1 EXERCICE 1 xi CORRECTION DES EXERCICES SUR LES GRAPHIQUES Ni fréquences absolues ou Fréquences relatives en % effectifs 1 2570 19.15 =2570/13420 19.15 2 3660 27.27 46.42 3 2650 19.74 66.16 4 1980 14.75 80.91 5 1240 9.23 90.14 6 1320 9.83 100% TOTAL 13 420 100% Nombre de ménages ayant moins de 4 personnes à charge : 66.20%*13420 = 8880 Ou 2570+3660+2650 Cumul croissant des fréquences relatives en% EXERCICE 2 : Les classes n étant pas d amplitudes égales, il faut rectifier les fréquences CLASSES Amplitude avec Fréquences Fréquences F relatives CUMUL une unité =200 rectifiées Fr relatives rectifiées 300,499 1 50 10% 0.10 0.10 500,699 1 150 30% 0.30 0.40 700,1099 2 137.50 55% 0.275 0.95 1100, 1299 1 25 5% 0.05 1 Nous avons choisi de fermer le dernier intervalle à 1299 mais il est possible de faire autrement au choix de l étudiant. nombre d appareils ayant une durée de vie < à 900 heures : Pour 699, on a un cumul de 200 appareils Pour 1099, on a un cumul de 475 On fait la différence entre les deux lignes soit : pour 400, on obtient 275 On pose x, pour (900-699) heures Et par simple produit en croix, on obtient : ((900-699)*-275)/-400 = 138 On a donc 200+138 = 338 appareils ayant de 900 heures de durée de vie. EXERCICE 3 : population : entreprises classées par CA Caractère : CA. Critère quantitatif et variable continue puisqu il s agit d intervalles Classes xi Ni Amplitude avec unité = 0.25 Fréquences rectifiées Fréquences relatives en % On part de zéro pour arriver à 100% CUMUL CROISSANT En % 0,0.25 13 712 1 13 712 20.27 20.27 100 0.25,0.5 10 674 1 10 674 15.78 36.05 73.73 0.50,1 11 221 2 5610.5 16.59 52.64 63.95 1,2.5 15 496 6 2 582.67 22.91 75.55 47.36 2.5,5 10 043 10 1 004.30 14.85 90.4 24.45 5,10 3347 20 167.35 4.99 95.39 9.6 10,10.25 3147 1 3147 4.61 100 4.61 Là encore, vous avons fermé le 1 er et le dernier intervalle à notre convenance. Vous devez prendre la borne supérieure pour le cumul croissant et la borne inférieure pour le cumul décroissant. On part de 100% pour arriver à zéro CUMUL DECROISSANT En % EXERCICE 4 : le corrigé ne peut vous être fourni puisque les données sont variables en fonction du moment où vous traiterez l exercice.
2 CORRECTION DES EXERCICES SUR LES VALEURS EXERCICE 1 Calculs des fréquences rectifiées avec une unité =10 25 25 6 1.90 0.05 Classes modales : il s agit d une distribution bi modale 30,40 et 40,50 Moyenne : Σxini/Σni = 74 Médiane = 50 La fréquence de la médiane est de : CUMUL / 2 SOIT 100/2 =50. Le cumul de 50 est atteint à la borne supérieure du 2 ème intervalle soit 50. EXERCICE 2 Fréquences rectifiées Classes ni CUMUL Fr rectifiées avec unité =10 10.20 1 1 1 20,30 3 4 3 30,40 7 11 7 40,60 44 55 22 60,80 36 91 18 80,120 9 100 2.5 Classe modale : 40,60 Médiane F(M) = 100/2 = 50 Cela se situe entre les valeurs 11 et 44. Il faut donc faire une interpolation linéaire (simple «produit en croix!) Bornes supérieures Pour 40 11 Pour 60 55 Variation 20-44 = 1 ère ligne 2 ème ligne Cumul pour la borne supérieure X (50-11) = valeur que vous cherchez 50 le 1 er cumul On en tire X = 17.72 soit une médiane de 40+17.72 = 57.72 Surface moyenne des logements 2 pièces : ( 15*0+25*1+35*6+50*8+70*3)/18 = 46.94 m2 Investissements dans 10 appartements : surface moyenne = (25*3+70*5+100*2)/10=62.50m2 62.50*10 000 F *10 = 6 250 000 F EXERCICE 3 Représentation graphique de la médiane surfaces ni Cumul croissant 0.10 16 16 10,20 30 46 20,40 18 64 40,70 10 74 70,100 6 80 La fréquence de la médiane F(M)=80/2 = 40. Cela se situe entre 16 et 46 Pour 10 16 Pour 20 46 Variation 10-30 X (40-16) Donc X = ((40-16)*-10)/-30 = 8 La médiane est de 10+8 = 18 m2
EXERCICE 4 Nombre moyen des enfants = 220/110 = 2 enfants Mode = 1 et 2 Médiane = 1.37 3 CORRECTION DES EXERCICES SUR l AJUSTEMENT EXERCICE 1 : Xi 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 TOTAL xi 11400 Yi 500 484 460 380 374 326 230 210 184 80 50 30 TOTAL yi 3308 Xi yi 400*500 500*484 etc TOTAL XIYI =2477400 Xi² 160000 etc TOTAL XI²=12260000 Yi² 250000 etc TOTAL YI²=1227064 Prix de vente permettant de «toucher» 50% de la clientèle La population étant de 500, 50% représente 250 étudiants. On détermine en premier lieu une tendance à partir de la méthode des moindres carrés : N=12 Moyenne des xi = 11400*1/12 = 950 Moyenne des yi = 3308/12 = 275.67 Coefficient directeur A=(Σxiyi-n*x*y)/(Σxi²-nx²) a = -0.46517 Constante b = 717.58 On a donc : y= ax+b Y= -0.46x+717.58 Vous pourrez alors répondre à un bon nombre de questions à partir de cette équation où x représente le budget de publicité et où y représente le nombre d étudiants. Si nous remplaçons y par 250, on obtient : 250=0.46*x +717.58 On a alors x=1005 qui correspond à un prix de vente permettant de captiver 250 personnes Lancement rentable avec 200 logiciels à 1100 Vérifions en remplaçant x par 1100 : y=-0.46*1100 + 717.58 = 206 C est donc rentable puisque > à 200 Si le prix de vente = 990, il faut en vendre : y=-0.46*990 +717.57 = 263 logiciels Ventes de CD rom si le budget de pub est nul : il faut réaliser un ajustement par la méthode des moindres carrés et vous devez trouver y= 2.85x+131.01 Si x= 0 alors y=274 CD (arrondi) Si la publicité est de 50 000 Si X = 50 alors x= 132 CD (arrondi) Ventes de 350 CD Si y=350, alors x=76.82 K de publicité EXERCICE 2 L exercice est un peu particulier car vous devez exploiter un tableau à double entrée. Pas de panique! il suffit juste de pondérer les calculs. xi ni yi ni xini yini Xi²ni Yi²ni 45 15 155 13 675 2015 30375 312325 55 47 165 47 2585 7755 142175 1279575 65 35 175 39 2275 6825 147875 1194375 75 24 185 28 1800 5180 135000 958300 90 7 195 1 630 195 56700 40000 330 128 880 128 7965 21970 512125 3784575 N=5 Moyenne des xi = 7965/128 = 62.22 Moyenne des yi = 21 970/128 = 171.64 Σxiyini = 155*45*9+165*45*5+175*45*1+155*55*4+165*55*34+.=1 377 625 Coef directeur a = (1377625-125*62.22*171.64)/(512125-128*62.22²) = 0.65 Constante b = 171.64-(0.65*62.22) = 131.24 Y= 0.65*x + 131.24
4 EXERCICE 3 Moyenne des CA = Σxini/Σni = 158 000/148 = 1067.56 F (prenez les centres de classes comme xi) Classe modale : 700,900 car la fréquence rectifiée est la plus importante Fréquence rectifiée avec unité = 100 8 14 17 15 11 2.4 0.40 Ecart type : il faut d abord déterminer la variance Variance = Σxi²ni/Σni - x² = 186 725 000/148 - (1067.56)² Ecart type = 350.40 Moindres carrés avec une tendance exponentielle : il vous suffit de remplacer les yi soit par log yi soit par ln(yi). xi Yi = log y xiyi Xi² 1 2.94200 2.942 2 3.1613 6.3227 3 etc etc 4 9 ΣXI =45 ΣYi=30.274 ΣxiYi=155.87 Σxi² = 285 Toutes les formules restent les mêmes. Il suffit de remplacer les yi par les Yi que vous venez de trouver Moyenne des xi = 45/9= 5 Moyenne des Yi=30.274/9=3.364 Coef directeur A = 155.87-(9*5*3.364)/(285-9*5²) = 0.075 Constante B = 3.364 0.075*5 = 2.989 On sait que A=log a donc a=10 0.075 = 1.18 B = log b donc b=10 2.989 = 974.98 Remarque : si vous avez pris les logarithmes népériens au lieu des log, il vous suffit à présent de faire : e A et e B On obtient alors y=1.18 x * 974.98 Prévisions pour l année 2003 : x=13 donc y =8 384 La prévision sera fiable si la tendance des années passées se reproduit. CORRECTION DES EXERCICES SUR LES SERIES CHRONOLOGIQUES EXERCICE 1 : On vous fournit les coefficients saisonniers ; il s agit donc d un mouvement saisonnier de type «multiplicatifs». La 1 ère étape du travail est donc de déterminer une droite d ajustement par la méthode des moindres carrés. TRIMESTRES xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Σxi 78 QTES VENDUES yi 25 58 150 220 130 148 260 330 240 325 380 520 Σyi 2786 Xi yi 25 etc Σxiyi 23299 Xi² 1 4 9 etc Σxi² 650 Moyenne des xi = 78/12=6.5 Moyenne des yi = 2786/12=232.1666 Coefficient directeur a = (23299-12*6.5*232.16)/(650-12*6.5²) = 36.29 Constante b = -3.74 On a donc la droite de régression de y en x : y=36.29x 3.74 Prévisions pour le 1 er trimestre 2003 : il s agit de la 13 ème variable : Y=36.29 *13 3.74 = 468 La 2 ème étape du travail serait de déterminer les «rapports à la tendance» puis les coefficients. La travail est donc simplifié puisqu on vous donne les coefficients. Prévisions pour le 1 er trimestre 2003 en tenant compte du mouvement saisonnier : 468* 0.74 (coef du 1 er trimestre) = 346
5 EXERCICE 2 Il s agit là encore d un «mouvement multiplicatif» Méthode des moindres carrés xi yi xiyi Xi² 1 1.1 1.1 1 2 1.2 2.4 4 3 0.9 2.7 9 etc 16 3.7 59.2 256 Σ xi =136 Σyi =31.2 Σxiyi =302.2 Σxi²=1496 Moyenne des xi = 136/16 = 8.5 Moyenne des yi = 31.2/16 =1.95 Coef directeur a = 302.2-(16*8.5*1.95)/(1496-16*8.5²) = 0.108 constante b = 1.025 y = 0.108x+1.025 La 2 ème étape consiste à déterminer les rapports à la tendance en remplaçant x dans la droite par 1 puis par 2, puis par 3,., jusqu à 16. 2EME ETAPE : RAPPORTS A LA TENDANCE 1 2 3 4 1999 1,133 1,241 1,349 1,457 2000 1,565 1,673 1,781 1,889 2001 1,997 2,105 2,213 2,321 2002 2,429 2,537 2,645 2,753 RAPPORT 1ER TRIMESTRE 99 0,108 *1 + 1,025 Je remplace x par 1 puis par 2 etc RAPPORT 2EME TRIMESTRE 99 0,108 * 2 + 1,025 jusqu' 16 3EME ETAPE : CALCUL DES COEFFICIENTS VALEURS OBSERVEES/VALEURS DU TREND 1 2 3 4 1999 0,9709 0,9670 0,6672 1,7845 2000 0,9585 0,8368 0,6176 1,4823 2001 0,8513 0,9501 0,7230 1,4649 2002 0,8646 0,8277 0,7561 1,3440 MOYENNE 0,9113 0,8954 0,6910 1,5189 Pour déterminer la moyenne des coefs, je totalise les colonnes et je divise par le nombre de variables exemple : (0,9709+0,9585+0,8513+0,8646)/4 = 0,9113 pour le 1er trimestre EXERCICE 3 : il s agit ici d un mouvement «additif» 1ère étape : détermination des moyennes mobiles 1 2 je ne peux pas calculer de moyennes 1998 sur les deux premières et les 2 dernières 1999 7,5 8,4375 ATTENTION, à lire le tableau dans 2000 9,375 10,25 l'ordre chronologique 2001 exemple : (8,5*0,5+4+10,5+5,5+11,5*0,5)4 2ème étape : détermination des écarts = données de départ-moyennes mobiles 1998 1 2 1999 3-2,9375 7,5 coef du 1er semestre 1999 2000 2,125-1,75 somme des moyennes moyenne 2,5625-2,34375 0,21875 0,109375 0,109375 ECART 2,453125-2,453125 0 La somme doit être nulle ; on va donc partager le résidu en deux semestres soit
0,21875/2 = 0,109375 Pour obtenir un chiffre égal à zéro, je dois enlever le résidu 6 3ème étape : série désaisonnalisée : données de départ-écarts saisonniers 1 2 1998 6,046875 6,453125 exemple 8,5-2,453125 = 6,046875 1999 8,046875 7,953125 2000 9,046875 10,953125 2001 11,046875 11,953125 4ème étape : moindres carrés 1 6,046875 je détermine y = ax +b 2 6,453125 a =0,884 3 8,046875 b= 4,972 4 7,953125 donc y =0,884x + 4,972 5 9,046875 6 10,953125 Prévisions du 1er semestre 2003 7 11,046875 je remplace x par la 11ème variable 8 11,953125 y = 0,884 *11 + 4,972 36 71,5 = 14,696 CORRECTION DES EXERCICES SUR LES INDICES EXERCICE 1 : Le prix du BORDEAUX a quadruplé : 100*4 = 400 Puis, il a baissé de 40% : 400*0.60 = 240 1.017*1.013*1.012 = 1.0426. Cela signifie que les prix ont augmenté de 4.26% Le taux trimestriel de 4.26% trouvé précédemment correspond au taux annuel suivant : (1.0426) 4 1.1816 soit 18.16%/an EXERCICE 2 : Nous avons converti tous les prix de vente en. On aurait pu faire l exercice avec tous les prix exprimés en francs. Ip 99/97 = 350/396.36 * 100 = 88.30 Les prix ont donc baissé de 11.7% EXERCICE 3 : Indice des prix de LASPEYRES : IpL(ΣP1Qo)/(ΣPoQo)=(4.2*2+70*0.4+5*0.8+5.6*0.3)/(3.8*2+53*0.4+2.73*0.8+3.51*0.3)*100 = 131.35 Les prix ont augmenté de 31.35% selon le calcul en pondération fixe Indice des prix de PAASCHE : IpP(ΣP1Q1)/(ΣPoQ1)=(4.2*1.5+70*0.6+5*0.7+5.6*0.5)/(3.8*1.5+(53*0.6+2.73*0.7+3.51*0.5)*100=132.67 Les prix ont augmenté de 32.67% selon le calcul en pondération variable Indice des prix de FISCHER : (IpL*IpP) = (131.35*132.67)=132 EXERCICE 4: Indice des quantités de LASPEYRES : IpL(ΣQ1Po)/(ΣQoPo) = (2.8*120+18*55+21*8)/(2.6*120+28*55+22*8) *100 = 73.67 Les quantités ont baissé de 26.33% selon le calcul en pondération fixe Indice des prix de PAASCHE : IpP(ΣP1Q1)/(ΣPoQ1)=(170*2.8+60*18+18*21)/(120*2.8+55*18+8*21)*100=129.45 Les prix ont augmenté de 29.45% selon le calcul en pondération variable