Cours de Résistance des Matériaux (RDM)

Solides déformables Cours de Résistance des Matériaux (RDM) Structure du toit de la Fondation Louis Vuitton Paris, architecte F.Gehry Contenu 1 POSITIONNEMENT DE CE COURS... 2 2 INTRODUCTION... 3 2.1 DEFINITION D UNE POUTRE EN RDM... 3 2.2 PARAMETRAGE : REPERE GLOBAL ET REPERE LOCAL... 3 2.3 HYPOTHESES GENERALES EN RDM... 3 3 MODELISATION D UN PROBLEME... 4 3.1 LES LIAISONS (APPUIS)... 4 3.2 LES ACTIONS MECANIQUES EXTERIEURES OU «CHARGES»... 4 3.3 TORSEUR DE COHESION (TORSEUR DES ACTIONS MECANIQUES INTERIEURES)... 6 3.4 ECRITURE DU TORSEUR DE COHESION POUR LES SOLLICITATIONS SIMPLES... 6 3.5 DETERMINATION DU TORSEUR DE COHESION... 7 3.6 RELATIONS ENTRE CHARGEMENT, EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLECHISSANT... 8 4 DEFORMATIONS / CONTRAINTES... 8 4.1 DEFORMATIONS... 8 4.2 CONTRAINTES (UNITES PA OU MPA)... 9 4.3 EXEMPLES DE REPARTITIONS DES CONTRAINTES DANS LA SECTION DROITE... 9 4.4 CONCENTRATION DE CONTRAINTES (ACCIDENTS GEOMETRIQUES)... 1 5 PRINCIPALES CARACTERISTIQUES MECANIQUES EN RDM... 11 5.1 ESSAI DE TRACTION ET CARACTERISTIQUES DETERMINEES... 11 5.2 COURBE D ESSAI : ZONE ELASTIQUE (LOI DE HOOKE)... 11 5.3 COURBE D ESSAI : ZONE PLASTIQUE, LIMITE ELASTIQUE ET DE RUPTURE... 12 5.4 COEFFICIENT DE POISSON... 12 5.5 PRINCIPE DE LA MESURE D EFFORT PAR JAUGE DE CONTRAINTE... 12 5.6 DAE (DIRECTION ASSISTEE ELECTRIQUE) MESURE DU COUPLE DE LA COLONNE DE DIRECTION... 14 JC ROLIN 1 Lycée G.Eiffel Dijon

1 POSITIONNEMENT DE CE COURS Tout solide réel est déformable dans un domaine spécifique et peut être détérioré lorsque les contraintes qu il subit dépassent une valeur critique. On distingue plusieurs familles de solides : - Les pièces tridimensionnelles ayant 3 dimensions du même ordre de grandeur, - Les plaques (ou coques) dont une dimension solide est négligeable devant les deux autres, - Les poutres dont deux dimensions (définissant localement la section) sont petites devant la troisième (la longueur). Pièce tridimensionnelle (maillage et déformation) Plaque de type capsule sous pression (maillage et déformation) Poutre déformée (Solidworks) Le programme de CPGE TSI est limité à l étude des solides de type poutre soumis à des sollicitations simples (traction, compression, flexion, torsion, cisaillement). Le but de ce cours est de fournir les principales relations utiles en résistance des matériaux pour le dimensionnement de poutres afin de répondre à un cahier des charges, selon des critères de déformation et/ou de dégradation en fonction des actions mécaniques ou chargement extérieur. La résistance des matériaux s insère dans un domaine d étude plus vaste dénommé «élasticité» ou «mécanique des milieux continus». Les pièces ou solides seront donc considérées déformables. Les mécanismes composés de plusieurs poutres seront dénommées structures. L extensométrie et la photoélasticité dont des moyens d investigation expérimentaux des déformations des structures. Les logiciels basés sur la méthode des éléments finis permettent de visualiser par colorimétrie et de quantifier les contraintes et déformations. APPLICATIONS DE LA RDM et CRITERES D UN CAHIER DES CHARGES OU DIAGRAMME DES EXIGENCES : Résistance minimale (câble, arbre de transmission, dent d'engrenage, ) Résistance maximale (goupille de sécurité, élément à découper ou à déformer, ) Déformation maximale limitée : structure de machine-outil, de robot, condition d'engrènement, Déformation minimale significative : amortissement par ressorts, système de mesure par déformation. QUELQUES ILLUSTRATIONS : Pylône électrique et câble de transport d énergie Arbre de transmission et denture du pignon d entraînement Flexion d aile d avion (Airbus A38) 6,8m de flèche Simulation d un pont en treillis de poutre JC ROLIN 2 Lycée G.Eiffel Dijon

2 INTRODUCTION 2.1 Définition d une poutre en RDM Le terme de «poutre» désigne un objet dont la longueur est grande par rapport aux dimensions transverses (section fine). Cependant, le modèle des poutres peut être utilisé pour des pièces très diverses à condition qu'elles respectent certaines conditions. Une poutre est un élément de structure utilisé pour : la construction dans les bâtiments pour supporter les charges, les navires et autres véhicules (châssis), la fabrication de machines et systèmes en général. Ci-contre structure de la Fondation Louis Vuitton, Paris, architecte Frank Gehry. Association de poutres de bois et métal, voiles de verre de Saint Gobin, dimensionnement par Logiciel Digital Project basé sur Catia V Dassault System : http://www.fondationlouisvuitton.fr/l-edifice.html L A G (S) 2.2 Paramétrage : repère global et repère local Définir un repère global pour la poutre : orienter la ligne moyenne (L) et choisir une origine O, fixer un repère orthonormé direct R O, x, y, ) lié à la poutre ( z non déformée, référence des déplacements des points appartenant à la poutre (repère global). Définir un repère local par ( G, x, y, z) pour un point G quelconque de la ligne moyenne. G est le centre de surface ou d inertie d une section droite) avec : x tangent en G à la ligne moyenne (L) JC ROLIN 3 Lycée G.Eiffel Dijon B s Une poutre est le solide E engendré par une surface plane ou section (S) dont le centre de surface (ou d inertie) G décrit une portion de courbe (L) orientée par son abscisse curviligne x de A vers B. La section S reste toujours perpendiculaire à (L). La poutre est représentée par sa ligne moyenne (L). On coupe de façon imaginaire E en 2 parties E 1 et E 2 de chaque côté de la section droite S. R, repère global en O pour la poutre y et z directions principales d inertie de la section droite (S), en R G, repère local en G pour la section droite général, les axes de symétrie. On retiendra que l on représente une poutre uniquement par sa ligne moyenne. 2.3 Hypothèses générales en RDM 2.3.1 Matériau Matériau homogène de même composition et de mêmes propriétés en tous points (métaux). Le bois, le béton, les composites sont non homogènes. Matériau isotrope de même propriétés mécaniques dans toutes les directions de sollicitations (acier, métaux en général sauf si laminés ou forgés). Un câble, le bois, les matériaux fibrés sont non isotropes. 2.3.2 Déformations, domaine élastique On reste dans le domaine de déformation élastique du matériau, le solide reprend sa forme initiale si les efforts disparaissent. Les déformations sont donc relativement petites par rapport au solide étudié. 2.3.3 Efforts E 1 Solide E Efforts invariants : la direction des efforts reste inchangée après déformation de la pièce. 2.3.4 Géométrie d une poutre E 2 La longueur de la ligne moyenne est grande devant les dimensions des sections droites, longueur > 1 fois la plus grande dimension transversale. x

3 MODELISATION D UN PROBLEME 3.1 Les liaisons (appuis) Ces appuis sont décrits dans une approche de problème plan. Appui simple : Articulation (rotule) : une résultante, Ry deux résultantes, Rx,Ry Encastrement : deux résultantes Rx, Ry, un moment Mz Les symboles sont spécifiques (historique), mais il est également possible d utiliser les liaisons normalisées. 3.2 Les actions mécaniques extérieures ou «charges» En RDM, on nomme «chargements» les efforts (résultantes ou moments) appliqués extérieurement à la poutre isolée. On peut en distinguer deux types : - les actions mécaniques concentrées : force ou moments. - les actions mécaniques réparties, y compris le poids propre de la poutre. Représentations : d une force concentrée par un vecteur, de forces réparties par des champs de vecteurs uniforme ou non, d un moment par un arc orienté. Conditions aux limites principe de Saint Venant L état des sollicitations dans la section droite de centre G, dans une région suffisamment éloignée des points d applications des charges extérieures appliquées à la poutre, ne dépend pas de la manière avec lesquelles elles sont appliquées, c'est-à-dire de façon concentrée ou répartie, si elles donnent les mêmes torseurs en G. JC ROLIN 4 Lycée G.Eiffel Dijon

Précaution particulière en résistance des matériaux En résistance des matériaux (contrairement à la statique), les déplacements des points d'application des forces, ou la globalisation des actions mécaniques, ne donnent pas des résultats équivalents. Animation introductive à la RDM : http://slideplayer.fr/slide/51713/ Très important Exercice 1 : Vocabulaire de la RDM et actions aux appuis par le PFS 1) Que désigne le repère 1? 2) Placer le repère global avec l axe x selon la grande dimension de la poutre. 3) Nommer les actions aux points A et D d un point de vue mécanique classique et d un point de vue RDM. 4) Esquisser sur la figure ci-dessus la ligne déformée de la poutre avec ce type de chargement. 5) Ecrire la forme des torseurs des actions aux appuis en A et D dans l hypothèse d un problème plan. 6) Résoudre par le TRS et le TMS et déterminer numériquement les torseurs des appuis en A et D. JC ROLIN 5 Lycée G.Eiffel Dijon

3.3 Torseur de cohésion (torseur des Actions Mécaniques intérieures) Pour définir les contraintes que subit un élément utilisé en tant que poutre, ont exprime le torseur de cohésion. Celui ci indique les composantes qui assurent l équilibre ou la cohésion de la structure sous l action des «charges» ou actions mécaniques extérieures. Il est établi par le principe fondamental de la statique (PFS = TRS + TMS résultantes et moments) On coupe fictivement la poutre par un plan orthogonal à la ligne moyenne en un point G défini par son abscisse notée x et on définit alors deux parties (P+) ou partie amont et (P-) ou partie aval. Définition : le torseur de cohésion (ou des AMs intérieures) est le torseur d actions mécaniques exercé par la partie (P+) sur la partie (P-). T T ( x) ( P ) ( P) coh G R( x) M ( x) Par convention, on note les projections des éléments de réduction en G du torseur de cohésion, sur la base locale B ( x, y, z). Application du PFS au solide E = (P+) + (P-) : T Ext E G et T Ext E T Ext P T Ext P G G G On trouve couramment les notations E 1 et E 2 en place des notations (P-) et (P+). G Forme d écriture à mémoriser et à comprendre, interpréter dans le contexte réel ou d un modèle. 3.4 Ecriture du torseur de cohésion pour les sollicitations simples NOTA : Toutes ces sollicitations sauf la torsion correspondent à des problèmes plans. Illustration Nom de la sollicitation et conséquence Ecriture du torseur de cohésion JC ROLIN 6 Lycée G.Eiffel Dijon

Exemples : repérer les parties désignées et nommer les sollicitations évidentes Potence de levage Flèche 1 : Fût 2 : Tirant 3 : Câble de lavage 4 : Axes d articulation entre 1 et 2 : Réducteur Arbres de transmission 1 : Si arbres longs de poids non négligeable : Dentures en contacts entre deux pignons 2 : 3.5 Détermination du torseur de cohésion Pour déterminer le torseur de cohésion, on peut au choix isoler la partie (P+) ou la partie (P-), mais il y a souvent un avantage à choisir un isolement ou l autre afin de simplifier l étude Méthode 1 : on isole (P-) puis on applique le PFS : T ( P) ( P) T ( P) ( P) D où T et T coh T( P ) ( P ) coh T ( P) ( P ) Méthode 2 : on isole (P+) puis on applique le PFS : T ( P) ( P) T ( P) ( P) D où T et T coh T( P ) ( P ) coh T ( P) ( P ) Conclusion : pour déterminer le torseur de cohésion, on choisit la partie qui induit le moins de calcul! Exercice 2 : On effectue une coupure de la poutre de l exercice 1 entre A et B pour rechercher le torseur de cohésion. On note S- la partie à gauche de G et S+ la partie à droite de G. Le PFS s écrit donc en isolant S- : 1) Poser le problème en isolant la partie S+ à droite du même point G et montrer que la résolution est plus lourde. JC ROLIN 7 Lycée G.Eiffel Dijon

2) Etablir le torseur de cohésion en G par la méthode la plus simple 3) Proposer la démarche la plus simple pour trouver le torseur de cohésion entre les points C et D 3.6 Relations entre chargement, effort tranchant et moment fléchissant En RDM, on nomme «chargements» les efforts appliqués extérieurement à la poutre isolée. En flexion simple dans le plan ( G, x, y), le chargement est p(x). y, l effort tranchant T y. y, le moment fléchissant Mf z. z. d On a alors les relations p( x) T ( x) cohérence des résultats. et T ( x) Mf ( x) 4 DEFORMATIONS / CONTRAINTES dx y y d qui permettent de vérifier la z dx 4.1 Déformations Hypothèse de NAVIER BERNOULLI : les sections planes et droites (normales à la ligne moyenne) avant déformation, restent planes et droites après déformation (normales à la ligne moyenne déformée). JC ROLIN 8 Lycée G.Eiffel Dijon

4.2 Contraintes (unités Pa ou MPa) 4.2.1 Définition locale pour un élément ds de la section de coupe On note : M un point appartenant à la poutre étudiée, ds une surface élémentaire (ou facette) autour du point M orientée par n (normale extérieure), df l effort intérieur élémentaire s appliquant sur ds. On définit la contrainte au point M sur la facette ds orientée par la normale extérieure n le vecteur T ( M, n) 4.2.2 Contrainte normale/tangentielle T. n. t. n ( M, n) ( M, n) ( M, n). t σ est appelée contrainte normale à la surface ds de normale n en M. τ est appelé contrainte tangentielle à la surface ds de normale n en M, Les contraintes sont des quantités algébriques et s expriment en MPa (1Pa = 1N/m²) Dans le cas d une poutre, dans le repère local ( G, x, y, z) nous ne nous intéresserons qu aux surfaces de normale x. En traction/compression seule la contrainte σ x existe, elle est positive en traction et négative en compression. 4.3 Exemples de répartitions des contraintes dans la section droite TRACTION ET COMPRESSION La contrainte locale normale en traction compression est uniforme sur la section et peut s écrire : N x x S. Les fibres : s allongent en traction ( ) se raccourcissent en compression ( ). x x A x x JC ROLIN 9 Lycée G.Eiffel Dijon

FLEXION Le torseur de cohésion est B Σ {T C } = { T y (s) } M fz (s) G En flexion pure T y (s) = sinon il s agit de flexion simple. Au-dessus de la ligne moyenne les fibres en traction s allongent, celles du dessous en compression se raccourcissent. La répartition des contraintes n est pas uniforme, les fibres extérieures sont les plus sollicités. TORSION La contrainte dans une section soumise à de la torsion augmente proportionnellement à la distance à l axe de la ligne moyenne. La répartition des contraintes n est pas uniforme, les fibres extérieures sont les plus sollicités. 4.4 Concentration de contraintes (accidents géométriques) Sous l effet des changements de section de la poutre ou «d accidents de forme» (congé, filetage, trou de passage de goupille, ), la contrainte réelle dans certaines sections locales est nettement plus importante que la contrainte que l on aurait sans «accident de forme» (contrainte nominale). Les concentrations de contraintes se produisent au voisinage d un accident géométrique. On introduit alors un facteur K appelé facteur théorique de concentration de contraintes, utilisable lorsque les charges sont statiques et les contraintes inférieures à la limite élastique). Des abaques de coefficient de concentration de contraintes ont été établis pour les cas usuels bien définis, ici un épaulement. Exemple de concentration de contraintes : épaulement K max réelle max nominale 1 Abaque des concentrations de contraintes près d un épaulement. Les outils de calcul numérique (modeleurs 3D, Inventor, Solidworks ) permettent de déterminer les contraintes et déformations dans une poutre ayant des formes complexes sans passer par des abaques par la méthode des éléments finis. Maillage illustrant la concentration de contraintes. L incrément de calcul en 3D est resserré pour les concentrations de contraintes. JC ROLIN 1 Lycée G.Eiffel Dijon

5 PRINCIPALES CARACTERISTIQUES MECANIQUES EN RDM 5.1 Essai de traction et caractéristiques déterminées Video : https://www.youtube.com/watch?v=b3dvujqnu et bien d autres L essai de traction permet de déterminer les principales caractéristiques mécaniques d un matériau, c est à dire : le module d'young E, ou module d'élasticité longitudinale (MPa) ou gigapascal (GPa), la limite d'élasticité R e ou contrainte élastique qui caractérise le domaine de déformation réversible du matériau, la résistance à la traction R m ou σ m, ou limite à la rupture R r (MPa), l'allongement à la rupture A (%) sous charge avant la rupture, le coefficient de Poisson (sans dimension) qui lie la déformation transversale à la déformation axiale, Le coefficient de striction Z (%). Machine d essai de traction Principe de l essai : L éprouvette du matériau testé est un barreau cylindrique ou de section rectangulaire (éprouvette plate). La machine de traction soumet l éprouvette à un effort de traction croissant jusqu à la rupture. La section de l épouvette étant connue, on reléve simultanément la contrainte en MPa et son allongement relatif. 5.2 Courbe d essai : Zone élastique (Loi De Hooke) Dans la zone OA l allongement est proportionnel à la contrainte et l éprouvette déformée élastiquement retrouvera sa longueur initiale L une fois libérée de la contrainte appliquée. On relève l allongement relatif ou déformation selon l axe x : L x Lo On établit la loi de Hooke avec E module d Young ou d élasticité longitudinal : E. Loi de Hooke : x x (Valeurs de E : acier 21 GPa, Al 69 GPa, Cu 13 GPa ). On déduit la relation entre la contrainte, le module d élasticité et l allongement relatif. x E = ΔL L JC ROLIN 11 Lycée G.Eiffel Dijon

5.3 Courbe d essai : Zone plastique, limite élastique et de rupture Au-delà de Re limite élastique, débute la zone plastique. Le matériau relâché de sa contrainte ne retrouve plus sa forme initiale. Dans la zone d écrouissage l éprouvette garde une section homogène sur sa longueur, mais ce n est plus le cas dans la zone de striction, où un étranglement apparaît, la contrainte diminue alors que l éprouvette s allonge. Cette zone débute avec Rr contrainte limite de rupture et se termine en D lorsque l éprouvette rompt. 5.4 Coefficient de Poisson Pour la grande majorité des matériaux, l allongement ou la déformation longitudinale L x, s accompagne L d une contraction ou déformation transversale sur les axes y et z, L' T. L o Le coefficient de poisson «nu» sans dimension, lie ces deux déformations. T L o coefficient de Poisson Le changement de volume ΔV/V dû à la contraction du matériau est donné par la relation valable uniquement pour de petites V L déformations : (1 2 ) V L Quelques valeurs usuelles : Acier, cuivre =,3 ; fonte =,2 ; matériau incompressible (volume constant), caoutchouc =,5 ; Autres : liège = ; matériaux auxétiques <! 5.5 Principe de la mesure d effort par jauge de contrainte Déformations usuelles en traction, allongement et contraction transversale. Pour évaluer les contraintes ou déformations sur une pièce mécanique que l on nomme corps d épreuve, on utilise des jauges de contrainte collées sur ce corps et subissant les mêmes déformations. Ci-dessous un montage avec 4 jauges sur un corps d épreuve en traction pure. Détail d une jauge V B Montage de la jauge Ja et coefficient de Poisson Définir sur le schéma électrique la référence des potentiels (masse), les potentiels V A entre Ja et Jd puis V B entre Jb et Jc. Une jauge est une résistance ayant pour caractéristiques au L repos une résistance R., une longueur L, une section S S et une résistivité ρ. En admettant la résistivité ρ constante par rapport aux déformations, la variation relative de la résistance pour de petites déformations est : R L S R L S JC ROLIN 12 Lycée G.Eiffel Dijon

La section S dépend des 2 dimensions transversales sur y et z et sa variation relative du coefficient de Poisson : Soit S S Ly Lz L L y z L 2. et finalement le coefficient de jauge K à partir de L R R l allongement relatif est : 1 2 K. soit K 1 2 L L K est le coefficient ou facteur de jauge si on néglige la variation de résistivité due aux déformations. Dans le cas des jauges métalliques sur corps d épreuve métalliques, la variation relative de résistance est de l'ordre de la déformation qui est tout au plus de 1-4, on a toujours ΔR << R En toute rigueur, la constante de Bridgman (coefficient C) intervient pour la résistivité et on obtient alors K. 1 2 C(1 2 ) L L Pour l acier ( =,3 ; C=1), le facteur de jauge K est de l'ordre de 2. On établit la tension différentielle ΔEm du pont de mesure, ici pont complet, par rapport à l allongement relatif. JC ROLIN 13 Lycée G.Eiffel Dijon

5.6 DAE (direction assistée électrique) mesure du couple de la colonne de direction La mesure du couple exercé au volant est réalisée d un point de vue didactique par le montage de 4 jauges de contrainte dans un pont de mesure complet. Figure 2.29 Pour chaque jauge résistive, on note R la résistance au repos et +/- ΔR leur variation de résistance. Q.1. Sur la figure 2.29, fixer le paramétrage (repère orthonormé) associé de façon classique à une poutre en RDM et donner pour une torsion pure la forme d écriture du torseur de cohésion. Q.2. Pour une moment de torsion positif puis négatif, indiquer clairement le type de déformation que subit chacune des 4 jauges Ja à Jd et en déduire l expression de leur résistance. On rappelle que si Ja s allonge on notera R A = R + R. Présenter dans un tableau. Chaque résistance vaut R = 25ohms au repos, sa variation relative de longueur dans le domaine des faibles déformations est L/L = 4.1-4 pour un couple Tx = 4Nm exercé sur la colonne de direction. Le coefficient de Poisson du matériau de la jauge est =,32 et on néglige sa variation de résistivité. Q.3. Déterminer le coefficient de jauge K et déduire la variation de résistance relative et absolue pour une jauge pour Tx = 4Nm. A partir de maintenant on s intéresse à un couple de torsion positif. Q.4. Représenter un pont complet avec les 4 résistances repérées Ra à Rd pour Ja à Jd et situer : La tension d alimentation Vcc sous forme d une ddp, mettre en place la masse, référence à V. La tension de sortie U AB en distinguant ses 2 extrémités par des potentiels V A à gauche et V B à droite définis par rapport à une référence de tension que vous préciserez. Indiquer d un point de vue mesure les tensions de type «mode commun» et «mode différentiel», préciser quelle est le mode de mesure à préférer en précisant pourquoi. Q.5. Exprimer la tension U AB en fonction de Vcc, R et R. Utiliser les résultats établis en Q3 et déduire l expression de la tension de sortie du pont sous la forme U AB = K T.Vcc.Tx. Faire l application numérique si Vcc = 12V, Tx = 4Nm, commenter votre résultat. JC ROLIN 14 Lycée G.Eiffel Dijon

Q.6. Représenter la fonction de transfert du pont de mesure U AB = f(tx) pour une plage de couple de +/- 8Nm si Vcc = 12V puis si Vcc = 5V. La sortie du pont de mesure est raccordée à un amplificateur d instrumentation de type AD62 dont un extrait de notice est fournie ci-dessous. Q.7. Sur le document réponse, faire le schéma de raccordement du pont à l amplificateur AD62 et à l alimentation symétrique +/- 5V, repérer tous les numéros de pattes utilisées et les repères de chaque jauge (Ja à Jd). Mettre en place la résistance R G. Q.8. Calculer la valeur de R G pour obtenir une tension de 2V en sortie d amplificateur pour un couple C = 4Nm. Q.9. Expliquer l intérêt d une solution à circuit intégré, par rapport à une solution à circuits discrets (plusieurs A. Op et résistances réparties sur un circuit imprimé). Indiquer quelles précautions de câblage il faut suivre entre le pont et l amplificateur qui est situé à 1 mètre du point de mesure. JC ROLIN 15 Lycée G.Eiffel Dijon

Document réponse : réalisation du schéma de la structure d acquisition Mettre en place les axes du paramétrage, indiquer les directions des élongations ou contraction sur les quatre jauges en place en les désignant (Ja à Jb). Bornes d alimentation -5V V +5V JC ROLIN 16 Lycée G.Eiffel Dijon