Travaux Pratiques De RDM

Université Abdelmalek Essaadi Faculté des sciences et techniques Tanger Travaux Pratiques De RDM Sujet TP : Torsion De Barres Cylindrique Réalisé par (groupe 6) : Encadré par : Omari Anass El Hilali Hamza Chaouki Hassan Kasmi Youssef Mlle. Fakri Nadia

REMERCIEMENT Nous vous remercions Madame pour tous les conseils, les idées, et le bon traitement, et nous espérons être au niveau requis. Merci! 2

SOMMAIRE Essai de torsion P 4 Description de l appareillage P 5 But de manipulation Procédure de manipulation P6 P6 La relation entre le moment de la torsion et l angle de torsion d une barre : Les relations et les données Tableaux des valeurs relevées et calculées Diagramme de variation de Mt en fonction de ϴ Calcul de la pente k et de l incertitude Δk P6 P7 P8 P9 Détermination de module d élasticité transversale en torsion : Tableaux des valeurs relevées et calculées Calcul des grandeurs demandées et exploitation des résultats P10 P10 3

Essai de torsion : On considère une éprouvette cylindrique encastrée à une extrémité. A l autre extrémité, on exerce un moment de torsion Mt. La génératrice AB située à une distance r de l axe de l éprouvette, est déformée en AB. ϴ: L angle de rotation de la génératrice AB, est appelé «Angle de torsion de la barre». On démontre que : Mt/I 0 =G (ϴ/L) Mt : Moment de torsion appliqué. G : Module d élasticité en torsion. I 0 : Moment quadratique polaire de la section. ϴ : Angle de torsion de la barre. Et on définit : I 0 = (π.d 4 )/ 32 Avec d: Diamètre de la section. 4

Description de l appareillage : 1 : levier de fixation. 2 : bloc d encastrement de position réglable. 3 : barre cylindrique graduée. 4 : mandrine. 5 : mandrine libre. 6 : bras de torsion. 7 : volant pour changement de déchargement. 8 : peson à ressort descend lors de l application de la charge. 9 : écrou graduée en Kg. 10 : comparateur. L éprouvette (3) est placée entre les mandrines (4) et (5). On applique la charge à l aide du volant (7) en lisant la valeur de la charge sur l écrou (9). Le comparateur (10) permet la lecture du déplacement dû à la torsion. 5

But de manipulation : Etudier les caractéristiques de torsion de barre cylindrique : Détermination expérimentale de la relation entre le moment de la torsion et l angle de torsion d une barre. Détermination expérimentale de la relation entre la langueur de fixation et l angle de torsion. Détermination expérimentale du module d élasticité en torsion de l aluminium. Procédure de manipulation : Insérer la barre d essai en aluminium et choisi une longueur d essai L= 300 mm. Serrer la barre en place. Faire varier le moment de torsion. La relation entre le moment de la torsion et l angle de torsion d une barre : Les relations et les données Mt(N.m) = relevé de peson x 9.81 x 0.1 ϴ (rad) = relevé de comparateur x 0.02 Mt/I 0 =G (ϴ/L) I 0 = (π.d 4 )/ 32 K= (k 1 + k 2 )/2 Δϴ = Δϴ op + Δϴ comp avec : Δϴ op = sup ϴ moyenne - ϴ i ΔMt = ΔMt peson On donne : Δ peson = 50g ; Δe comp = 0.005 ; G = 0.4E ; E = 7000 dan/mm 2 d = 8 mm L = 300 mm 6

Tableaux des valeurs relevées et calculées : - Tableau des valeurs relevées : peson à ressort en (Kg) Comparateur (mm) Mesure 1 Mesure 2 Mesure 3 0.5 0.69 0.73 0.70 1 1.41 1.46 1.45 1.5 2.24 2.19 2.21 2 2.96 3.03 3.01 2.5 3.78 3.71 3.76 3 4.56 4.55 4.57 - Tableau des valeurs calculées : peson à ressort en (Kg) Moyenne Comparateur (mm) Mt(N.m) ΔMt(N.m) ϴ (rad) Δϴ (rad) 0.5 0.7 0.49 0.049 0.014 3.10-4 1 1.44 0.98 0.049 0.029 9.10-4 1.5 2.21 1.47 0.049 0.044 3.10-4 2 3 1.96 0.049 0.060 9.10-4 2.5 3.75 2.45 0.049 0.075 9.10-4 3 4.56 2.94 0.049 0.0912 3.10-4 Mt(N.m) = relevé de peson x 9.81 x 0.1 ϴ (rad) = relevé de comparateur x 0.02 ΔMt = ΔMt peson = (50.10-3 ) x 9.81 x 0.1 = 0.049 = constante Δϴ comp = Δe comp x 0.02 = 0.005 x 0.02 = 10-4 = constante Δϴ = Δϴ op + Δϴ comp Δϴ op = sup ϴ moyenne - ϴ i Δϴ 1 = [0.014 (0.69 x 0.02)] + 10-4 = 3.10-4 Δϴ 2 = [0.029 (1.41x 0.02)] + 10-4 = 9.10-4 Δϴ 3 = [0.044 (2.19x 0.02)] + 10-4 = 3.10-4 Δϴ 4 = [0.060 (2.96x 0.02)] + 10-4 = 9.10-4 Δϴ 5 = [0.075 (3.71x 0.02)] + 10-4 = 9.10-4 Δϴ 6 = [0.0912 (4.55x 0.02)] + 10-4 = 3.10-4 7

Diagramme de variation de Mt en fonction de ϴ : 8

Calcul de la pente k et de l incertitude Δk : - La valeur expérimentale de k : Pour la droite D 1 : Pour la droite D 2 : K 1 = [(2.989)-(0.441)] / [(0.0907)-(0.0143)] K 1 = 33.35 N.m K 2 = [(2.891)-(0.539)] / [(0.0913)-(0.0137)] K 2 = 30.309 N.m Donc la valeur de k est : - L incertitude Δk : k = (k 1 +k 2 ) / 2 = (33.35+30.309) / 2 k = 31.83 N.m Δk = k 1 - k 2 / 2 = 33.35 30.309 / 2 Δk = 1.52 N.m D où [k expérimentale = (31.83 ± 1.5) N.m] - La valeur théorique de k : On a: Mt/I 0 = G (ϴ/L) <=> Mt/ϴ = G. (I 0 / L) k = G. (I 0 / L) I 0 = (π.d 4 )/ 32 = (π.8 4 )/ 32 = 402.12 mm 4 G = 0.4E = 0.4 x 7000 = 2800 dan/mm 2 = 28000 N/mm 2 Alors: k = G. (I 0 / L) = 0.4 E. (I 0 / L) = 28000 x (402.12/300) k = 37531.2 N.mm [k théorique = 37.53 N.m] - Comparaison de la valeur théorique et la valeur expérimentale de k : k expérimentale = (31.83 ± 1.5) N.m et k théorique = 37.53 N.m D où K théorique > k expérimentale Et ça du a cause des incertitudes de mesures et la fatigue des instruments de TP. 9

Détermination de module d élasticité transversale en torsion : Tableaux des valeurs relevées et calculées : - Tableau des valeurs relevées : peson à ressort en (Kg) Comparateur (mm) Mesure 1 Mesure 2 Mesure 3 1 1.41 1.46 1.45 2 2.96 3.03 3.01 3 4.56 4.55 4.57 - Tableau des valeurs calculées : peson à ressort en (Kg) Moyenne Comparateur (mm) Mt (N.m) ϴ (rad) Mt / ϴ ΔMt Δϴ 1 1.44 0.98 0.029 33.8 0.049 9.10-4 2 3 1.96 0.060 32.66 0.049 9.10-4 3 4.56 2.94 0.0912 32.23 0.049 3.10-4 La moyenne 32.9 N.m 0.049 7.10-4 Calcul des grandeurs demandées et exploitation des résultats : - On déduit la valeur de G : Mt/ϴ = 32.9 N.m = 32900 N.mm G = Mt.L / ϴ. I 0 = (Mt/ϴ) x (L/I 0 ) = (Mt/ϴ) x (32.L/π.d 4 ) G = 32900 x (32.300/π.8 4 ) G = 24544.67 N/mm 2 [G experimental = 2454.46 dan/mm 2 ] - Calcule des incertitudes de mesure (ΔG/G) : G = Mt.L / ϴ. I 0 = (Mt/ϴ) x (L/I 0 ) Log G = Log ((Mt/ϴ) x (L/I 0 )) = Log (Mt/ϴ) + Log (L/I 0 ) = Log Mt - Log ϴ + Log L - log I 0 d (Log G) = dg/g= d (Log Mt) d (Log ϴ) + d (Log L) d (log I 0 ) = (dmt/mt) (dθ/θ) + (dl/l) (di 0 /I 0 ) dg/g = (dmt/mt) (dθ/θ) (car: L et I 0 sont des constantes) ΔG/G = 1/Mt.ΔMt + 1/ ϴ.Δϴ 10

Valeur moyenne de : ΔMt = 0.049 N.m Δϴ = 7.10-4 rad ΔG/G = 1/Mt.ΔMt + 1/ ϴ.Δϴ ΔG/G = 1/1.96 x 0.049 + 1/ 0.06 x 7.10-4 [ΔG/G = 0.036] ΔG = 0.036 x G = 0.036 x 2454.46 = 88.36 dan/mm 2 [ΔG = 88.36 dan/mm 2 ] Donc : [G expérimental = (2454.46 ± 88) dan/mm 2 ] - Comparaison de la valeur théorique et la valeur expérimentale de G : On a : Alors : [G expérimental = (2454.46 ± 88) dan/mm 2 ] [G théorique = 2800 dan/mm 2 ] G expérimental < G théorique Et ça du a cause des incertitudes de mesures et la fatigue des instruments de TP. 11