OPTIS II Section de Physique ours: Pr. Romuald Houdré Exercices: Nicolas Descharmes Série - corrigé Rappels d optique géométrique 20 février 202 Exercice Tracé de rayons as : Optique de relais = A'B' AB = f f 2 as 2 : La loupe
2 Remarques : = + O A O ' = O ' O A + O ' - Tel que représenté sur la figure O A est une quantité négative (la convention usuelle fixe le sens positif comme allant de la gauche vers la droite). Plusieurs cas peuvent être envisagés: Pour O A < O ' = O, >, si maintenant on place l objet AB en, alors + et l image virtuelle est à l infini. Si finalement on place l objet AB au delà de F, alors d une part l image intermédiaire deviendra réelle, le grandissement sera inversé et il deviendra difficile, selon la longueur focale de la loupe, pour le cristallin de former une image nette sur la rétine. 2- On remarque que l usage de la loupe permet la création d une image intermédiaire agrandie de l objet. Toutefois, la position de cette image est différente de celle de l objet étudié. Le grandissement transverse n est alors plus une bonne mesure du pouvoir «grossissant» de la loupe. De ce fait, il est généralement plus judicieux de qualifier ce dernier en terme de grandissement angulaire qui, lui, est indépendant de la distance de formation de l image.
3 as 3 : Téléobjectif L intérêt principal d un téléobjectif (association d une lentille convergente et divergente comme schématisée dans cet exercice) est d obtenir un objectif photographique à très longue focale (typiquement de 00 mm à 500 mm, mais pouvant aller jusqu à plus de 000 mm) sans devoir placer la lentille objectif à 500 mm (ou mètre!) du capteur pour autant, ce qui serait très peu pratique et à la fois, très encombrant. Exercice 2 Points cardinaux a) Soient les points Y et Y2 appartenant aux plans objet et image respectivement. De façon y 2 générale on a n'θ 2 = A B y. Les plans ici considérés étant conjugués, les points D nθ Y et Y2 sont stigmatiques, i.e. tous les faisceaux émergeant de Y passent par Y2, d où A 0 T(A A )= D b) Grandissement transverse = y 2 / y = A Grandissement angulaire = θ 2 /θ = n /n' D
4 0 T(A A )= c) Quand on multiplie T(A A ) par une matrice de déplacement d quelconque le long de d /n l axe optique, le coefficient reste inchangé, i.e est invariant. On peut donc 0 posé =-V (Vergence) 0 T(A A )= V d) En faisant le produit des trois matrices T(A 2 A )= d'/n' on obtient: 0 V d' d T(A 2 A 2 )= n' n + γ d ʹ a n + V dd ʹ nn ʹ n ʹ V n + V d n d /n, T(A A ) et T(A A 2 )= 0 d Les plans repérés par A 2 et A 2 sont conjugué si n + γ d ʹ a n + V dd ʹ nn ʹ =0 γ On en déduit la relation de conjugaison a d γ d tʹ = Vʹ n = ʹ f On remarquera que les nouveaux grandissements transverse et angulaire sont n ʹ n + V d n respectivement. V d' n' e) Soit x o et x i les positions objet et image définies par rapport à H et H respectivement. et omme =, on obtient relation importante n n' = = ʹ en utilisant la question précédente x o x i f La relation d Abbe (condition d aplanatisme) s écrit n y θ = n' y 2 θ 2. On en déduit la n / n ʹ d où = ʹ relation bien connue pour une lentille mince où H=H x o x i f 0 T(HH )= V n'/n f) Par définition F est l image d un point objet à l infini xo. A partir de la relation de conjugaison on obtient x i = H ʹ F ʹ = f ʹ
5 De même HF = n / n ʹ f ʹ = f g) En utilisant de nouveau la relation de conjugaison on trouve HN = H ʹ N ʹ = f + h) En utilisant la formule de passage pour les grandissements obtenus à la question d) on a: A = V d' n' = V H ʹ S n ʹ et D = n' n + V d HE =+ V (entre les plans principaux = n n et = n' n ) On en déduit EH = f (D ) et SH ʹ = f '(A ) es relations nous montrent que la connaissance de la matrice de transfert d un système optique entre E et S permet de déduire immédiatement H et H. f ʹ. Relations importantes: EH = f (D ) SH ʹ = f '(A ) avec T(ES)= A B D H ʹ F ʹ = f ʹ HF = n / n ʹ f ʹ = f Les points focaux sont repérés à partir des points principaux! 0 T(A A )= γ V t n n' = V = n ʹ f ʹ Important: Tout système optique se ramène à la connaissance de la position des points cardinaux: points principaux (H et H ) et foyers (F et F ). La connaissance de H, H, F et F permet la détermination de tous les rayons traversant le système. (Remarque: à la place des points H, H, F et F on peut évidement choisir comme autre combinaison les points N, N, F et F par exemple.)
6 Deux exemples de construction d image à l aide des points cardinaux : Exercice 3 (supplément) Le télescope de assegrain. On considère un objet situé à l infini, dont les rayons entrent dans le télescope, parallèlement à l axe optique. La relation de conjugaison pour les miroirs M et M 2 nous donne (pour le miroir M) : S A' = 2 S où A est l image de l objet situé à l infini, à travers le miroir M La même relation de conjugaison appliquée au miroir M2, donne : A' + A'' = 2 où A est l image (réelle) de A à travers le miroir M2. L objet étant situé à l infini, l image finale (A ) se forme dans le plan focal image du télescope : A''= F'. D où : F' = En écrivant alors on trouve : A'. 2. A' A' = S A' S = R 2 S et avec S = R 2 R F' = + F' = R 2 + R 2.(R 2 R 2 ) (R R 2 ) Note : on aurait pu obtenir le même résultat en utilisant le formalisme matriciel.
7 2. F sera en S si : R = 3 2 R 2 3. Le rayon parallèle à l axe optique atteignant l extérieur de M est défléchi vers le foyer de de M. Il forme alors un angle α avec l axe optique. On peut donc en déduire la hauteur a 2 à laquelle ce rayon atteint le miroir M 2 et par conséquent le diamètre d ouverture minimal en fonction de a 2. On trouve a 2 = a 3 4. On appelle α 2 l angle formé entre le rayon précédent (réfléchi par M 2 ) et l axe optique, on trouve : α 2 = arctan a R La tache d Airy que l on peut observer dans le plan focal image du télescope assegrain aura alors un rayon : λ R A =.22 2n sinα 2 où n est l indice de réfraction du milieu image (ici n=). Application numérique: R A = 5 µm 5. En appliquant la même formule dans le sens inverse (nous connaissons R A, a et λ) on trouve que cette même résolution serait atteinte avec un télescope dont le miroir primaire mesurerait seulement 25 cm de diamètre! Les capacités de résolution du télescope de 2.4 mètres ne sont donc pas exploitées. La première fonction d'un télescope de grand diamètre est d'être un collecteur de lumière pour l'observation d'objets très peu lumineux. e problème de limitation de la résolution d un télescope par les effets atmosphériques est un défi majeur dans la quête d instruments de résolution toujours plus élevée. Deux solutions existent : - onstruire le télescope en altitude et l équiper d un système de correction active (optique adaptative) exemples : Keck (www.keckobservatory.org), VLT (www.eso.org/public/teles-instr/vlt.html), GranTean (www.gtc.iac.es). - Placer le télescope en orbite exemples : Hubble (www.spacetelescope.org www.nasa.gov/mission_pages/hubble), James Webb Telescope (www.jwst.nasa.gov).