Le champ conceptuel des structures multiplicatives Référence : travaux de Gérard VERGNAUD

Le champ conceptuel des structures multiplicatives Référence : travaux de Gérard VERGNAUD Dans ce champ conceptuel, Gérard VERGNAUD distingue les situations multiplicatives en fonction des grandeurs en jeu et surtout du type de relations qui les relient. Auteurs : Olivier GRAFF et Benoit WOZNIAK

La structure mathématique des problèmes Elle est définie par la nature des données du problème (= les domaines de grandeurs* en jeu) les relations qui existent entre ces données : -relations de comparaison entre les grandeurs d un même domaine (rapport scalaire exprimé par un nombre sans dimension «4 fois plus grand») -relations fonctionnelles définies entre 2 domaines de grandeur (rapport fonctionnel exprimé par un nombre avec une unité) *Une grandeur s exprime par une mesure et une unité (6 kg, 7 ). La mesure d une grandeur s exprime par un nombre (entier ou décimal).

Variables didactiques Le nombre de domaines de grandeurs mis en jeu par les données de l énoncé (2 ou 3). Le type de relations entre les domaines de grandeur. Les valeurs numériques à choisir de telle sorte que les opérations en jeu s inscrivent dans les programmes 2008: - au CE2, division avec un diviseur à 1 chiffre, - au CM1 multiplication d un nombre décimal par un nombre entier, division euclidienne de 2 entiers, division décimale de 2 entiers, - au CM2, multiplication de 2 nombres entiers ou décimaux, division d un nombre décimal par un nombre entier. Les relations arithmétiques entre les nombres donnés favoriseront ou pas certaines procédures ou le recours au calcul mental.

Catégorisation des problèmes relevant de structures multiplicatives 3 grandes classes de problèmes Classe 1. Les situations portant sur un seul domaine de grandeur -rapport scalaire explicite : Ces problèmes dits «ternaires» car trois nombres sont en jeu : 2 mesures de grandeurs du domaine concerné et le rapport scalaire défini entre ces 2 mesures. -variation d une grandeur : Le rapport scalaire s exprime par une relation de multiplication ou de division, sans comparaison entre les mesures. (cas 1 à cas 6)

Classe 1. Les situations portant sur un seul domaine de grandeur - composition de deux variations d une grandeur : Problèmes où l on fait évoluer deux fois la même grandeur. Il y a donc deux rapports scalaires, chacun exprimé par une relation de multiplication ou de division, sans comparaison entre les mesures. (cas 7 et cas 8)

Classe 1. Les situations portant sur un seul domaine de grandeur -le rapport scalaire s exprime par une relation comparative entre les mesures à l aide de locutions complexes «fois plus», «fois moins», double, moitié qui rendent la représentation de la situation difficile car ces situations peuvent être confondues avec celles qui utilisent les termes «de plus» ou «de moins». (cas 9 à cas 14)

Classe 1. Les situations portant sur un seul domaine de grandeur -le rapport scalaire s exprime par une relation de multiplication ou de division, sans comparaison entre les mesures. - le rapport scalaire est implicite (cas 15 et cas 16)

Classe 2. Les situations portant sur deux domaines de grandeur Ces problèmes sont dits «quaternaires» car 4 nombres sont en jeu : 2 mesures de grandeurs (chacune appartenant à un domaine de grandeur), le rapport fonctionnel défini entre les deux domaines de grandeurs et l inconnue. Ils sont aussi dits «de proportionnalité» car une proportion existe entre les mesures de l un et l autre domaines de grandeurs.

Classe 2. Les situations portant sur deux domaines de grandeur La référence à l unité est plus ou moins explicite Multiplication - le rapport fonctionnel fait référence à l unité de façon plus ou moins explicite - on cherche le nombre total d éléments

Classe 2. Les situations portant sur deux domaines de grandeur Division-partage (partition) - le rapport fonctionnel fait référence à l unité - on cherche le nombre d éléments par paquet ou la valeur d une part

Classe 2. Les situations portant sur deux domaines de grandeur Division-groupements (quotition) - le rapport fonctionnel fait référence à l unité - on cherche le nombre de paquets ou le nombre de parts

Classe 2. Les situations portant sur deux domaines de grandeur Le rapport fonctionnel ne fait pas référence à l unité Problèmes dits «de quatrième proportionnelle» - l énoncé indique la valeur d un multiple de l unité

Classe 2. Les situations portant sur deux domaines de grandeur Problèmes de comparaison de rapport de proportionnelle = problèmes «quaternaires» dans lesquels interviennent deux parties composant un tout. La mise en relation se fait entre les deux parties (cas 21)

Classe 2. Les situations portant sur deux domaines de grandeur Problèmes de comparaison de rapport de proportionnelle = problèmes «quaternaires» dans lesquels interviennent deux parties composant un tout. La mise en relation se fait entre une partie et le tout

Classe 3. Les problèmes portant sur une composition de grandeurs (trois domaines de grandeurs) Proportionnalité simple composée -deux relations de proportionnalité simple sont définies : une relation entre le domaine 1 et le domaine 2 et une relation entre le domaine 2 et le domaine 3. - la situation fait que les deux relations se composent. Selon la place de l inconnue, on peut distinguer quatre catégories de problèmes. (cas 23 à cas 26)

Classe 3. Les problèmes portant sur une composition de grandeurs (trois domaines de grandeurs) Proportionnalité double - trois domaines de grandeurs - les deux premiers domaines sont indépendants -le troisième domaine est la grandeur-produit des deux autres domaines -pas de relation fonctionnelle entre les deux premiers domaines de grandeurs. -une relation associe à une mesure du domaine 1 et une mesure du domaine 2, une mesure du domaine 3

Classe 3. Les problèmes portant sur une composition de grandeurs proportionnalité double