COMPTE RENDU TP PS93 TP n 3 Diffraction de Fraunhofer Objectif : Observer la figure de diffraction d objets à ouverture rectangulaire ou circulaire à l aide d une source laser, d objets diffractant et d une caméra CCD et les comparer à la valeur théorique. Elodie Benezech & Aurélie André 30/03/2011
COMPTE RENDU TP PS93 TP n 3 Diffraction de Fraunhofer EXERCICES PREPARATOIRES : II/ Diffraction par une ouverture rectangulaire : 2.1) La largeur de la frange centrale est, sa longueur. Si est très grand devant. Si on considère et. Alors la largeur de la frange centrale tend vers l infini et sa longueur vers 0. Donc si est très grand devant. La largeur de la frange centrale sera très grande devant sa longueur. On aura donc une droite horizontale. L image est tournée de 90. III/ Diffraction par une ouverture circulaire : 3.1) Dans le triangle du montage, on a. Le rayon limite est atteint pour l angle limite :. 3.2) Le diamètre de la tâche d Airy pour est : 3.3) La rapport 1
MANIPULATIONS : I/ Diffraction par une ouverture rectangulaire : I.I/ Cas d une ouverture carrée Objectif : Observation de la figure de diffraction d une fente rectangulaire, mesure de la largeur de la frange centrale, de l interfrange et du rapport des intensités des franges en comparaison avec les valeurs théoriques, et étude de la reproductibilité de l expérience pour des distances différentes. Nous disposons d une fente rectangulaire de largeur, d un laser infrarouge de longueur d onde, et d une caméra CCD reliée à l ordinateur à l aide d un boitier. Une règle coulissante graduée au millimètre nous permet d ajuster les distances entre la fente et la caméra. Les résultats sont traités à l aide du logiciel Caliens. Nous plaçons notre fente à une distance de la caméra. Après avoir effectué les réglages nécessaires (alignement du laser, de la fente et de la caméra) nous mesurons, à l aide du logiciel, la largeur de la frange centrale, de l interfrange et du rapport d amplitude de l intensité de l image diffractée au premier et au deuxième maximum. Nous effectuons les même mesures pour mesures :. Voici le tableau récapitulatif de nos Distance D 100 cm 105 cm 110 cm Mesure ( 7168 Mesure ( 7392 Mesure ( 8120 Largeur de Théorie ( 6328 Théorie ( 6644 Théorie ( 6961 la tache centrale 13,3 % 11,3% 16,6% Distance Mesure ( 3528 Mesure ( 3640 Mesure ( 3864 horizontale Théorie ( 3164 Théorie ( 3322 Théorie ( 3481 entre 2 11,5 % 9,6 % minima 11,0 % Amplitude Mesure 0,20 Mesure 0,26 Mesure 0,26 relative Théorie 0,36 Théorie 0,36 Théorie 0,36 A2/A1 (2 e maxima / 44,0 % 27,8 % 1 er maxima 27,8 % Voici la méthode de calcul des valeurs théoriques et l erreur relative: Largeur de la tache centrale : La valeur théorique est 2 ce qui vaut Pour D = 1,00m : 2 x 2 x 6328 Pour D = 1,05 m : 2 x 2 x 6644 Pour D = 1,10 m : 2 x 2 x 6961 Distance horizontale entre 2 minima : La valeur théorique est valeurs précédentes, on ne détaillera pas les calculs, soit la moitié des 2
Amplitude relative A2/A1 (2 e maxima / 1 er maxima) : L intensité lumineuse reçue sur la barrette en fonction de sa position s écrit : Or on remarque que les maximums d intensité lumineuse sont pour y = 0. On a alors : De plus elle s annule (est donc minimum) pour Car la fonction cardinal vaut 1 en zéro : Elle est donc maximum en On a donc ( ) et ( ). Soit ( ( ) ( ) ) ( ) 0,36 Cette valeur est indépendante de la distance. Calcul d erreur : relative x100 On ne détaillera pas les calculs. Nous nous intéresseront aux incertitudes de ces mesures en fin de compte rendu. I.II/ Mesure du diamètre d un cheveu Objectif : Observation et mesure de la figure de diffraction d un cheveu, pour en déduire le diamètre du cheveu. Nous disposons du même montage que précédemment, sauf qu au lieu de placer une fente réelle comme objet diffractant, on place un cheveu qui agit strictement comme une fente et nous fournis donc une image de diffraction, en mesurant la largeur de cette figure on peut grâce aux formules précédentes en déduire la largeur de «la fente» donc le diamètre du cheveux. 3
Nous plaçons le cheveu à une distance de la caméra et nous mesurons une largeur de fente centrale de 3584. D après la formule de largeur de la frange centrale : on a : La largeur du cheveu est II/ Diffraction par une ouverture circulaire : Objectif : Observation de la figure de diffraction d une fente circulaire, mesure du diamètre de la tâche d Airy, de la taille de l interfrange et du rapport des intensités en comparaison avec les valeurs théoriques et étude de la reproductibilité de l expérience pour des distances différentes. Nous disposons du même matérielle que dans le cas de l expérience avec la fente «carrée» sauf que nous remplaçons cette fente par une fente circulaire de diamètre Après avoir effectué les réglages et obtenu des courbes satisfaisantes voici le récapitulatif de nos mesures : Distance D 100 cm 105 cm 110 cm Diamètre de la tâche d Airy ( ) Distance entre les 2 premières couronnes noires Amplitude relative A2/A1 (2 e maxima / 1 er maxima Mesure ( 5208 Mesure ( 5488 Mesure ( 5719 Théorie ( 5147 Théorie ( 5404 Théorie ( 5661 1,2% 1,6% 0,9% Mesure ( 2632 Mesure ( 2576 Mesure ( 2296 Théorie ( 2341 Théorie ( 2458 Théorie ( 2575 12,4% 4,4% 10,8% Mesure 0,19 Mesure 0,20 Mesure 0,21 Théorie 0,24 Théorie 0,24 Théorie 0,24 20,8% 16,7% 12,5% Voici la méthode de calcul des valeurs théoriques et l erreur relative: Diamètre de la tâche d Airy : Calcul fait dans l exercice préparatoire pour une ouverture de grâce à la formule étant le rayon de l ouverture. Dans notre cas, on trouve : Pour D = 1,00 m : 5147 Pour D = 1,05 m : 5404 4
Pour D = 1,10 m : 5661 Distance entre les 2 premières couronnes noires : Voici la courbe représentant l intensité relative des couronnes en fonction de la déviation sur l axe des x (fixé par la caméra). Comme il s agit de couronnes on observe bien une symétrie par rapport au zéro étant la tache centrale. Chaque maximum correspond à une couronne lumineuse et les minimums à des couronnes noires. Le tableau suivant nous permet de situer ces couronnes : 0 1 1,22 0 1,63 0,0175 2,33 0 2,68 0,0042 3,33 0 De plus la formule : permet d obtenir le diamètre de la couronne. Comme on veut la distance entre les deux premières couronnes (rouge) on va devoir faire la différence du diamètre de la deuxième (noir) et de celui de la première (bleu). Puis diviser par deux, car on obtient deux fois l inter-couronne (voir dessin ci-dessus). La distance entre les deux premières couronnes noires est donc : ( ) Pour D = 1,00 m : 2341 Pour D = 1,05 m : 2458 Pour D = 1,10 m : 2575 Amplitude relative A2/A1 (2 e maxima / 1 er maxima), a été calculée en exercice préparatoire, elle est indépendante de la distance D et égale à 0,24. Nous avons procédé de la même manière que dans la partie précédente pour le calcul d erreur. 5
III/ Incertitudes : Les incertitudes proviennent de différentes sources : - Du matériel - Des manipulations. En ce qui concerne le matériel, les incertitudes sont systématiques, elles influent sur nos mesures mais sont minimes car nous avons utilisé un matériel adapté à notre expérience. La résolution des appareils nous permet de quantifier ces incertitudes : - L ensemble Caméra + Logiciel nous donnait des distances en micromètre, on évalue l incertitude à la dernière décimale, soit 1 En ce qui concerne les incertitudes dues aux manipulations, elles proviennent : - De la distance D initiale. On les évalue à ½ graduation, soit puisque la règle est graduée au millimètre et que l on règle la distance de la caméra et la distance de la fente. - L incertitude sur la longueur d onde est de - L incertitude sur la fente peut être évaluée à l unité, soit 1 - La distance sélectionnée sur l ordinateur. On l évalue à 100, car elle dépend du point sélectionné comme minimum sur la courbe, qui est évalué par le manipulateur. - L incertitude sur le rayon de l ouverture centrale est évaluée à 1 soit nulle. III.I Diffraction par une ouverture rectangulaire Largeur de la tache centrale On a 2, l incertitude porte sur on a donc Soit, pour D = 1m par exemple : 0,8 % Distance horizontale entre deux minimas est la même car le protocole est identique, et la formule au facteur 2 près. Elle est aussi de 0,8% Amplitude relative des maximas : Pour obtenir ce résultat nous avons avec le même montage que précédemment effectué deux mesures sur le logiciel. Cette valeur est indépendante de la distance, mais les données étant en pourcentage sur le logiciel, il est difficile de calculer l incertitude. Elle est assez élevée car les maximums 1 et 2 sont très proches. Nous 6
avons réalisé qu après avoir effectué nos mesures que nous aurions pu utiliser l outil zoom disponible sur le logiciel pour avoir plus de précision. On peut par contre calculer l incertitude sur les positions. On a :, soit, K une constante. Comme précédemment on a donc à une constante près une incertitude de 2,2% Diamètre du cheveu : Le diamètre du cheveu est calculé à partir de la formule :, on a donc, Or l incertitude sur la mesure de la largeur de la fente sur le logiciel est évaluée à 100 d où : 0,28% ( ) ( ) Le diamètre du cheveu est donc III.2 Diffraction par une ouverture circulaire Diamètre de la tâche d Airy On a, l incertitude porte donc sur, on a donc : Soit pour D = 1 m par exemple, 0,25% Distance entre les deux premières couronnes On a soit, donc comme précédemment, l incertitude est de 0,25%. De même que dans le cas de l ouverture rectangulaire, on ne calculera pas l incertitude sur l amplitude relative. 7