INSTITUT SUPERIEUR d'economie ET DE MANAGEMENT Université de Nice-Sophia-Antipolis ANNEE UNIVERSITAIRE 2010-2011 1 ere SESSION - 2 e SEMESTRE FILIERE : ECO-GESTION Année d'étude : L2 Intitulé précis de la matière : Statistiques et observations économiques 2 Durée : 1 heure 30 N o de L'UNITE : 6 Nom de l'enseignant auteur du sujet : Julien Barré Type d'épreuve : écrite Nombre de sujets à traiter : tout CORRECTION Le sujet est le même pour les étudiants assidus en TD et ceux qui en sont dispensés. Documents interdits, sauf les extraits de tables fournis ; calculatrices non programmables autorisées. Il est demandé de soigner la rédaction et de justier clairement les réponses. Le barème est indicatif et pourra être modié. Exercice 1 (5 points) 1. On considère l'échantillon suivant, constitué de tirages suivant une loi normale d'espérance µ et d'écart-type σ = 2, N (µ, 4) : 9.2 12.5 8.7 9.8 7.7 11.4 10.1 10.9 9.9 Construire un intervalle de conance pour µ, au niveau de conance 90%. Expliquer les étapes de votre démarche. L'échantillon est petit, mais la loi des tirages est supposée normale. On peut donc construire un intervalle de conance. L'écart-type est connu, donc on utilise la loi normale pour le construire. La moyenne d'échantillon est 10.02, et l'écart-type (connu) σ = 2. La marge d'erreur est donc donné par la formule ε = z α/2 σ/ n Avec α = 0.1. On utilise la table de la loi normale centrée réduite pour obtenir z α/2 = 1.65. Donc ε 1.65 2/ 9 1.10 [8.92; 11.12] On veut que la marge d'erreur ε soit inférieure à 0.5. ie 1.65σ/ n < 0.5 ; donc n > 6.6 2. Il faut donc un échantillon de taille n au moins égale à 44. 2. On considère l'échantillon suivant, constitué de tirages suivant une loi normale d'espérance µ et d'écart-type σ inconnu, N (µ, σ) :
19.0 24.3 26.1 17.8 19.5 20.4 20.1 18.9 18.1 Construire un intervalle de conance pour µ, au niveau de conance 90%.. Expliquer les étapes de votre démarche. L'échantillon est petit, mais la loi des tirages est supposée normale. On peut donc construire un intervalle de conance. L'écart-type est inconnu, donc on utilise la loi de Student pour le construire. La moyenne d'échantillon est 20.47, et l'écart-type d'échantillon s donné par la formule s 2 = (19.0 20.47)2 +... + (18.2 20.47) 8 On obtient s 2.85. La marge d'erreur est donc donné par la formule ε = t α/2 σ/ n Avec α = 0.1. On utilise la table de la loi de Student à 8 degrés de liberté pour obtenir t α/2 1.86. Donc ε 1.86 2.85/ 9 1.76 [18.70; 22.23] Exercice 2 (6 points) L'emballage de boîtes de café indique une contenance de 500g. Un inspecteur de la répression des fraudes souhaite vérier que les boîtes contiennent eectivement au moins 500g. Dans le cas contraire, il demandera des sanctions. Il réalise donc le test d'hypothèse suivant, en utilisant le seuil de signication α = 1% : H 0 : les boîtes contiennent un poids moyen de café supérieur ou égal à 500g. H a : les boîtes contiennent un poids moyen de café strictement inférieur à 500g. 1.a. Rappeler ce qu'est une erreur de première espèce et une erreur de seconde espèce. A quoi correspondent-elles dans ce cas? 1. b. Supposons que les boîtes contiennent en moyenne exactement 500g de café. Quelle est la probabilité que l'inspecteur conclue qu'il faut rejeter H 0? 2. L'inspecteur dispose d'un échantillon de 41 boîtes ; la moyenne d'échantillon est de 495g, et l'écart-type d'échantillon de 20g. Calculer la statistique de test, puis conclure en expliquant votre démarche. 1.a. On commet une erreur de première espèce lorsque l'on accepte l'hypothèse H a alors que H 0 est vraie. On commet une erreur de seconde espèce lorsque l'on conserve l'hypothèse H 0 alors que H a est vraie. Ici, dans le cas d'une erreur de première espèce l'inspecteur engage des poursuites à tort ; dans le cas d'une erreur de seconde espèce, il laisse passer des boîtes insusamment remplies. b. Le seuil de signication d'un test est précisément la probabilité de commetre une erreur de première espèce, lorsque l'hypothèse H 0 est vraie avec égalité, c'est-à-dire que le poids moyen des boîtes est exactement 500g. La probabilité de rejeter H 0 dans ce cas est donc
égale à α = 0.01. 2. L'écart-type est inconnu, et échantillon est de taille inférieure à 100 : on utilise la loi de Student pour le test (ici avec 40 degrés de liberté). t = 41 (495 500)/20 1.60 Il s'agit d'un test unilatéral inférieur ; on rejette donc H 0 si la statistique de test est très négative. La zone de rejet est, pour α = 1% (on lit ceci dans la table des lois de Student, en faisant attention attention au fait qu'il ne s'agit pas d'iun test bilatéral) : ], 2.42[ On ne rejette donc pas H 0. 3. L'inspecteur dispose d'un échantillon de 110 boîtes ; la moyenne d'échantillon est de 495g, et l'écart-type d'échantillon de 20g. Calculer la statistique de test, puis conclure en expliquant votre démarche. L'écart type est inconnu ; on devrait utiliser une loi de Student à 109 degrés de liberté. On considère que cette loi est très proche d'une loi normale centrée réduite (l'échantillon est très grand, de taille supérieure à 100). z = 110 (495 500)/20 2.62 La zone de rejet, pour α = 0.01 est (lecture de la table de la loi normale centrée réduite) ], 2.33[ z est donc dans la zone de rejet ; on rejette H 0. Remarque : méthode de la valeur p Comme z = 2.62 > 2.58, on voit à la lecture de la table de la loi normale centree réduite que la valeur p est inférieure à 0.01/2 = 0.005. Elle est donc inférieure à α = 0.01, on rejette donc H 0. Exercice 3 (4 points) Un référendum est prévu. Un chercheur se demande si la proportion d'électeurs qui envisagent de voter "oui" est plus importante dans la ville A que dans la ville B. On note p A et p B ces deux proportions. Il fait réaliser une enquête, et recueille les données suivantes : Echantillon d'habitants de A : taille n A = 400 ; nombre d'intentions de vote "oui" : 220. Echantillon d'habitants de B : taille n B = 625 ; nombre d'intentions de vote "oui" : 300. Construire un intervalle de conance pour p A p B, au niveau de conance 95%. On estime p A et p B par les proportions d'échantillons p A et p B : p A = 220/400 = 0.55 ; p B = 300/625 = 0.48 Estimation de p A p B : p A p B = 0.07. n A p A, n A (1 p A ), n B p B, n B (1 p B ) sont tous supérieurs à 5, donc on peut utiliser le
TCL. On utilise donc la formule du cours pour la marge d'erreur (z α/2 = 1.96 : lecture de la table) : ε = z α/2 p A (1 p A )/n A + p B (1 p B )/n B 0.063 [0.007, 0.133] Exercice 4 (5 points) Une marque de boisson vend quatre types des sodas : normal (N), exotique (E), light (L), et super-light (S). Sur l'ensemble du pays, les proportions des diérents types de sodas dans les ventes de la marque sont les suivantes : N : 40% ; E : 10% ; L : 30% ; S : 20% On a recueilli les données suivantes, sur une semaine de ventes dans un magasin particulier : N E L S 48 10 50 42 Eectuer le test d'adéquation suivant, en détaillant les diérentes étapes : H 0 : dans le magasin testé, les proportions de ventes de sodas N, E, L et S sont respectivement 0.4 ; 0.1 ; 0.3 et 0.2. H a : dans le magasin testé, les proportions de ventes de sodas N, E, L et S ne sont pas 0.4 ; 0.1 ; 0.3 et 0.2. On utilisera un seuil de signication α = 0.05. On calcule d'abord les eectifs théoriques, en utilisant H 0. Le nombre total de vente est 150 ; on obtient les eectifs théoriques en multipliant 150 par les proportions théoriques donnés par H 0. On obtient N E L S 60 15 45 30 Les eetifs théoriques sont supérieurs à 5, l'eectif total est 150. On peut donc utiliser le test d'adéquation du χ 2. χ calc = 12 2 /60 + 5 2 /15 + 5 2 /45 + 12 2 /30 9.42 On utilise la loi du χ 2 à 3 degrés de liberté pour déterminer la zone de rejet ]7.82, + [. La statistique de test est dans la zone de rejet, donc on rejette H 0 : les ventes de la semaine dans le magasin testé ne correspondent pas aux proportions nationales. Remarque : méthode de la valeur p. On a 7.82 < χ calc < 9.84. D'après la table de la loi du χ 2 à 3 degrés de liberté, la valeur p est donc comprise entre 0.02 et 0.05. Elle est inférieure à α = 0.05 donc on rejette H 0.
Extraits de tables Loi normale centrée réduite : le tableau donne pour diérentes valeurs de α les nombres z α/2 tels que P ( Z > z α/2 ) = α, où Z est une v.a. de loi N (0, 1). α 0.4 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01 z α/2 0.84 1.28 1.65 1.96 2.33 2.58 Lois de Student : le tableau donne pour diérentes valeurs de α et diérentes valeurs de n les nombres t α/2,n tels que P ( T n > t α/2,n ) = α, où T n est une v.a. de loi de Student à n degrés de liberté. α 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01 t α/2,n=8 1.40 1.86 2.31 2.90 3.56 t α/2,n=9 1.38 1.83 2.26 2.82 3.25 t α/2,n=10 1.37 1.81 2.23 2.76 3.17 t α/2,n=19 1.33 1.73 2.09 2.54 2.86 t α/2,n=20 1.33 1.72 2.09 2.53 2.85 t α/2,n=21 1.32 1.72 2.08 2.52 2.83 t α/2,n=40 1.30 1.68 2.02 2.42 2.70 t α/2,n=50 1.30 1.68 2.01 2.40 2.68 Lois du χ 2 : le tableau donne pour diérentes valeurs de α et diérentes valeurs de n les nombres c α,n tels que P (C n > c α,n ) = α, où C n est une v.a. de loi du χ 2 à n degrés de liberté. α 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01 c α,n=2 3.22 4.61 5.99 7.82 9.21 c α,n=3 4.64 6.25 7.82 9.84 11.34 c α,n=4 5.99 7.78 9.49 11.67 13.28 c α,n=10 13.44 15.99 18.31 21.16 23.21