TRAITER L INFORMATION SYSTEMES DE NUMERATION

TRAITER L INFORMATION SYSTEMES DE NUMERATION INTRODUCTION Nous sommes habitués, depuis notre enfance à utiliser le système numérique décimal, à tel point que nous ne voyons même plus la manière dont ce système fonctionne, tant c est devenu un automatisme. Système décimal, pourquoi? Parce qu il utilise une numérotation à 10 chiffres. On dit que c est un système en base 10. Pour la petite histoire, on a utilisé un système base 10 car nos ancêtres ont commencé à compter sur leurs 10 doigts, pas besoin d aller chercher plus loin. les ordinateurs qui fonctionnent en utilisant les propriétés de l électricité, ne connaissent que les 1 ou les 0. C est la raison pour laquelle, dès que l on aborde le monde des systèmes numériques, il est nécessaire pour leur bonne compréhension de connaître certaines bases de numération (binaire, décimale et hexadécimale) et d être capable d effectuer des conversions entre-elles. De plus, ces systèmes pour pouvoir communiquer entre-autre (vers un autre système ou vers l homme) utilisent certains codes (ASCII, ), eux aussi à connaître. Définition : la numération La numération décrit la façon dont les nombres sont représentés. Un système de numération est composé : D un alphabet : les signes ou symboles disponibles pour la représentation des nombres Des règles d écriture : elles définissent comment un nombre est construit à partir des symboles de l alphabet. Exemple : Le système de numération romaine L alphabet : il est composé uniquement de 7 symboles (le 0 n existe pas dans ce système) Symbole romain I V X L C D M Valeur décimale 1 5 10 50 100 500 1000 Les règles d écriture : Un symbole placé à la droite d une autre figurant une valeur supérieure ou égale à la sienne s ajoute à celui-ci. Ex : VI donne 6 COURS BAC S SI TRAITER L INFORMATION - SYSTEMES DE NUMERATION Fabrice DESCHAMPS 1 / 1

Un symbole placé immédiatement à la gauche d un symbole plus fort que lui, indique que le nombre qui lui correspond doit être retranché au nombre qui suit. Ex : IV donne 4 Les valeurs sont groupées en ordre décroissant, sauf pour les valeurs à retrancher selon la règle précédente. Ex : CCXLIII donne 243 Le même symbole ne peut pas être employé quatre fois consécutivement sauf M. Ex : le nombre 9 ne s écrit pas VIIII mais IX. Remarque : Ce système est très mal adapté pour le calcul. LES PUISSANCES DE DIX Pour commencer, rappelons ce que valent les premières puissances de 10 : 10 0 = 1 10 1 = 10 10 2 = 100 10 3 = 1000 10 4 = 10 000 10 5 = 100 000 10 6 = 1000 000 A l aide de ces puissances il est possible d écrire n importe quel nombre entier. 2548 = 2000 + 500 + 40 + 8 Or 2000 = 2 x 1000 = 2 x 10 3 500 = 5 x 100 = 5 x 10 2 40 = 4 x 10 = 4 x 10 1 8 = 8 x 1 = 8 x 10 0 Ce qui donne : 2548 = 2 x 10 3 + 5 x 10 2 + 4 x 10 1 + 8 x 10 0 ECRITURE DE LA BASE La position des chiffres à également une grande importance. Les chiffres les moins significatifs se situent à droite du nombre, et leur importance augmente au fur et à mesure du déplacement vers la gauche. En effet, dans le nombre 502, le 5 à une plus grande importance que le 2. En réalité, chaque chiffre que l on appelle DIGIT, à une valeur qui dépend de son rang. REGLE : On élève la BASE utilisée à la puissance du rang du DIGIT, on multiplie par le chiffre du rang et on additionne l ensemble. Cette règle est applicable dans toutes les bases. COURS BAC S SI TRAITER L INFORMATION - SYSTEMES DE NUMERATION Fabrice DESCHAMPS 2 / 2

Exemples en base 10 Soit le nombre 502 5 0 2 Rang 2 Rang 0 Rang 1 502 = 5 x10 2 + 0 x10 1 + 2 x10 0 Soit le nombre 26043 2 6 0 4 3 Rang 4 Rang 3 Rang 1 Rang 0 Rang 2 26 043 = 2 x10 4 + 6 x10 3 + 0 x10 2 + 4 x10 1 + 3 x10 0 384 625 268 = 3 x10 8 + 8 x10 7 + 4 x10 6 + 6 x10 5 + 2 x10 4 + 5 x10 3 + 2 x10 2 + 6 x10 1 + 8 x10 0 Quand on a compris ce principe, on peut comprendre n importe quel système de numérotation. SYSTEME BINAIRE Pour nous les humains, cela ne pose pas de problème de compter sur nos 10 doigts, mais pour les ordinateurs, cela n est pas possible. Ils ne savent faire la distinction qu entre deux niveaux (présence ou absence de tension). Le système de numérotation décimal est donc inadapté. On comprend ainsi facilement que le seul système adapté est donc un système en base 2, appelé système binaire. Ce système ne comporte que 2 chiffres, le 0 et le 1 qu on appelle BIT (BInary unit ou unité binaire). COURS BAC S SI TRAITER L INFORMATION - SYSTEMES DE NUMERATION Fabrice DESCHAMPS 3 / 3

RAPPEL DE NUMERATION Un mot binaire de «n» bits s écrit avec des éléments binaires prenant pour valeur 0 ou 1. On appelle LSB ( Least Significant Bit ) le bit de poids le plus faible. On appelle MSB ( Most Significant Bit ) le bit de poids le plus fort. Exemple : Mot de 8 bits 1 0 1 0 1 0 0 1 MSB LSB CONVERSION D UN NOMBRE BINAIRE EN DECIMAL Si l on applique le même algorithme pour le binaire que l on a appliqué précédemment pour le décimal, on peut écrire : 1 0 1 0 1 0 0 1 = 1 x 2 7 + 0 x 2 6 + 1 x 2 5 + 0 x 2 4 + 1 x 2 3 + 0 x 2 2 + 0 x 2 1 + 1 x 2 0 = 128 + 0 + 32 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 169 Poids binaires 128 64 32 16 8 4 2 1 Valeur décimale 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 169 1 0 1 0 1 0 0 1 128 + 32 + 8 + 1 = 169 Pour trouver la valeur décimale du mot binaire de 8 bits, on peut aussi l écrire dans un tableau et additionner les poids binaires de chaque colonne dont la valeur est égale à 1. APPLICATION 1 En s inspirant des exemples précédents, convertir les nombres binaires suivants en décimal : 0011 1001 (b) =.... 1100 1011 (b) =......... 1111 0110 (b) =.... 1101 1011 (b) =.... COURS BAC S SI TRAITER L INFORMATION - SYSTEMES DE NUMERATION Fabrice DESCHAMPS 4 / 4

SYSTEME HEXADECIMAL La représentation de nombre binaires n est pas évidente à gérer, et écrire une succession de 1 et de 0 représente une grande source d erreurs. Il fallait donc trouver une solution plus pratique pour représenter les nombres binaires. On a décider de couper chaque OCTET (8 bits) pour en faire deux QUARTETS et de représenter chaque partie par un chiffre. Le système hexadécimal est composé de 16 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Exemple : En binaire : 1 0 1 0 1 0 0 1 mot de 8 bits 1 0 1 0 1 0 0 1 1 x 2 3 + 0 x 2 2 + 1 x 2 1 + 0 x 2 0 = 10 1 x 2 3 + 0 x 2 2 + 0 x 2 1 + 0 x 2 0 = 9 A 9 En hexadécimal : A 9 (A représente 10 en hexadécimal) Comme un QUARTET peut varier de 0000 à 11111, on constate que l on obtient une valeur comprise entre 0 et 15, cela fait 16 combinaisons. Les 10 chiffres du système décimal ne suffisaient donc pas pour coder ces valeurs. Plutôt que d inventer 6 nouveaux symboles, il a été décidé d utiliser les 6 premières lettres de l alphabet comme CHIFFRES. Ce système de numérotation est appelé système HEXADECIMAL ( Base 16) Le système hexadécimal est simplement une représentation plus efficace des nombres binaires qui sont difficiles à manipuler. Chiffres A B C D E F Valeurs 10 11 12 13 14 15 Ainsi 12 s écrit C et 14 s écrit E. Puissance de 16 16 3 16 2 16 1 16 0 Valeur décimale 4096 256 16 1 COURS BAC S SI TRAITER L INFORMATION - SYSTEMES DE NUMERATION Fabrice DESCHAMPS 5 / 5

TABLEAU DE CONVERSION DES DIFFERENTS QUARTET Binaire Hexadécimal Décimal 0000 0 0 0001 1 1 0010 2 2 0011 3 3 0100 4 4 0101 5 5 0110 6 6 0111 7 7 1000 8 8 1001 9 9 1010 A 10 1011 B 11 1100 C 12 1101 D 13 1110 E 14 1111 F 15 CONVERSION D UN NOMBRE HEXADECIMAL EN DECIMAL Là encore, la méthode de conversion étudiée dans le paragraphe précédent va s appliquer. 3D4F (h) = 3 x 16 3 + D x 16 2 + 4 x 16 1 + F x 16 0 = 3 x 4096 + 13 x 256 + 4 x 16 + 15 x 1 = 15 695 (d) 5ACD (h) = 5 x 16 3 + A x 16 2 + C x 16 1 + D x 16 0 = 5 x 4096 + 10 x 256 + 12 x 16 + 13 x 1 = 23 245 (d) APPLICATION 2 En s inspirant des exemples précédents, convertir les nombres hexadécimaux suivants en décimal : 28EF (h) =. ABF9 (h) =. FFEF (h) =. B5D2 (h) =. COURS BAC S SI TRAITER L INFORMATION - SYSTEMES DE NUMERATION Fabrice DESCHAMPS 6 / 6

APPLICATION 4 Compléter le tableau ci-dessous correspondant à un mot de 8 bits. Ce tableau va posséder 2 n combinaisons ( 2 8 combinaisons = 256) ( 256 lignes) 128 64 32 16 8 4 2 1 Valeur Valeur hexadécimale décimale 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 0 0 1 02 2 0 0 0 0 0 0 1 0 03 3 0 0 0 0 0 0 1 1. 53 54. 117 118. 181 182. 252 253 254 1 1 1 1 1 1 1 0 FF 255 1 1 1 1 1 1 1 1 OPERATIONS EN BINAIRE L ADDITION On applique le mécanisme de l addition dans notre système décimal et on l applique à la base 2 207 + 321 = 528 Dans cet exemple, les chiffres de chaque colonne s ajoutent : comme on n atteint jamais 10 ( la base, ne pas l oublier ), il n y a aucun problème. COURS BAC S SI TRAITER L INFORMATION - SYSTEMES DE NUMERATION Fabrice DESCHAMPS 7 / 7

Il en va de même dans les additions binaires suivantes car les totaux ne dépasseront jamais 2 ( valeur de la base binaire ) : 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 101100 100011 + 010001 + 000100 = 111101 = 100111 Addition avec retenue : 1 447 + 223 = 670 Dans cette addition décimale, 7 et 3 donnent 10, c est à dire très précisément la valeur de la base. On écrit alors 0 au-dessous des chiffres 7 et 3 puis on reporte 1 dans la colonne suivante. Nous procèderons exactement de la même façon avec le système binaire. 1 10001 + 01001 = 11010 Dans cette addition binaire, 1 et 1 donnent 2, c est à dire très précisément la valeur de la base. On écrit alors 0 au-dessous des chiffres 1 et 1 puis on reporte 1 dans la colonne suivante. Nous procédons exactement de la même façon qu avec le système décimal. Autre exemples : 1 1 11 100101 101011 + 000101 + 010011 = 101010 = 111110 APPLICATION 5 Effectuer l addition des mots binaires suivants : 111011 + 011101 0111001 + 0111111 10111001 + 01100101 COURS BAC S SI TRAITER L INFORMATION - SYSTEMES DE NUMERATION Fabrice DESCHAMPS 8 / 8

OPPOSE D UN NOMBRE BINAIRE Méthode du complément à deux Pour obtenir l inverse du nombre 10001 On écrit le nombre sur 8 chiffres en rajoutant des 0 devant : 0001 0001 On remplace chaque 0 par 1 et chaque 1 par 0 : 1110 1110 On ajoute 0000 0001 à ce résultat : 1110 1111 Le nombre que l on obtient est appelé inverse ou complément à deux sur huit chiffres du nombre de départ. Vérification : Si l on ajoute deux nombres opposés, on obtient un résultat nul 0001 0001 (b) = + 17 (d) 1110 1111 (b) = - 17 (d) 0000 0000 0 APPLICATION 6 Donner l opposé des mots binaires suivants en notant les phases intermédiaires : 11001 111010 1100111 COURS BAC S SI TRAITER L INFORMATION - SYSTEMES DE NUMERATION Fabrice DESCHAMPS 9 / 9

LA SOUSTRACTION Quand on souhaite effectuer une soustraction en binaire, on cherche l opposé du nombre à soustraire, et on l ajoute au premier nombre. Soit à calculer 101000 10111 On cherche l opposé du deuxième terme ( 10111) en mode complément à 2. On écrit sur 8 chiffres le nombre : 0001 0111 On inverse chaque chiffre : 1110 1000 On ajoute 1 à ce résultat : 1 L opposé du nombre est : 1110 1001 On pose alors l opération : 111 1 0010 1000 + 1110 1001 (1) 0001 0001 La réponse est : 101000 10111 = 10001 APPLICATION 7 Effectuer la soustraction des mots binaires suivants : 111011-11101 0111001-111111 10111001-1100101 OPERATIONS EN HEXADECIMAL L ADDITION Rappelons la correspondance entre les 6 lettres de l alphabet : A B C D E F 10 11 12 13 14 15 34B5 5 + 4 = 9 + 6614 B + 1 = 11 + 1 = 12 = C 4 + 6 = 10 = A = 9AC9 3 + 6 = 9 COURS BAC S SI TRAITER L INFORMATION - SYSTEMES DE NUMERATION Fabrice DESCHAMPS 10 / 10

Addition avec retenue : 1 5264 4 + E = 18 (16 en retenue + 2 au résultat) + A32E 1 + 6 + 2 = 9 2 + 3 = 5 = F592 5 + A = 5 + 10 = 15 = F La retenue qui correspond à 10 dans notre système décimal est égale à 16 dans le système hexadécimal. Quand on pose la retenue sur la deuxième colonne, il reste 2 à écrire comme chiffre de droite de la réponse. 1 1 4BC3 3 + F = 18 (16 en retenue + 2 au résultat) + 2A2F 1 + C + 2 = F B + A = 11 + 10 = 21 (16 retenue + 5 au résultat) = 75F 2 1 + 4 + 2 = 7 111 FFFF F + F = 15 + 15 = 30 (16 en retenue + 14) + FFFF 1 + F + F = 1 + 15 + 15 = 31 (16 en retenue + 15 donc F) 1 + F + F = 1 + 15 + 15 = 31 (16 en retenue + 15 donc F) = 1FFFE 1 + F + F = 1 + 15 + 15 = 31 (16 en retenue + 15 donc F) 1 retenue à remettre au résultat Application 8 Effectuer les additions suivantes : DAE + F 5 23CB + 54BD 24A6 + 5FBE LA SOUSTRACTION Le calcul d une différence s effectue de la même manière qu en décimal : 9AE7 7 3 = 4 + 49B3 E B = 14 11 = 3 10 9 = 1 = 5134 9 4 = 5 Soustraction avec retenue : 9B514 4 9 = (4+16) 9 = 11 = B + 6A2 9 5 3 = 5 (2 + 1 de retenue ) = 2 B A = 11 10 = 1 = 312 B 9 6 = 3 COURS BAC S SI TRAITER L INFORMATION - SYSTEMES DE NUMERATION Fabrice DESCHAMPS 11 / 11

On a tendance à dire 9 ôté de 14,la force de l habitude nous faisant rajouter une dizaine à 4. En réalité, puisque nous sommes en hexadécimal, ce n est pas dix que l on doit ajouter à 4 mais seize. Il s agit alors de faire 9 ôté de 20 : reste 11 c est à dire B. Bien sûr, la retenue ne doit pas être perdue dans la suite des calculs. 41A 815 5 E = 5 14 = (5+16) 14 = 7 + 1 F 2 E 8 2 = 8 (2 + 1 de retenue ) = 5 A F = 10 15 = (10+16) 14 = 12 = C = 2 B 5 7 4 2 = 4 - (1 + 1 de retenue ) = 2 A1B1C1D D F = 13 15 = (13+16) 15 = 14 = E + 2 F F F C (F+1) = 12 (15+1) = (12+16) (15+1) = 12 = C B (F+1) = 11 (15+1) = (11+16) (15+1) = 11 = B = 7 B C E A (2+1) = 10 (2+1) = 7 Application 9 Effectuer les soustractions suivantes : DAE - F 5 23CB - 54BD 24A6-5FBE Application 10 Donner la valeur en binaire et en hexadécimal des nombres décimaux proposés dans le tableau ci-dessous. DECIMAL BINAIRE HEXADECIMAL 5 20 144 256 1033 25 658 COURS BAC S SI TRAITER L INFORMATION - SYSTEMES DE NUMERATION Fabrice DESCHAMPS 12 / 12