensualité n est autre que l annualité rapportée à S 12 Recherche du taux équivalent annuel Recherche S n : valeur atteinte a l échéance d une suite de mensualités certaines

54 Calculer le montant des intérêts versés à la fin de la première année. Calcul capital rembourser r 1 de l emprunt la première année Le remboursement constant a comprend - une part d amortissement de capital r - une part d intérêt sur le capital restant dû I l intérêt est ici payer au taux i donnant le taux périodique i p Le taux i eq ne servant qu a introduire les mensualité sous forme de valeur de paiement annuel. Avec et

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58 Intérêts payé à la fin de la première année. Intérêts payé la deuxième année année.

59 Usufruit et nue propriété des emprunts indivis Considérons un emprunt indivis. V = valeur actuelle de l emprunt K = capital restant dû Il existe un taux x tel qu il y ait égalité entre V et le total des valeurs actuelles des annuités non échues. La p annuité est de la forme : a p = ik p-1 + A p Ou K p-1 est le capital restant dû avant la p échéance A p est l amortissement de capital de la p I est le taux d intérêt nomialde l emprunt. Si l on se place avant le premier versement annuité à échoir on obtient : On appel : usufruit total U la valeur actuelle au taux x des intérêts ik p-1 Nue propriété totale P la valeur actuelle au taux x des amortissements A p Or Ap = K p-1 -K p

60 D ou ip + xu = ik Comme P + U = V P = V-U On en déduit Si i=x P + U = K = V Si la valeur V d un emprunt est égale à sa valeur nominale le taux effectif x est égal au taux nominal.