La multiplication I. Vocabulaire Définition Le produit est le résultat d'une multiplication. Les nombres que l'on multiplie sont appelés les facteurs. S'exprimer 10 5,2=52 peut se traduire ainsi : «52 est la produit de 10 par 5,2 ; les facteurs sont 10 et 5,2». 11 6=66 peut se traduire ainsi : «66 est la produit de 11 par 6 ; les facteurs sont 11 et 6». Il n'est pas inutile de rappeler l'importance de savoir et revoir ses tables de multiplication. Propriété fondamentale des multiplications Dans un produit, changer l'ordre des facteurs ne change pas le résultat. 1 ère a pplication Il n'est pas nécessaire d'apprendre tous les résultats des tables de multiplication. En effet, le produit 3 9=27 que l'on trouve dans la table de trois, se retrouve sous la forme 9 3=27 dans la table de 9. Voici la table contenant les résultats à connaître. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 Autres tables de multiplication à connaître La table de 12 correspond en fait à la conversion des années en mois (ou inversement). En effet, un bébé de 3 ans a en fait 36 mois. Mais il y a aussi la journée qui contient deux fois 12 heures. Elle est à bien connaître jusqu'à 12 5=60. La table de 15 s'illustre bien lorsqu'on pense aux quarts d'heure : trois quarts d'heure correspond à quarante-cinq minutes. Elle est à connaître jusqu'à 15 6=90 La table de 25 qui fait penser au centimes : 1 c'est quatre fois 25 centimes. Elle se retient très facilement. La table de 60 qui fait penser aux mesures de temps : 60 secondes correspond à 1 minute ; 60 minutes correspond à 1 heure. Cette table ne s'apprend pas puisqu'à peu de choses près, c'est la table de 6!
12 Χ 1 = 12 12 Χ 2 = 24 12 Χ 3 = 36 12 Χ 4 = 48 12 Χ 5 = 60 12 Χ 6 = 72 12 Χ 7 = 84 12 Χ 8 = 96 12 Χ 9 = 108 12 Χ 10 = 120 12 Χ 11 = 132 12 Χ 12 = 144 15 Χ 1 = 15 15 Χ 2 = 30 15 Χ 3 = 45 15 Χ 4 = 60 15 Χ 5 = 75 15 Χ 6 = 90 15 Χ 7 = 105 15 Χ 8 = 120 15 Χ 9 = 135 15 Χ 10 = 150 15 Χ 11 = 165 15 Χ 12 = 180 25 Χ 1 = 25 25 Χ 2 = 50 25 Χ 3 = 75 25 Χ 4 = 100 25 Χ 5 = 125 25 Χ 6 = 150 25 Χ 7 = 175 25 Χ 8 = 200 25 Χ 9 = 225 25 Χ 10 = 250 25 Χ 11 = 275 25 Χ 12 = 300 60 Χ 1 = 60 60 Χ 2 = 120 60 Χ 3 = 180 60 Χ 4 = 240 60 Χ 5 = 300 60 Χ 6 = 360 60 Χ 7 = 420 60 Χ 8 = 480 60 Χ 9 = 540 60 Χ 10 = 600 60 Χ 11 = 660 60 Χ 12 = 720 2 ère a pplication Cet exemple est à comprendre et surtout à savoir refaire. L'idée est de regrouper les facteurs qui se calculent facilement de tête. Ainsi, de proche en proche, on arrive au résultat. A=25 4589 4 Les facteurs 25 et 4 sont à regrouper car 4 25=100. A= 25 4 1489 Dans cette étape, on regroupe les facteurs en question. A=100 1489 On effectue le(s) calcul(s) facilement faisable(s). A=148900 On obtient un résultat calculé de tête. II. Multiplication posée 1/ Rappel : avec des entiers Posons la multiplication de 683 par 79. 5 2 7 2 6 8 3 7 9 6 1 4 7 + 4 7 8 1 5 3 9 5 7 Méthode On peut aligner verticalement les chiffres de la même valeur : chiffre des unités sous le chiffre des unités, chiffre des dizaines sous le chiffre des dizaines... A chaque nouvelle ligne, on se décale
2/ Avec des nombres décimaux L'objectif est de poser la multiplication de 7,85 par 9,5. 1 ère étape Dans un premier temps, on pose la multiplication sans se préocuper des virgules 7 8 5 9 5 3 9 2 5 + 7 6 5 7 4 5 7 5 2 ère ère étape Maintenant, il faut tenir compte des virgules. Comment la placer dans le résultats? Méthode 1 : puisque 7,85 est proche de 8, et que 9,5 est proche de 9 ; on sait que le résultat est proche de 8 9=72. Il n'y donc qu'une seule possibilité pour placer la virgule dans le résultat et obtenir un résultat proche de 72 ; c'est 74,575. La virgule est située entre le chiffre 4 et le chiffre 5. Donc 7,85 9,5=74,575. Méthode 2 : puisque 7,85 est cent fois plus petit que 785 et que 9,5 est dix fois plus petit que 95, alors le résultat doit être mille fois plus petit que 74575. C'est donc 74,575. On remarque que le nombre de chiffres dans les parties décimales de 7, 85 2 chiffres et 9, 5 1 chiffre est le même que dans le résultat 74, 575 3 chiffres. On en déduit la propriété suivante... 7, 8 5 9, 5 3 9 2 5 + 7 6 5 7 4, 5 7 5 Propriété fondamentale Dans un produit de nombres décimaux, le nombre de chiffres qu'on trouve dans les parties décimales des facteurs est égal au nombre de chiffres qu'il y a la partie décimale du résultat. Application Comment utiliser le résultat précédent pour trouver directement les produits suivants et sans rien poser? 78,5 9,5=? ; 7,85 0,95=? On remarque d'abord que les chiffres sont les mêmes que dans 785 95=74575. Ensuite, il suffit de compter les chiffres dans les parties décimales : 78,5 1 9, 5 1 5=745,75 2.
Point de calcul mental Il peut être utile de connaître les résultats suivants : 125 4=500 et 125 8=1000. Cela permet de calculer les produits suivants : 12,5 0,4=5,00=5 ; 1,25 8=10,00=10 ; 2,5 4=10. De même, on essaiera de comprendre ces calculs 2,5 0,4=1 ; 1,5 0,6=0,9. III. Multiplication par un multiple de dix Les multiples de dix sont 10, 100, 1000, 10 000... Activité L'objectif est de calculer de tête un produit du genre 13,574 100. On peut interpréter ce résultat en ce disant qu'on cherche le nombre qui est cent fois plus grand que 13,574. Pour rendre un nombre cent fois plus grand, il faut le rendre dix fois plus grand puis encore dix fois plus grand. Mais comment fait-on pour rendre un nombre dix fois plus grand? Voilà comment rendre dix fois plus grand le nombre 13,574. Le chiffre 1 est le chiffre des dizaine, il devient donc le chiffre des centaines ; le chiffre 3 est le chiffre des unités, il devient donc le chiffre des dizaines ; le chiffre des dixièmes 5 devient le chiffre des unités ; le chiffre des centaines 7 devient le chiffre des dizaines ; et enfin le chiffre des millièmes 4 devient celui des centièmes. On obtient donc 135,74. Pour rendre ce nombre encore dix fois plus, de le même façon, on obtient 1357,4. D'où le résultat 13,574 100=1357,4. Mais que remarque-t-on? C'est que la virgule s'est décalée de deux chiffres vers la droite : autant de zéros qu'il y a dans le nombre 100! En généralisant, on obtient des résultats du genre : 7,1235 1000=7123,5 et 854,12 10=7541,2. Et aussi 7,5 1000=7500! Dans ce dernier exemple, il faut compléter par des zéros. On peut aussi utiliser la propriété fondamentale car si 13571 100=1357100, alors on a 13,571 100=1357,1 00=1357,1 en comptant le nombre de chiffres dans les parties décimales. De même, on a 9,76 1000=9760,00=9760. Propriété Pour multiplier un nombre décimal par 10, 100 ou 1000 ; il suffit de décaler la virgule de 1, 2 ou 3 chiffres vers la droite, en complétant au besoin par des zéros. Exemples 9510,9 10 = 95109 0,991222 1000 = 991,222 78,7574 100 = 7875,74 5,25865 10 = 52,5865 44,9608 100 = 4496,08 Application Le calcul qui va suivre utilise la propriété fondamentale du début de chapitre, la table de 25 et la propriété vue juste au dessus. A=25 3,789 4 A= 25 4 3,789 A=100 3,789 A=378,9
IV. Multiplication par 0,1 ; 0,01 ; 0,001... Rappel Écriture en toutes lettres un dixième 0,1 Écriture décimale un centième 0,01 un millième 0,001 un dix-millième 0,0001 un cent-millième 0,00001 un millionième 0,000001 Le principe est presque le même. Le produit 42 0,1 se dit «42 fois un dixième» ou encore «42 dixièmes». Mais 42 dixième s'écrit 4,2, d'où 42 0,1=4,2. On se doute bien que si à la place de 42 on avait 42,7, on obtiendrait 42,7 0,1=4,27. Ici, la virgule se décale vers la gauche! On admettra donc la propriété suivante... Propriété Pour multiplier un nombre décimal par 0,1, 0,01 ou 0,001 ; il suffit de décaler la virgule de 1, 2 ou 3 chiffres vers la gauche, en complétant au besoin par des zéros. Exemples 816,907 0,001 = 0,816907 985,687 0,01 = 9,85687 9,93403 0,1 = 0,993403 83108,3 0,0001 = 8,31083 1220,17 0,001 = 1,22017 V. Conversions Rappels Tableau des conversions km hm dam m dm cm mm Méthode Pour convertir d'une «unité à droite vers une unité à gauche», il faut multiplier par 10, 100, 1000... Par exemple : 2,5 km=25 hm ; 5,46 dam=5460 cm. Pour convertir d'une «unité à gauche vers une unité à droite», il faut diviser par 10, 100, 1000. Par exemple : 574,4 mm=0,5744 m ; 7 dm=0,07 dam.
VI. Ordre de grandeur Explication Un ordre de grandeur d'un produit est une valeur approchée du résultat. Il se calcule de tête en prenant des nombres proches de ceux donnés dans le calcul ou le problème. Par exemple, si je veux acheter 15 stylos à 0,90 alors que je n'ai qu'un billet de 10, cela semble assez difficile. Sans faire de calcul, on pressent que le prix sera un peu inférieur à 15 tout en étant supérieur à 10. L'intérêt est de pouvoir contrôler la vraisemblance du résultat ou d'anticiper un résultat. On parle alors d'un résultat cohérent. Exemple (à finir) Il y a autant d'ordres de grandeur que de personnes qui décident d'en chercher! (à finir) Méthode pour trouver un ordre de grandeur Méthode pour trouver un ordre de grandeur On cherche une valeur approchée de chacun des facteurs (en général un nombre entier ou un multiple de 10, 100 ou 1000 ). Ces valeurs approchées doivent permettre de faire des calculs de tête. On calcule de tête le produit de ces valeurs approchées.