Puissances Commentaires généraux La notion de puissance est nouvelle pour les élèves, même si la notation des carrés et des cubes a été introduite auparavant pour les calculs d aires ou de volumes. Les activités permettent de présenter la notion de puissance ainsi que les propriétés usuelles soit à partir des puissances de soit à partir des puissances d un nombre quelconque. L écriture d un nombre sous forme scientifique ou sous forme d un produit par une puissance de viendra compléter la notion de différentes écritures d un même nombre. Dans un premier temps, les exposants utilisés sont raisonnables afin que le calcul puisse être réécrit sous forme de multiplications ou de divisions. Ensuite, l accent est mis tout particulièrement sur les puissances de, en liaison avec les autres disciplines (SVT, technologie, physique) et des situations de la vie quotidienne. Le lien avec la notion d ordre de grandeur est abordé. Dans ce chapitre, la calculatrice a une place privilégiée. Ainsi on trouvera une page d aide à l utilisation des touches qui correspondent aux puissances. Le tableur est aussi utilisé. Objectifs des activités Activité Introduire et utiliser la notion de puissance avec des exposants positifs. Activité Légitimer la notion de puissances d exposants négatifs. Activité Introduire les règles usuelles de calculs avec les puissances. Activité 4 Définir et utiliser les puissances de dix d exposant un entier relatif. Activité 5 Introduire les règles usuelles de calculs avec les puissances de dix. Activité 6 Multiplier par une puissance de dix et observer le déplacement de la virgule correspondant. Activité 7 Introduire et utiliser la notation scientifique. Chapitre Puissances 5 Chapitre0.indd 5 8/06/07 4:04:
Avant de démarrer (solutions) A. b B. c C. c D. a E. b F. c G. a H. c 4 Je découvre, j utilise (solutions) a. 5 6 b. 5 c. 5 - a. 8 b. 9 c. 0,5 d. 0,00000 0 ; 0,0 ; 000 ; ; 0,000 ; 4 a. - b. 5 c. - d. 0 5 a. 7 - = 7 = 49 b. 5- = 5 6 a. 8 b. 5 7 a. 6 b. 4 c. 8 8 A = 8 B = 5 000 9 A = 670 B = 050 A = 0,9 B = 0,00 a. - 4 b. - 4 A = 5 8 B = 5 d. - 7 8 C = 5 a. 6 b. 5 4 c. 7-5 4 a. 6 b. - c. -5 5 a. b. 5-4 6 a. b. - = 5 e. 8 7 a. b. 5-4 c. -5 d. 7 8 a. b. - c. 5 d. 9 a. 4 # 4 = 8 b. ( 4 ) = 8 5 0 a. = 5 5 5-7 b. 7 - = 7-5 c. a. - # - = -6 b. ( - ) = -6 7 c. = 4 d. = 4 - e. - - = = a. 6 b. 5 c. 0 - d. 70 a. 6 4 = ( # ) 4 = 4 # 4 Règle utilisée : (ab) n = a n b n 4 a. # 7 b. - # 7 - c. # # 7 d. 4 # - e. -5 # 5 a. 5 # b. 5 # c. 4 # 6 a. 6 b. -6 c. 5 7 a. 6 b. -4 c. - 8 a. 6 b. - c. - 9 A = 56 B = 0,0075 C = 870 D = 900 0 a. E = 540 # - b. E = 0,54 # c. E = 54 # - d. E = 0,0054 # 4 a. F = 7 # - b. F = 0,0007 # c. F = 700 # -5 d. F = 0,7 # - a. G = 4, # b. G = 4 000 # - c. G =0,4 # 4 d. G =4 0 # - a. km = m b. m = - km c. kg = g d. g = - kg 4 a.,5 km =,5 # m b. 5 g = 5 # - kg c. 80 mm = 80 # - m d. 7,8 kg = 7,8 # - g 5 A = 5 6 B = 5 7 C = 000 8 a.,45 # b.,7 # 4 c. 8,7 # - d. 8 # - 9 Seul le nombre C est écrit en notation scientifique. A =,5 # 4 B =,4 # -7 40 a.,8 # 4 b. 6,6 # - 4 a. D =,5 # -5 b. E =,75 # 5 6 Chapitre Puissances Chapitre0.indd 6 8/06/07 4:04:
4. Un ordre de grandeur de A est 7 # 4. 4 A 5. 7 # 4 A 8 # 4 4. Un ordre de grandeur de A est 4 # -. - A -. 4 # - A 5 # - 5 Faire le point en classe (solutions) 44 Les carrés : 0 ; ; 4 ; 9 ; 6 ; 5 ; 6 ; 49 ; 64 ; 8 ; 0 Les cubes : 0 ; ; 8 ; 7 ; 64 ; 5 ; 6 ; 4 ; 5 ; 000 45 (- ) 007 = - (- ) 008 = - 007 = - - 008 = - 46 a. # 5 b. 5 # c. 5 # d. 5 # 47 a. 5 - c. b. - d. e. d n 48 a. b. - c. 5 d. -4 e. - f. -5 49 a. 000 = b. 0,00 = - c. 000 000 = 6 d. 0,00000 = -6 e. 000 = 4 f. 0,0 = - 50 A = 4 75,86 B = 70 50,409 5 a. 8,95 = # + 8# 0 + 9 # - + # - + 5 # - b. 40,09 = 4 # + # 0 + 9 # - 5 a. - 40 b. - 495 c. - 40 5. Le plus grand nombre entier n : 999 999. Le plus petit : 00.. Trois nombres compris entre - et - : 0,00 ; 0,00 ; 0,004. 54 a.,7 # 4 b. 5, # - c.,5 # 7 55. I d ; II c ; III b ; IV e. «un million de milliards de sabords» 56 La machine a arrondi. En fait, le résultat est 0,0000000. 57 Chacun des trois nombres est égal à. 0 000 58 Chacun des nombres est égal à (on peut aussi calculer les produits en croix qui sont égaux). 59 a. - 9 b. 8 67 c. 0, 60 a. 90 000 b. 40 6 6 A 7 La puissance de qui donne le meilleur ordre de grandeur de A est 6. 6 Calcul mental (solutions) 8 6 a. = 8 8 5 7 b. 7 c. (4 # 5) = 0 d. 4 e. = 8 f. - # - 4 = 76 = c m 4 5 #( ) - # 4 7 6 a. 8 b. 0,008 c. 0,09 d. 000 e. 64 a. - 7 4 est négatif b. (- 6) 4 est positif c. 9 - est positif = 8 7 J évalue mes compétences (solutions) 65 c. 66 c. 67 a. et b. 68 b. 69 b. 70 c. 7 b. 7 c. 7 a. et b. 74 c. 75 a. Chapitre Puissances 7 Chapitre0.indd 7 8/06/07 4:04:4
8 Je m entraîne (solutions) 76 a. 4 b. 0,04 c. 0,0006 d. 0,5 e. - 5 77 a. 6 b. - c. 7 d. - 78 a. b. impossible c. d. e. impossible f. 4 79 a. 0,0000 b. 0,0 c. d. 0,009 80 a. - 68 b. - 6 8 D = 0 6 5# # 5# ( ) 8-75# # - = 4# 4# 75 5 = # = 4 6 4 8 A= 5 84 a. 45 cm = 0,45 m = 4,5 # - m b.,7 km = 700 m =,7 # m c. 800 km = 800 000 m =,8 # 6 m d. 0,07 mm = 0,00007 m = 7 # -5 m e. 90 000 t = 90 000 000 kg =,9 # 8 kg f. 5 mg = 0,05 kg =,5 # - kg 85 a. # 4 b.,5 # c. 8, # d. 8, # - 86 a. A =,5 # 7 b. B = 4 # 5 87. La valeur de la cellule A est 9.. a. A B C D 0,7 0 =A^ =B^ =C^ =E^ b. A B C D 0,7 0 8 7 0,4 000 000. La formule sera : =A^(-) 88. 0 56 # 4 589 6. a.,8864 # b. Ce résultat est une valeur approchée du résultat.. A B C 056 54648 0,005 45896 5898 0,0456,8864E+ 904 0,000057 Soit :,8864 # ;,904 # 8 ; 5,7 # -5 89.,997 94 58 # 5. # 5 kilomètres par seconde 90. Le nombre de secondes contenues dans une année de 65 jours est compris entre 7 et 8 secondes.. La puissance de qui donne le meilleur ordre de grandeur de ce nombre est 7.. Le nombre de secondes contenues dans une année bissextile est compris entre 7 et 8 secondes. La puissance de qui donne le meilleur ordre de grandeur de ce nombre est 7. 9,45 # kg 9. a. kv = 000 V b. ma = 0,00 A c. GWh = 000 000 000 Wh d. nm = 0,000 000 00 m. a. Distance Terre-Soleil :,5 Gm =,5 # 9 m b. Taille d une paramécie : 60 μm = 6 # -5 m c. Taille moyenne d un atome : 0, pm = - m 9. 4, # 9 # 60 # 60 # 4 # 65 # 5 # 9. 6,8 # 6 4, # 0-68, # 6.. 0, 9998 4, # 0 Dans 5 milliards d années, il aura perdu 0,0 % de sa masse actuelle. 94. La valeur de la résistance : 45 # 0 ohms = 45 ohms.. Les couleurs des anneaux d une résistance de 40 000 ohms sont : jaune, orange, noir puis orange. Les couleurs des anneaux d une résistance de ohms sont : noir, noir, rouge puis noir. 95,5 # 5 # 0, # -4 # 65 # 4 = 995 m 9 J approfondis (solutions) 96 7 5 = 6 805 photos 8 Chapitre Puissances Chapitre0.indd 8 8/06/07 4:04:4
97 4 # 4 # 4 # 4 # 4 # 4 = 4 096 visages différents 98 Le dixième du carré de est : ( ) = 9 99. Non : 9 = 5 et = 04. 87 = 7. 40 = 7 4 4. 0,065 = -4 0.,9878 g. g. 0,5 kg.,05 # kg 8 j + h = 4 h 58, # 6 = 7 km chaque heure 4 soit,7 # 4 km chaque heure Mercure 57 900 000 Vénus 8 000 000 Terre 50 000 000 Mars 8 000 000 Jupiter 778 000 000 Saturne 40 000 000 Neptune 4 505 000 000 4. a. 00 milliards = # b. Nombre de secondes en jour : 86 400. Nombre de globules rouges par seconde : #. 4 84,8., # 86 400 6. 80 # 5 # 0 = 56 000 g de globules rouges produits dans sa vie. 5. a. Go = 0 octets b. Go = 07 74 84 octets. a. = 04 =,04 # b. La puissance de la plus proche de est.. a. La capacité réelle en octets d un disque de 50 gigaoctets commerciaux est 5 #. b. Les octets qui ne sont pas pris en compte pour ce disque sont au nombre de : 06 7 600 =,6 #. c., 6#. 0, 077. 7, 4 % 5# Le pourcentage de la capacité commerciale que représente cette différence est environ 7,4 %. 6. Pour A : Pour B :. 7 # 70 70 70 se termine par et # 8 # 5 # se termine par 0 Donc A! B. 7. # 9.,56 # 7 secondes # 9. = 95 éclairs par seconde, 56# 7 8. a. 6 777 6 b. Il s agit d une valeur approchée.. 56 = 8 dont 8 bits. 5-0 9. A = = = c m 4 4# - # (- 5) # 7 000 000 0 et B=- = = # 5 00 000 donc A = B.. La machine effectue des approximations lorsque les nombres sont trop grands par rapport à sa capacité. 4, # 4 800 A = - # = - = 7 5 7 # 7 500 5 # 5# 6# 8# 8 et B= = = # 7# 4, 5 # 9# 9 5 donc A = B. Devoirs à la maison (solutions) a. M T = 6,00 # 4 kg b. M J = 906,0 # 4 kg c. M M = 0,65 # 4 kg. et. Type de goutte Diamètre Masse Brouillard Bruine Pluie Averse 6 # -4 mm à 6 # - mm 6 # - mm à 5 # - mm 5 # - mm à # 0 mm # 0 mm à 6 # 0 mm # -7 mg à # -4 mg # -4 mg à 6 # - mg 6 # - mg à # mg # mg à 7 # mg Chapitre Puissances 9 Chapitre0.indd 9 8/06/07 4:04:5
. Milieu des classes : Type de goutte Diamètre Masse Brouillard 0,000 0,00005 Bruine 0,8 0,00 Pluie,75 5,0 Averse 4,5 40 Nombre de gouttes pour kg : Type de goutte brouillard bruine pluie averse Nombre # 7 # 5 99 5 4. Type de goutte Diamètre à l échelle 50 Rayon à l échelle 50 brouillard bruine pluie averse 0,5 mm 4 mm 87,5 mm 5 mm 0,075 mm 7 mm 4,75 mm,5 mm 4 5 + 6 + 9 + 4 + = 55 Il y a en tout 55 carrés. 5 Remarquons tout d abord qu il vaut mieux utiliser comme exposant que comme base d une puissance. En effet, si x alors x x. Par ailleurs, on vérifie que :, 4 = 4, 5 5 et 6 6, 4 4, 5 5, 6 6, 4 5 5 4, 4 6 6 4 et 5 6 6 5. La plus grande somme que l on puisse obtenir est : + 4 + 5 6 = + 8 + 5 65 = 5 708. Problème ouvert 000 = # # 000 = # # # = # # 5 # # 5 # # 5 000 = # 4 # 5 ou 000 = # 4 # 5 ou encore # ( + 4 + 5) 9 6 4 0 9 6 8 7 0 4 8 7 7 7 6 4 0 9 6 6 5 6 0 4 8 0 Chapitre Puissances Chapitre0.indd 0 8/06/07 4:04:6
Documents à photocopier Activité, p. 46 # # Calcul......... #...... Puissance............ 4 ' ' ' ' ' ' Activité 4, p. 47 # # # # # 0 0,............ 000 ' ' ' ' ' Activité 5, p. 47 Opération avec les puissances de Résultat en écriture décimale Résultat sous forme de puissance de # # -5 5 ( ) 4 ( - ) 0 000............... Les Éditions Didier Chapitre Puissances Chapitre0.indd 8/06/07 4:04:6
Exercice, p. 60 a b c d I II 4 III IV Exercice 4, p. 60 fig. fig. Chapitre Puissances Les Éditions Didier Chapitre0.indd 8/06/07 4:04:6