DENOMBREMENT-COMBINATOIRE-PROBABILITES GENERALES

BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-DENOMBREMENT-COMBINATOIRE-EXERCICE DE SYNTHESE EXERCICE RECAPITULATIF (DE SYNTHESE) CORRIGE Le jeu au poker fermé DENOMBREMENT-COMBINATOIRE-PROBABILITES GENERALES On joue au poker avec un jeu de 52 cartes sans joker. Pour simplifier le raisonnement, on donne les cinq cartes au joueur dès la première donne.. Combien y a-t-il de «mains» de 5 cartes possibles? Cela revient à choisir 5 cartes sans ordre parmi un ensemble de 52 cartes Il y a donc ( 52 5 ) =2 598 960 «mains» de 5 cartes possibles 2. Quelle est la probabilité de recevoir... : a) Une quinte royale ( 0, V, D, R, A soit 5 cartes majeures dans la même couleur )? Il n'existe qu'une quinte royale par couleur donc 4 quintes royales au total. 4 p (a)= 2598960 = p (a),539.0 6 649740 b) Une quinte flush ( exemple : 7, 8, 9, 0, V : 5 cartes consécutives de la même couleur, mais pas une quinte royale )? Il y a 9 quintes possibles par couleur : (;2;3;4;5), (2;3;4;5;6 ), (3;4;5;6;7), (4;5;6;7;8), (5;6;7;8;9), (6;7;8;9;0), (7;8;9;0;V), (8;9;0;V;D), (9;0;V;D;R) soit au total 36 quintes flush possibles. p (b)= 36 2598960 = 3 p (b),3852.0 5 26580 c) Un carré ( par exemple : R, R, R, R, 4 )? Il y a 3 façons de choisir le carré et il reste une carte isolée à choisir parmi les 48 cartes restantes Il y a donc 3 ( 48 ) = 3 48 = 624 mains comprenant un carré p (c)= 624 2598960 = 465 p (c) 0,00024 d) Un full (brelan+ paire, par exemple : 8, 8, 8, V, V )? Il faut avoir un brelan ET une paire dans la même main. Il y a 3 ( 4 façons de choisir un brelan selon la valeur de la carte. 3) Il faut ensuite choisir pour chaque brelan deux cartes parmi 4 cartes mais dans les 2 valeurs qui restent pour faire la paire. Au total, il y a donc : 3 ( 4 3) ( 2 4 = 3744 fulls 2) p (d)= 3744 2598960 = 6 465 p (d) 0,0044

BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-DENOMBREMENT-COMBINATOIRE-EXERCICE DE SYNTHESE e) un flush ou couleur :(par exemple : 3, 7, 8, V, R, 5 cartes de la même couleur mais ni quinte royale ni quinte flush)? Il y a 4 ( 3 5 ) façons de choisir 5 cartes de la même couleur mais dans ce total sont aussi compris les quintes royales et les quintes flush que l'on doit donc soustraire, ce qui donne 4 ( 3 5 ) - 36 4 =508 mains contenant une couleur (ou flush ) quintes flush quintes royales p (e)= 508 2598960 = 277 p (e) 0,0097 649740 f) Une quinte (par exemple : 2, 3, 4, 5, 6, 5 cartes consécutives mais ni quinte flush ni quinte royale)? Il n'a que 0 valeurs qui peuvent se suivre et ensuite 4 possibilités pour chacune des 5 cartes selon la couleur. Ce qui donne un total de 0 4 5 mais ce total comprend les quintes flush et les quintes royales. Il faut donc les retrancher. Il y a donc 0 4 5 36 4 =0200 mains contenant une quinte p ( f )= 0200 2598960 = 5 p ( f ) 0,00392 274 g) Un brelan (par exemple : A, A, A, 7, 9 )? Il faut avoir exactement 3 cartes parmi 4 de la même valeur, il y a donc 3 façons de choisir le brelan. Il faut ensuite choisir 2 cartes parmi les 48 restantes et enlever de ce résultat les fulls. Il y a donc 3 ( 4 3) ( 48 2 ) - 3744 = 5492 mains contenant exactement brelan. p (g)= 5492 2598960 = 88 465 p (g ) 0,02 h) Deux paires ou une double paire ( par exemple : 4, 4, V, V, 0 )? Il faut avoir deux paires qui ne forment pas un carré : pour la première paire, il y a 3 façons de choisir 2 cartes parmi 4 pour la deuxième paire, il y a 2 façons de choisir 2 cartes parmi 4 (2 au lieu de 3 pour éviter de faire des carrés) Il y a façons de choisir la cinquième carte ( pas 3 ni 2 mais pour éviter brelan, full, etc.. ; Il faut multiplier le tout 4 ( nombre de couleurs ) Ce faisant, on a deux fois plus de double paires que nécessaire, il faut donc diviser le résultat précédent par 2! Finalement, il y a 4 = 23552 mains contenant une double paire. p (h)= 23552 2598960 = 98 465 2! 3 ( 4 2) 2 ( 4 2) p (h) 0,0475

BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-DENOMBREMENT-COMBINATOIRE-EXERCICE DE SYNTHESE i) Une paire (par exemple : D, D, 3, 6, R )? Il faut avoir exactement 2 cartes de la même valeur et 3 autres cartes différentes Il y a 3 façons de choisir la valeur de la paire puis pour chaque valeur ( 4 2) façons de faire. 2 4 4 0 4 Pour les 3 cartes restantes, il ne faut ni paire ni brelan donc : 3! ( on divise par 3! pour éviter les triplets, n'oublions pas qu'il n'y a pas de notion d'ordre). Finalement, il y a 3 ( 4 2 4 4 0 4 2) 3! = 098240 mains contenant une paire unique. p (i)= 098240 2598960 = 352 833 p (i) 0,4226

BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES I. PROBABILITES GENERALES Cadre-type : Un jeu consiste à lancer deux dés cubiques non pipés, l'un de couleur bleue et l'autre de couleur verte dont les faces respectives sont numérotées de à 6, et à noter les numéros obtenus par le dé bleu et le dé vert. On note b le nombre marqué sur la face supérieure du dé bleu et v le nombre marqué sur la face supérieure du dé vert. On obtient ainsi à chaque lancer simultané des deux dés un couple (b, v). Exemple dé bleu : 3 et dé vert : 5 donne le couple (3;5). Dénombrement de tous les cas possibles : l'univers des possibles ou Univers certain La meilleure façon de dénombrer tous les cas, sans en omettre un seul, est sans doute de les répertorier dans un tableau comme ci-dessous. Compléter ce tableau. bleu vert 2 3 4 5 6 (;) (;2) (;3) (;4) (;5) (;6) 2 (2;) (2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6) 3 (3;) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6) 4 (4;) (4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6) 5 (5;) (5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6) 6 (6;) (6;2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6) Nombre d'issues différentes possibles : obtenir un numéro sur le dé bleu ET obtenir un numéro sur le dé vert. Nombre total d'issues possibles : 6 6= 6 2 = 36 (6 choix pour le er numéro ET 6 choix pour le second) L'univers certain est noté conventionnellement et il est formé des 36 couples de résultats possibles. Il y a 36 éléments différents dans l'univers. On note Card( )= 36, et on parle de Cardinal pour donner le nombre d'éléments d'un ensemble. 2. Un cas particulier : l'évènement On veut connaître la probabilité (la chance) d'obtenir un double six à ce jeu. Il s'agit donc de dénombrer combien il existe dans notre Univers de couples (6;6). Il n'en existe qu 'un seul et on s'intéresse donc à un événement particulier noté A. Nommer l'évènement A : A : «obtenir deux numéros 6» ou «obtenir un double six». Décrire l'événement A : A ={(6 ; 6)} On dit que Card ( A)= : A ne contient qu'un seul élément. C'est un événement élémentaire. Un événement est donc un ensemble constitué de 0, ou plusieurs éléments différents. card ( A) La probabilité d'obtenir l'évènement A est alors donné par le rapport p ( A)= card (Ω) = 36 Il y a donc chance sur 36 d'obtenir le couple (6;6) à ce jeu. nombre de cas favorables (nombre d ' issues favorables) Règle générale p ( A)= nombre de cas posssibles ( nombre d ' issues possibles) a) Quelle est la probabilité de réaliser l'évènement B : «obtenir deux numéros identiques»? Décrire l'évènement B : B ={( ; ), (2 ; 2), (3 ; 3), (4 ; 4), (5 ; 5),(6 ; 6)} Card ( B) = 6 Card (B) Probabilité de l'évènement B : p ( B)= Card (Ω) = 6 36 b) Quelle est la probabilité de réaliser l'évènement C : «obtenir un total de 8» Décrire l'évènement C : C = {(2 ; 6),(3 ; 5),(4 ; 4),(5 ; 3),(6 ; 2)} et card (C )= 5 Card (C) Probabilité de l'évènement C : p (C)= Card (Ω) = 5 36 /9

BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES 3. Réunion et intersection de deux évènements. On considère l'évènement noté B C Nommer cet événement : B C (lire B union C ) : «obtenir deux numéros identiques» OU «obtenir deux numéros dont la somme est égale à 8». Attention, dans le cadre des probabilités, le OU est à prendre dans son sens inclusif et non exclusif. Le «OU» impliquera nécessairement le PRINCIPE ADDITIF B ={( ; ), (2 ; 2), (3 ; 3), (4 ; 4), (5 ; 5),(6 ; 6)} C = {(2 ; 6), (3 ; 5), (4 ; 4) ; (5 ; 3) ; (6 ; 2)} L'évènement B C correspond aux éléments communs et non communs des deux évènements B et C Il faut prendre garde au doublon (4;4) qui est dans la description des deux évènements. Il ne faut donc le reprendre qu'une seule fois dans la réunion des deux évènements. B C ={( ; ), (2 ; 2), (3 ; 3), (4 ; 4), (5 ; 5), (6 ; 6), (2 ; 6), (3 ; 5), (5 ; 3), (6 ; 2)} Card ( B C )=0 et p ( B C )= 0 36 Remarque : p ( B)+ p (C )= 6 36 + 5 36 = 36 et p ( B C )= 0 36 L'évènement élémentaire {(4;4)} est inclus dans l'évènement B et dans l'évènement C. On dit que (4 ; 4) = B C, c'est l'intersection des deux évènements B et C. p ( B C )= 36 p ( B C )= p (B)+ p (C) p (B C ) B C est l'évènement : «obtenir deux numéros identiques ET deux numéros dont la somme vaut 8». La description de cet événement est (4 ; 4) = B C ={(4 ; 4)} p ( B C )= 6 36 + 5 36 36 = 0 36 p ( A B)= p ( A)+ p (B) p ( A B) Remarque : on dit que deux évènements A et B sont incompatibles si A B = Si deux évènements A et B sont incompatibles, on a alors par application de la formule : p ( A B)= p ( A)+ p ( B) la somme des probabilités sur un même univers est égale à p (Ω)= p ( )=0 Pour tout événement A, il existe l'évènement contraire Ā qui se lit «A barre» tel que p ( Ā)= p ( A) 2/9

BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES II. PROBABILITES CONDITIONNELLES Cadre-type : Sondage sur Internet Voici les résultats d'un sondage effectué auprès de 000 personnes à propos d'internet. 40% des personnes interrogées déclarent être intéressées par Internet 35% des personnes interrogées ont moins de 25 ans et parmi celles-ci 80% déclarent être intéressées pas internet 30% des personnes interrogées ont plus de 50 ans et parmi celles-ci 85% ne sont pas intéressées par internet. Compléter le tableau suivant Personnes Intéressés par internet Non intéressés par internet Total Moins de 25 ans 280 70 350 De 25 à 50 ans 75 275 350 Plus de 50 ans 45 255 300 Total 400 600 000 2. On choisit au hasard une personne parmi les 000 interrogées. On considère les évènements suivants : A : «la personne interrogée a moins de 25 ans» B : «la personne interrogée a plus de 50 ans» I : «la personne interrogée est intéressée par Internet» a) calculer les probabilités p A, p B, p I 350 p ( A) = 000 =0,35 p ( B) = p ( I ) = 300 000 =0,3 400 000 =0,4 b) définir par une phrase l'évènement B et calculer p B B : «la personne interrogée a 50 ans ou moins de 50 ans» p ( B) = 350 +350 = 700 000 000 =0,7 ou p ( B) = p ( B)= 0,3= 0,7 c) calculer p A I et p A I 280 p A I = 000 =0,28 p( A I ) = p ( A)+ p (I ) p (A I )=0,35 + 0,4 0,28 =0,47 p A I = 350 +400 280 000 = 470 000 = 0,47 3/9

BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES 3. On sait maintenant que la personne interrogée n'est pas intéressée par Internet. Quelle est la probabilité pour qu'elle ait plus de 50 ans? Qu'elle ait 50 ans ou moins de 50 ans? On change d'univers pour se trouver dans l'univers des personnes non intéressées par Internet (Ī ) Card ( Ī )= 600 Card (B Ī) p Ī (B)= Card ( Ī ) = 255 600 = 0,425 p Ī ( B) = Card ( B Ī ) card ( Ī) = 70 + 275 = 345 600 600 = 0,575 p Ī ( B) = p Ī (B)=,425= 0,575 4. On sait maintenant que la personne interrogée n'a pas plus de 50 ans. Quelle est la probabilité pour qu'elle soit intéressée par Internet? On change à nouveau d'univers pour être dans celui des personnes de 50 ans ou moins de 50 ans qui a pour effectif total : 350 +350 = 700. c'est l'univers constitué par l'évènement B On cherche p B ( I ) p B ( I ) = p ( B I ) p ( B) p B ( I ) = 355 700 7 p B ( I ) = 40 4/9

BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES Exercice n : Enquête sur le cinéma Une enquête faite auprès d'une population comprenant 5% de femmes et 49% d'hommes montre que 20% des femmes et 5% des hommes de cette population ne vont jamais au cinéma. On choisit un individu au hasard dans cette population, tous les choix étant équiprobables. On note F l'évènement «l'individu choisi est une femme» C l'évènement «l'individu choisi va au cinéma». Construire un arbre pondéré (arbre de probabilité) décrivant cette enquête. 2. Donner p F, p F C, p F C, p F C, p F C 3. Calculer p F C, p F C 4. En écrivant C=(F C ) ( F C ), calculer p C. En déduire p C.. 3. 0, 5 F 0, 8 0 0, 2 0 C C p F ( C )= p (F C) p (F ) p F (C )= = 0,02 0,5 = 0,20 p (F C) = 0,408 p (F ) 0,5 =0,80 0, 4 9 C 0, 8 5 F 0, 5 C 2. p ( F )= 0,5 p ( F C )= 0,5 0,80 = 0,408 p F C = 0,5 0,20 = 0,02 p F C = 0,49 0,85 = 0,465 p F C = 0,49 0,5 = 0,0735 remarque : La somme de toutes les probabilités est égale à 4. C=(F C ) ( F C ) p (C)= p (F C )+ p ( F C ) p (C)=0,408 + 0,465= 0,8245= 649 2000 p ( C)= p (C)= 0,8245= 0,755 ou p ( C)= p (F C)+ p ( F C) p ( C)=0,02 + 0,0735= 0,755= 35 2000 p C (F )= p (C F ) = 0408 p (C) 0,8245 = 48 97 p C ( F )= p (C F ) = 0,465 p (C) 0,8245 = 49 97 p C (F )= p ( C F ) = 0,02 p ( C) 0,755 = 68 7 p C ( F )= p ( C F ) = 0,0735 p ( C) 0,755 = 49 7 5/9

BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES Exercice n 2 : Jeu de cartes On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes. On considère les évènements suivants : A : «la carte tirée est un cœur» B : «la carte tirée est un roi». Calculer p A, p B, p A B, p B A 2. Comparer p A B à p(b) puis p B A à p ( A) 3. Comparer p A B à p A p B. Il y a 8 cartes de coeur dans le jeu donc p ( A)= 8 32 = 4 Il y a 4 rois dans le jeu donc p ( B)= 4 32 = 8 Sachant que la carte est un roi, quelle est la probabilité que ce soit un coeur : p B ( A)= 4 Sachant que la carte est un coeur, quelle est la probabilité que ce soit un roi : p A (B)= 8 2. p A (B)= p (B)= 8 p B ( A)= p (A)= 4 3. p ( A B)= 32 : la carte est un roi et elle est coeur donc c'est le roi de coeur. p ( A B)= p ( A) p A (B)= 4 8 = 32 p ( A B)= p ( B) p B (A)= 8 4 = 32 On dit que deux évènements A et B sont indépendants si et seulement si : p A ( B)= p ( B) p B ( A)= p ( A) p (A B)= p ( A) p ( B) 6/9

BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES Exercice n 3 : dénombrement et probabilités Dans une urne, il y a 7 boules blanches et 0 boules rouges indiscernables au toucher. On en prend 4 simultanément. On considère les évènements suivants : A : «obtenir 4 boules blanches» B : «obtenir 2 boules blanches et 2 boules rouges» Calculer p A, p B. Il s'agit d'un tirage simultané et sans remise, on est dans le domaine des Combinaisons.. Nombre d'issues possibles (univers ) : nombre de possibilités de tirer 4 boules parmi 7 boules : ( 7 = 2380 4 ) Card (Ω)= 2380 A: «obtenir 4 boules blanches» c'est l'issue favorable suivante : «obtenir 4 boules blanches parmi les 7 boules blanches» ET «obtenir 0 boule rouge parmi les 0 boules rouges», ce qui se traduit par : Nombre d'issues favorables : ( 7 4) ( 0 = 35 = 35 0 ) p ( A)= Nombre d ' issues favorables Npmbre d ' issues possibles = Card ( A) Card (Ω) = 35 2380 = 68 2. Le nombre d'issues possibles est inchangé : Card (Ω)= 2380 B : «obtenir 2 boules blanches et 2 boules rouges» est l'issue favorable suivante : «obtenir 2 boules blanches parmi les 7 boules blanches» ET «obtenir 2 boules rouges parmi les 0 boules rouges», ce qui donne : Nombre d'issues favorables : ( 7 2) ( 0 = 2 45 =945 2 ) p ( B)= Nombre d ' issues favorables Nombre d ' issues possibles Card ( B) 27 = =945 / 2380= Card (Ω) 68 7/9

BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES Exercice d'apprentissage n (ERREUR DANS L'ENONCE) Les individus d'une population peuvent être atteints de deux maladies M et M 2. On prélève au hasard un individu dans la population. On note A l'évènement : «l'individu est atteint de la maladie M.», et B l'évènement : «l'individu est atteint de la maladie M 2.» On admet que p ( A)= 0,3, p ( B)= 0,05, et que la probabilité qu'un individu pris au hasard dans la population soit atteint de la maladie M, sachant qu'il est atteint de la maladie M 2 est 0,60.. Calculer la probabilité de l'évènement:«l'individu est atteint de la maladie M et de la maladie M 2.» 2. Calculer la probabilité de l'évènement : «l'individu est atteint de la maladie M sachant qu'il est atteint de la maladie M 2.» 3. Calculer la probabilité de l'évènement:«l'individu est atteint de la maladie M ou de la maladie M 2.» p ( A)= 0,3= p (M ) p ( B)= 0,05= p (M 2 ) p M 2 (M )=0,6. On cherche p (M M 2 ) p (M M 2 )= p (M 2 ) p M 2 (M )= 0,05 0,6 =0,03 2. On cherche p M 2 (M ) p M (M 2 )= p (M M ) 2 = 0,03 p (M ) 0,3 =0, 3. On cherche p (M M 2 ) p (M M 2 )= p (M )+ p (M 2 ) p (M M 2 ) p (M M 2 )=0,3 +0,05 0,03= 0,32 8/9

BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES Exercice d'apprentissage n 2 Une grande entreprise recrute chaque année des étudiants au niveau Bac + 2. Elle effectue une sélection à l'aide d'un test écrit sous forme de QCM ; les candidats retenus doivent ensuite passer un entretien. Les candidats choisissent, selon leurs compétences, un test parmi deux. On admet que 40 % des candidats choisissent le premier test, à l'issue duquel 0 % sont sélectionnés et que le reste des candidats choisit le second test, à l'issue duquel 30 % sont sélectionnés. On prélève une fiche au hasard dans le fichier des candidats. Toutes les fiches ont la même probabilité d'être prélevées. On définit les évènements suivants : T : «le candidat choisit le premier test» T 2 : «le candidat choisit le second test» S : «le candidat est sélectionné». A l'aide des informations contenues dans l'énoncé, déterminer les probabilités : p (T ), p (T 2 ), p T (S ), p T 2 (S). 2. Calculer p (S T ) et p (S T 2 ). 3. On admet que S =(S T ) (S T 2 ) et que les évènements (S T ) et (S T 2 ) sont incompatibles;calculer p (S). En déduire p ( S) 4. Calculer la probabilité qu'un candidat ait choisi le premier test sachant qu'il est sélectionné. Arrondir le résultat à 0 2 près.. p (T )=0,4 p (T 2 )= p (T )= 0,4= 0,6 p T (S)= 0, p T 2 (S)=0,3 2. p (S T )= p (T S)= p (T ) p T (S)= 0,4 0, =0,04 p (S T 2 )= p (T 2 S)= p (T 2 ) p T2 (S)= 0,6 0,3 =0,8 3. p (S)= p (S T )+ p (S T 2 )=0,04 + 0,8= 0,22 p ( S)= p (S)= 0,22= 0,78 4. On recherche donc p S (T ) p S (T )= p (S T ) = 0,04 p (S) 0,22 = 2 9/9

BTS GPN ERE ANNEEE-PROBABILITES-VARIABLE ALEATOIRE-LOI DE PROBABILITE VARIABLE ALEATOIRE, LOI DE PROBABILITE D'UNE VARIABLE ALEATOIRE I. VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE Activité : Exemple Un patineur artistique participe à une compétition durant laquelle il doit effectuer deux sauts. Il réussit le premier de ces deux sauts dans 95 % des cas. Comme il est émotif, s'il échoue à ce premier saut, il rate le deuxième trois fois sur dix. Sinon, si tout va bien au premier saut, il réussit le second saut dans 90 % des cas.. On note l'événement R «le patineur réussit son saut» et l'événement R «le patineur ne réussit pas son saut» Compléter l'arbre de probabilité correspondant à une compétition : 0, 9 R 2 R 0, 0, 9 5 R 2 0, 0 5 R 2 0, 7 R 0, 3 R 2 Le règlement est tel que manquer le premier saut donne 0, point de pénalité ; manquer le second saut donne une pénalité de 0,2 point. Le règlement prévoit également que les pénalités se cumulent. On désigne par X le nombre de pénalités obtenues lors de la compétition. 2. Quelles sont les valeurs que peut prendre X? Compléter le tableau ci-dessous. Réussite des sauts Premier et deuxième sauts réussis 0+0=0 Premier réussi et deuxième raté 0+0,2=0,2 Premier raté et deuxième réussi 0,+0=0, Valeurs prises par X Premier et deuxième sauts ratés 0,+0,2=0,3

BTS GPN ERE ANNEEE-PROBABILITES-VARIABLE ALEATOIRE-LOI DE PROBABILITE 3. On dit ainsi que X est une variable aléatoire discrète : cette variable est issue d'une expérience aléatoire (un saut) et elle ne peut prendre qu'un nombre limité de valeurs (similitude avec les séries à caractère quantitatif discret en statistiques) Pour chacune des valeurs prises par cette variable aléatoire X, on peut calculer une probabilité : par exemple, on peut calculer la probabilité que X prenne la valeur 0 (c'est la même probabilité que celle de réussir les deux sauts, puisque en effet dans ce cas, il ne prend pas de pénalité). Compléter le tableau suivant : Réussite des sauts Valeurs de X Probabilités associées Premier et deuxième sauts réussis 0 p(r R 2)=0,95 0,9=0,855 Premier réussi et deuxième raté 0,2 p(r R 2)=0,95 0,=0,095 Premier raté et deuxième réussi 0, p( R R 2)=0,05 0,7=0,035 Premier et deuxième sauts ratés 0,3 p( R R 2)=0,05 0,3=0,05 Remarque : Quelle est la somme des probabilités associées? : 0,855+0,095+0,035+0,05= Il n'y a pas d'autres valeurs possibles pour X. L'univers est restreint aux valeurs de X précédentes et la somme des probabilités sur un univers certain est égale à On adoptera la présentation suivante appelée loi de probabilité de la variable aléatoire X a) sous forme d'un tableau X= k 0 0, 0,2 0,3 p (X = k ) 0,855 0,035 0,095 0,05 p r o b a b i l i t é 0, 9 b) Sous forme d'un diagramme à bâtons 0, 8 0, 7 0, 6 0, 5 0, 4 0, 3 0, 2 0, 0-0, 0 0, 0, 2 0, 3 0, 4 X

BTS GPN ERE ANNEEE-PROBABILITES-VARIABLE ALEATOIRE-LOI DE PROBABILITE Exemple 2 : On prélève simultanément et au hasard 4 cartes dans un jeu de 32 cartes. On note X la variable aléatoire associée au nombre de dames dans cette main de 4 cartes.. On peut définir la loi de probabilité de cette variable aléatoire X : a) Quelles sont les valeurs prises par X? : 0,, 2, 3, 4 b) Déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire X :. Loi de probabilité de X X= k 0 2 3 4 p (X = k ) 4095 792 638 4495 567 8990 4 4495 2. Univers certain : : «ensemble des mains de 4 cartes dans un jeu de 32 cartes» Card( ) = nombre de mains de 4 cartes : ( 32 4 ) = 35960 Avoir 4 cartes parmi 32 cartes 3. Nombre de mains de 4 cartes ne contenant aucune dame : ( 4 0) ( 28 4 ) =20475 Avoir 0 dame parmi 4 dames et 4 cartes parmi les 28 autres On en déduit p(x=0)= 20475 35960 = 4095 792 4. Nombre de mains de 4 cartes contenant exactement dame : ( 4 ) ( 28 3 ) =304 Avoir dame parmi 4 dames et 3 autres cartes parmi les 28 restantes On en déduit p(x=)= 304 35960 = 638 4495 35960 5. Nombre de mains de 4 cartes contenant exactement 2 dames : ( 4 2) ( 28 2 ) =2268 Avoir 2 dames parmi les 4 dames et 2 autres cartes parmi les 28 restantes On en déduit p(x=2)= 2268 35960 = 567 8990 6. Nombre de mains de 4 cartes contenant exactement 3 dames : ( 4 3) ( 28 ) =2 Avoir 3 dames parmi les 4 dames et autre carte parmi les 28 restantes On en déduit p(x=3)= 2 35960 = 4 4495 7. Nombre de mains de 4 cartes contenant exactement 4 dames : ( 4 4) ( 28 0 ) = Avoir 4 dames parmi les 4 dames et 0 carte parmi les 28 cartes restantes On en déduit p(x=4)= 35960

BTS GPN ERE ANNEEE-PROBABILITES-VARIABLE ALEATOIRE-LOI DE PROBABILITE 2. Espérance d'une variable aléatoire (espoir mathématique,..., oui cela existe réellement!!) Une loi de probabilité s'apparente à une série statistique à caractère quantitatif discret. On peut donc calculer la valeur moyenne de cette série statistique : dans le cas des variables aléatoires, cela s'appelle l'espérance mathématique. L'espérance mathématique est la valeur moyenne que prendrait la variable X si on répétait un grand nombre de fois (loi des grands nombres) la même opération (dans le cas étudié ci-dessus, il s'agirait de prélever un grand nombre de fois une main de 4 cartes). i= n Par définition E(X)= i= p (X= x i ) x i Dans le cas étudié, calculer la valeur de E(X) E(X) = 0 4095 792 + 638 4495 + 2 567 8990 + 3 4 4495 + 4 35960 = 2 = 0,5 E(X)=0,5 Donner une interprétation de l'espérance E(X) de la variable aléatoire X : D'après la loi des grands nombres, un joueur peut espérer obtenir 0,5 dame par main de 4 cartes s'il répète cette expérience aléatoire un grand nombre de fois.

BTS GPN ERE ANNEEE-PROBABILITES-VARIABLE ALEATOIRE-LOI DE PROBABILITE Exercice d'application Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa production avant sa commercialisation. Chaque jouet produit par l'entreprise est soumis à deux contrôles : d'une part l'aspect du jouet est examiné afin de vérifier qu'il ne présente pas de défaut de finition, d'autre part sa solidité est testée. Il s'avère, à la suite d'un grand nombre de vérifications, que : 92 % des jouets sont sans défaut de finition ; Parmi ces jouets qui sont sans défaut de finition, 95 % réussissent le test de solidité ; 2 % des jouets ne satisfont à aucun des deux contrôles. On prend au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note : F l'événement : «le jouet est sans défaut de finition». S l'événement : «le jouet réussit le test de solidité».. Construction d'un arbre pondéré associé à cette situation. a) Traduire les données de l'énoncé en utilisant les notations des probabilités. p( F)=0,92 p F (S)=0,95 p( F S)=0,02 b) Démontrer que p F ( S)= 4 On sait que p( F S)=p( F) p F ( S) On en tire p F ( S)= p( F S) p( F) Or, on sait que p( F S)=0,02 et p( F)= p(f)= 0,92=0,08 0,02 On obtient : ( S)= p F 0,08 = 2 8 = 4 p F ( S)= 4

BTS GPN ERE ANNEEE-PROBABILITES-VARIABLE ALEATOIRE-LOI DE PROBABILITE c) Construire l'arbre pondéré correspondant à cette situation. S 0, 9 5 F 0, 0 5 0, 9 2 S 0, 0 8 S 0, 7 5 F 0, 2 5 S 2. Calculs de probabilités a) démontrer que p(s)=0,934 S=( F S) ( F S) p(s)=p(f S)+p( F S) p(s)=0,92 095+0,08 0,75=0,934 p(s)=0,934 b) Un jouet a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu'il soit sans défaut de finition (ce résultat sera arrondi au millième). Il s'agit ici de déterminer p S (F) On applique la formule : p(f S)=p(S F)=p(S) p S (F) On en tire : p S (F)= p(f S) p(s) D'où : p S (F)= 0,92 095 = 0,874 0,934 0,934 0,936 p S (F)=0,936

BTS GPN ERE ANNEEE-PROBABILITES-VARIABLE ALEATOIRE-LOI DE PROBABILITE 3. Etude d'une variable aléatoire B. Les jouets ayant satisfait aux deux contrôles rapportent un bénéfice de 0, ceux qui n'ont pas satisfait au test de solidité sont mis au rebut, les autres jouets rapportent un bénéfice de 5. On désigne par B la variable aléatoire qui associe à chaque jouet le bénéfice rapporté. a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire B. La variable aléatoire B prend les valeurs 0 ; 5 et 0 p( B=0)=p(F S)=0,874 p( B=0)=p( S)= p(s)= 0,934=0,066 p( B=5)=p( F S)=0,08 0,75=0,06 ou p( B=5)= p(b=0) p( B=0)= 0,066 0,874=0,06 Loi de probabilité de la variable aléatoire B X=k 0 5 0 p(x=k) 0,066 0,06 0,874 b) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire B. E(B)=0 0,066+5 0,06+0 0,874=9,04 E(B)=9,04 c) Interpréter ce résultat. L'entreprise peut espérer obtenir un bénéfice moyen de 9,04 par jouet fabriqué et vendu

BTS GPN ERE ANNEEE-PROBABILITES-LOI BINOMIALE VARIABLE ALEATOIRE, LOI BINOMIALE II. LOI BINOMIALE Jacques BERNOULLI (654 ; 705) fut un mathématicien suisse. Il posa les principes du calcul des probabilités dans son œuvre Ars Conjectandi (l'art de la conjecture) Activité : Exemple A l'entraînement, un basketteur effectue des tentatives pour marquer un panier. Pour chaque tentative, il dispose de deux essais. On considère que la tentative est réussie si le premier essai est réussi ou si le second essai est réussi. Après plusieurs jours d'entraînement, l'entraîneur constate les faits suivants : la probabilité de réussir le premier essai est égale à 0,5. la probabilité de réussir le second essai sachant que le premier essai est raté est égale à 0,4. On note S l'événement : «la tentative est réussie». Le basketteur va effectuer quatre tentatives durant cet entraînement. On note X le nombre de réussites obtenues lors de ces tentatives.. Décrire une tentative par un arbre de probabilité R 0, 5 0, 5 0, 4 R 2 R 0, 6 R 2 R représente l'événement : «le premier essai est réussi». R2 représente l'événement : «le second essai est réussi».

BTS GPN ERE ANNEEE-PROBABILITES-LOI BINOMIALE 2. Déterminer la probabilité que la tentative soit réussie, soit p(s) S = (R ) ( R R2) p(s) = p( R )+p( R R2) = 0,5+0,5 0,4=0,5+0,2=0,7 3. Pour le basketteur, la tentative n'a que deux issues possibles : S : «la tentative est réussie» avec une probabilité p = p(s) = 0,7 S : «la tentative a échoué» avec une probabilité q = -p = -0,7=0,3 Cette expérience aléatoire qui a deux issues possibles : le succès (la réussite) avec une probabilité p = 0,7 ou l'échec (l'insuccès) avec une probabilité -p = 0,3 est appelée épreuve de Bernoulli On dit qu'une tentative est une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 0,7 4. Le basketteur effectuant 4 tentatives, il va répéter de façon identique et indépendante (l'issue d'une tentative n'a aucune influence sur l'issue de la suivante, etc...) la même épreuve de Bernoulli. C'est la répétition de n épreuves de Bernoulli de paramètre p. On dit que la répétition de 4 épreuves de Bernoulli est un schéma de Bernoulli de paramètres n = 4 et p =0,7 5. Si on appelle X la variable aléatoire associée au nombre de succès de ce schéma de Bernoulli, On dit que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 4 et p = 0,7 notée B(4;0,7) 6. p (X = k)= ( n k) pk ( p) n k 7. Quelles sont les valeurs que peut prendre la variable aléatoire X? : 0 ; ; 2 ; 3 ; 4. 8. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X : p(x=0)= ( 4 0) 0,70 0,3 4 =0,008 p(x=)= ( 4 ) 0,7 0,3 3 =0,0756 p(x=2)= ( 4 2) 0,72 0,3 2 =0,2646 p(x=3)= ( 4 3) 0,73 0,3 =0,46 p(x=4)= ( 4 4) 0,74 0,3 0 =0,240 Loi de probabilité de X X= k 0 2 3 4 p (X = k ) 0,008 0,0756 0,2646 0,46 0,240

BTS GPN ERE ANNEEE-PROBABILITES-LOI BINOMIALE 9. On notera également que dans une loi binomiale, les propriétés sont les suivantes : E (X)= n p Var (X)=n p ( p) σ (X)= Var (X)= n p ( p) 0. Calculer l'espérance la variable aléatoire X : E(X)=4 0,7=2,8 Interpréter ce résultat : Sur un grand nombre de tentatives, pour chaque série de 4 tentatives, le basketteur peut espérer réussir 2,8 tentatives (ou réussir 28 tentatives sur 40 tentatives). Calculer l'écart type de la variable aléatoire X : (X) σ(x)= 4 0,7 0,3= 0,84 0,92 Applications (pages suivantes)

Exercice n : BTS GPN ERE ANNEEE-PROBABILITES-LOI BINOMIALE A la coopérative du Reblochon de Thônes, la probabilité qu'un reblochon soit de premier choix est de 70 %. On prélève au hasard 4 reblochons dans la cave où sont stockés les fromages (on considère que le stock est suffisamment important pour que le prélèvement d'un fromage soit assimilé à un tirage avec remise et indépendant). On note X la variable aléatoire associée au nombre de reblochons de premier choix de cet échantillon.. Démontrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. a) L'examen d'un reblochon est une expérience aléatoire à 2 issues possibles : Succès : «le reblochon est de premier choix» avec une probabilité p = 0,7 Echec : «le reblochon n'est pas de premier choix» avec une probabilité p = 0,3 C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre p =0,7. b) Le prélèvement de 4 reblochons de manière identique et indépendante est un schéma de Bernoulli de paramètres n = 4 et p = 0,7 c) La variable aléatoire X associée au nombre de reblochons de premier choix donc au nombre de succès du schéma de Bernoulli suit donc la loi binomiale de paramètres n = 4 et p = 0,7 ; elle est notée B(4;0,7) 2. Quelle est l'espérance de X? Interpréter ce résultat. E( X)=4 0,7=9,8 Sur un grand nombre de prélèvement de 4 reblochons, on peut espérer obtenir 9,8 reblochons de premier choix sur les 4 prélevés (ou 98 reblochons de premier choix sur 40 prélevés) 3. Quelle est la probabilité d'avoir 9 fromages de premier choix dans cet échantillon? p(x=9)= ( 4 9 ) 0,79 0,3 5 0,963 4. Quelle est la probabilité d'avoir au moins 2 reblochons de premier choix dans cet échantillon? Première méthode : p( X 2)=p( X=2)+p( X=3)+p(X=4) = ( 4 2) 0,72 0,3 2 + ( 4 3) 0,73 0,3 + ( 4) 0,74 0,3 0 0,608 Seconde méthode p( X 2)= p( X ) =0,608 Avec la calculatrice, on obtient directement p(x 2)=0,608 (méthode en dernière page) 5. Quelle est la probabilité d'avoir au plus 4 reblochons de premier choix dans cet échantillon? p( X 4)=p(X=0)+p( X=)+p( X=2)+p(X=3)+p( X=4)=0,007 ou directement à la calculatrice (méthode en dernière page)

BTS GPN ERE ANNEEE-PROBABILITES-LOI BINOMIALE Exercice n 2 : Le procédé d'insémination artificielle humaine réussit avec une probabilité p =0,. Dans un service hospitalier, on réalise 70 opérations de ce type. On note X la variable aléatoire associée au nombre d'inséminations réussies parmi les 70.. Quelle loi de probabilité peut-être associée à la variable aléatoire X? Justifier. a) Une insémination artificielle humaine est une expérience aléatoire à 2 issues possibles : Succès : «l'insémination a réussi» avec une probabilité p = 0, Echec : «l'insémination n'a pas réussi» avec une probabilité p = 0, = 0,9 C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 0, b) La répétitions de 70 opérations d'insémination de manière identique et indépendante est un schéma de Bernoulli de paramètres n = 70 et p = 0,. c) La variable aléatoire X associée au nombre d'inséminations réussies donc au nombre de succès du schéma de Bernoulli suit la loi binomiale de paramètres n = 70 et p = 0, et est notée B(70;0,) 2. Calculer la probabilité qu'il y ait exactement 6 inséminations réussies dans ce service. p(x=6)= ( 70 6 ) 0,6 0,9 64 0,546 ou directement par la calculatrice (méthode en dernière page) 3. Calculer la probabilité qu'il y ait au plus 7 inséminations réussies dans ce service. p( X 7)=p (X=0)+p( X=)+p( X=2)+p(X=3)+p(X=4)+p(X=5)+p( X=6)+p( X=7)=0,5989 Calcul plutôt fastidieux et source d'erreurs. On peut remarquer que : p(x 7) peut être donnée directement par la calculatrice (méthode en dernière page) et p(x 7)=0,5989 Exercice n 3 : Dans une compagnie d'assurance, on a pu constater que sur les 200 assurés, 60 avaient au moins une déclaration de sinistre dans l'année. La compagnie possède un dossier pour chaque assuré. On prélève au hasard et avec remise 0 de ces 200 dossiers. On note X la variable aléatoire donnant, parmi les 0 dossiers prélevés, le nombre d'assurés ayant fait une déclaration de sinistre dans l'année.. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X?Justifier a) L'examen d'un dossier d'assuré est une expérience aléatoire à 2 issues possibles : Succès : «l'assuré a fait au moins une déclaration de sinistre dans l'année» avec une probabilité p= 60 200 =0,05 Echec : «l'assuré n'a pas fait de déclaration de sinistre dans l'année» avec une probabilité p = 0,95 C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 0,05 a) Le prélèvement de 0 dossiers de manière identique et indépendante est un schéma de Bernoulli de paramètres n = 0 et p = 0,05 b) La variable aléatoire X associée au nombre d'assurés ayant fait une déclaration de sinistre dans l'année parmi les 0 dossiers prélevés, donc au nombre de succès du schéma de Bernoulli suit la loi binomiale de paramètres n = 0 et p = 0,05 notée B(0;0,05)

BTS GPN ERE ANNEEE-PROBABILITES-LOI BINOMIALE 2. Calculer la probabilité qu'un seul assuré parmi les dix choisis ait fait au moins une déclaration dans l'année. p(x=)= ( 0 ) 0,05 0,95 9 0,35 On peut obtenir ce résultat directement à la calculatrice (méthode en dernière page) 3. Calculer la probabilité qu'au moins un assuré parmi les dix choisis ait fait une déclaration dans l'année. p(x )=p(x=)+p(x=2)+...+p(x=9)+p(x=0) Long, fastidieux et source d'erreurs. p(x ) =- p(x=0)=- ( 0 0 ) 0,050 0,95 0 = 0,403 Exercice n 4 : Un jeu de hasard est formé d'un dispositif lançant de façon aléatoire une fléchette dans une cible ayant la forme suivante : B B B B B B B B B J J J V V R R V V J J J B B B B B B B B B La fléchette atteint toujours une case et une seule. Les trente cases, blanches (B), jaunes (J), vertes (V) ou rouges (R) ont toutes la même probabilité d'être atteintes Si la fléchette atteint une case rouge, le joueur reçoit un gain net (mise déduite) de 8, Si la fléchette atteint une case verte, le joueur reçoit un gain net (mise déduite) de 5, si la fléchette atteint une case jaune, le joueur ne gagne rien et ne perd rien (sa mise est remboursée) Si la fléchette atteint une case blanche, le joueur perd a euros, la lettre a désignant un nombre réel positif (on admet que a représente la mise de départ).. On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur (compté positivement quand il gagne et négativement quand il perd). a) Etablir la loi de probabilité de X La variable aléatoire X prend les valeurs : -a, 0, 5, 8 p(x= a)= 8 30 =3 5 p(x=0)= 6 30 = 5 p(x=5)= 4 30 = 2 5 p(x=8)= 2 30 = 5 Loi de probabilité de la variable aléatoire X X=k a 0 5 8 p( X=k) 3 5 5 2 5 5

BTS GPN ERE ANNEEE-PROBABILITES-LOI BINOMIALE b) Calculer la valeur de a pour que le jeu soit équitable, c'est à dire pour que l'espérance E(X) soit nulle. Le jeu est équitable si E(X)=0 E(X)= a 3 5 +0 5 +5 2 5 +8 5 = 3 a 5 +0 5 + 8 a+8 = 9 5 5 E(X)=0 si -9a+8=0 soit 9a=8 donc a= 8 9 =2 a=2 2. Un joueur est considéré comme gagnant s'il a obtenu un gain strictement positif. Quelle est la probabilité p qu'un joueur gagne? Le joueur est gagnant si X=5 ou X=8 donc p= 2 5 + 5 = 3 5 = 5 =0,2 p=0,2 3. Un joueur joue 5 parties consécutives indépendantes : on appelle Y la variable aléatoire associée au nombre de parties gagnantes sur les 5 parties jouées. a) Quelle loi suit la variable Y? Justifier.. Une partie est une expérience aléatoire à 2 issues possibles : Succès : «la partie est gagnante» avec une probabilité p = 0,2 Echec : «la partie n'est pas gagnante» avec une probabilité p= 0,2=0,8 Une partie est donc une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 0,2 2. La répétition de 5 parties consécutives indépendantes est un schéma de Bernoulli de paramètres n = 5 et p = 0,2 3. La variable aléatoire Y associée au nombre de parties gagnantes sur les 5 parties jouées donc au nombre de succès du schéma de Bernoulli suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,2 notée B(5;0,2) b) Quelle est la probabilité qu'il gagne exactement 2 fois? p(y=2)= ( 5 2) 0,22 0,8 3 =0,2048 c) Quelle est la probabilité qu'il gagne moins de 2 fois? p(y<2)=p(y=0)+p(y=) = ( 5 0) 0,20 0,8 5 + ( 5 ) 0,2 0,8 4 = 0,7373 ou encore p(y<2)=p(y )=0,7373 directement à la calculatrice (méthode en dernière page) d) Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins 3 fois? p( Y 3)=p(Y=3)+p(Y=4)+p(Y=5)=0,0579 ou encore p(y 3)= p(y 2)=0,0579 directement à la calculatrice (méthode en dernière page) e) Quel est le nombre moyen de parties gagnantes? E(Y)=5 0,2= Sur un grand nombre de séries de 5 parties, le joueur peut espérer en gagner en moyenne par série.

BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-VARIABLES DISCRETES-LOI BINOMIALE-LOI DE POISSON- III.APPROCHE DE LA LOI BINOMIALE PAR LA LOI DE POISSON Siméon Denis POISSON (75-840), auteur de «Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile» est l'inventeur de cette loi de probabilité. Exemple n : Un artisan fabrique des objets en bois (50 par jour) et en moyenne il doit en reprendre 3 % pour malfaçon avant de pouvoir les mettre en vente. Soit X la variable aléatoire associée au nombre d'objets qu'il a fallu reprendre à l'issue d'une journée de travail.. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Epreuve de Bernoulli : l'examen d'un objet en bois est une expérience aléatoire à deux issues possibles Succès : «l'objet doit être repris pour malfaçon» avec une probabilité p = 0,03. Echec :»l'objet ne doit pas être repris pour malfaçon» avec une probabilité q = -p = 0,97 C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 0,03 Schéma de Bernoulli : L'examen de 50 objets est une répétition de manière identique et indépendante de l'épreuve de Bernoulli. C'est un schéma de Bernoulli de paramètres n = 50 et p = 0,03 Loi binomiale : si X est la variable aléatoire associée au nombre d'objets qui doivent être repris en fin de journée pour malfaçon parmi les 50 objets examinés, alors X est associée au nombre de succès du schéma de Bernoulli. La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,03 notée B(50;0,03) 2. L'évènement auquel on s'intéresse est un événement survenant rarement (la probabilité est égale à 0,03). C'est un cas limite de la loi binomiale précédente pour laquelle : le paramètre n est grand, on a beaucoup de répétitions de la même épreuve de Bernoulli, n 30. le paramètre p (probabilité du Succès de l'épreuve de Bernoulli) est très petit : on parle alors d'évènement dont la réussite est faible = événement rare. p 0, Dans ce cas, on peut appliquer la loi de Poisson pour approcher la loi binomiale de façon correcte. Définition : une loi de Poisson de paramètre est définie par p (X = k)= k k! e avec = n p Dans la pratique, on considère qu'une loi de Poisson est une approximation correcte de la loi binomiale de paramètres n et p si 3 critères sont simultanément respectés : n 30 Espérance de la loi de Poisson E( ) = p 0, Variance de la loi de Poisson V( ) = np 0 Ecart type de la loi de Poisson ( ) = 3. Vérification avec l'exemple précité :

BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-VARIABLES DISCRETES-LOI BINOMIALE-LOI DE POISSON- La variable aléatoire X associée au «nombre d'objets qu'il a fallu reprendre en fin de journée» suit la loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,03. La probabilité que l'artisan reprenne exactement 6 objets à la fin d'une journée est : p (X =6)= ( 50 6 ) 0,036 0,97 44 0,00303 Les critères de la loi de Poisson sont applicables ici : n=50 30 p=0,03 0, np= 50 0,03 =,5 0 Paramètre de la loi de Poisson : =,5 Avec la loi de Poisson notée P(,5), on obtient : p (X =6)=,56 6! e,5 0,00353 C'est une bonne approximation, l'écart ne se situant qu'à la quatrième décimale. Quelle est la probabilité que l'artisan ne reprenne aucun objet à la fin de la journée? Loi binomiale : p(x=0)= ( 50 0 ) 0,030 0,97 50 0,28 Loi de Poisson : p(x=0)=,50 0! e,5 0,223 Ces calculs peuvent être menés à la calculatrice directement ou avec la table de la loi de Poisson. Quelle est la probabilité que l'artisan reprenne au plus 4 jouets à la fin de la journée : Loi binomiale : p(x 4) = p (X = 0)+ p (X =)+ p (X = 2)+ p (X= 3)+ p (X = 4) ou directement à la calculatrice p (X 4) 0,9832 Loi de Poisson : p (X 4)= 0,984 directement avec la table ou la calculatrice Quelle est la probabilité que l'artisan reprenne au moins 5 objets à la fin de la journée? Loi binomiale : p( X 5)=p( X=5)+p( X=6)+ +p( X=50)??? On remarque que p (X 5)= p (X 4)= 0,9832 =0,068 Loi de Poisson : p (X 5)= p (X 4)= 0,984 = 0,086 Exemple n 2

35 BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-VARIABLES DISCRETES-LOI BINOMIALE-LOI DE POISSON- Dans une entreprise, on considère que la probabilité d'obtenir un article défectueux à la sortie d'une chaîne de fabrication est p = 0,05. Lors d'un contrôle de qualité, on envisage de prélever un échantillon de 20 articles. Bien que ce prélèvement soit exhaustif, la production est suffisamment grande pour assimiler ce prélèvement à 20 tirages avec remise, de façon indépendante. La variable aléatoire X qui est associée au nombre d'articles défectueux d'un tel échantillon suit la loi binomiale B(20;0,05) dont l'espérance mathématique est E (X)= 20 0,05 =6. La loi de probabilité de la variable X peut-elle être approchée par la loi de Poisson? Les 3 critères sont-ils respectés? n = 20 30 p = 0,05 0, np = 20 0,05=6 0 Si oui, quel est le paramètre de la loi de Poisson? = 6 Comparer les lois de probabilité de la variable X par la loi binomiale et par la loi de Poisson (les résultats sont donnés avec 4 décimales) ; on pourra utiliser la calculatrice ou la table. k 0 2 3 4 5 6 7 8 Binomiale p(x=k) Poisson p(x=k) 0,002 0,034 0,0420 0,0869 0,334 0,634 0,648 0,42 0,050 0,0025 0,049 0,0446 0,0892 0,339 0,606 0,606 0,377 0,033 k 9 0 2 3 4 5 6 7 Binomiale p(x=k) Poisson p(x=k) 0,0688 0,040 0,02 0,00 0,0044 0,008 0,0007 0,0002 0,000 0,0688 0,043 0,0225 0,03 0,0052 0,0022 0,0009 0,0003 0,000 Quelle remarque peut-on formuler? : Les probabilités augmentent pour atteindre leur maximum pour X=5 et X=6 puis décroissent ensuite (évènements rares) L'approximation de la loi de la variable X peut-elle être approchée par la loi de Poisson? : oui Par la loi de Poisson, calculer les probabilités suivantes :. événement A : «l'échantillon contient au moins un article défectueux» p( A)=p( X )= p(x=0) p(a)=-0,0025=0,9975 2. événement B : «l'échantillon contient au plus trois articles défectueux» p(b)=p(x 3)=p(X=0)+p(X=)+p(X=2)+p(X=3) p(b) = Object ou résultat direct par la calculatrice ou la table. 3. événement C : «l'échantillon contient entre deux et cinq articles défectueux» p(c)=p( 2 X 5)=p(X=2)+p( X=3)+p(X=4)+p( X=5) p (C)= 0,0446+ 0,0892 +0,339 + 0,606= 0,4283 on peut aussi remarquer que p (2 X 5)= p (X 5) p (X )= 0,4457 0,074 = 0,4283 Exemple 3

BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-VARIABLES DISCRETES-LOI BINOMIALE-LOI DE POISSON- On constate qu'après dactylographie mais avant relecture, un ouvrage de 200 pages comporte en moyenne 3 fautes de frappe par page. Soit X la variable aléatoire associée au nombre de fautes de frappe par page. On pense que X pourrait éventuellement suivre une loi de Poisson.. Est-il possible de résoudre ce problème avec une loi binomiale? Le nombre de pages total du livre est une donnée inutile. Les énoncés donnent directement = 3 Nous sommes dans le cas où est connu mais où ni n ni p ne sont connus.il est donc impossible de résoudre cet exercice par la loi binomiale. Il aurait fallu un énoncé du genre «une page comporte en moyenne 3000 caractères et la probabilité qu'un caractère donné soit erroné est de 0,00», ce qui aurait fourni n =3000 et p =0,00 avec np= 3. La loi de Poisson est-elle justifiée? Quelle est la moyenne (le paramètre) de cette loi? = 3 est donné directement 2. On ouvre le livre au hasard, quelle est la probabilité que la page que l'on découvre comporte exactement 3 fautes de frappe? p( X=3) =0,2240 3. Interpréter ce dernier résultat 0 2 3 4 5 Loi de Poisson de paramètre lambda = 3-0,05 Espérance = 3 Écart type =,73205080756888-0, 6 9 0 2 3 4 2, 7 3 5 2 82 7, E7 3-6 5 2 8 7 E - 6 8 8, 2 7 4 7 3 4, E2 7-54 7 3 4 E - 5 7 7 5, 5 2 3 7 5 85 E, 5-52 3 7 5 8 E - 5 0 - -2 0,- 6 0, 0 0 0 2 2 00 9, 50 0 30 2 2 0 9 5 0 3 2-0,05 0 2 3 4 5 Loi de Poisson de paramètre lambda = 3 Espérance = 3 Écart type =,73205080756888 0, 0 0 0 8 00, 50 0 0 8 0 5 8 0-02, 0-5 0, 0 0 2 7 0 0 5, 0 30 92 7 0 0 5 0 3 9 0, 0, 0 0 8 0 0 5, 0 0 8 0 5 8 0,0 5 0, 0 2 6 0 04, 0 0 3 2 6 0 4 0 3 0 0,, 5 0, 0 5 0 4 00 9, 40 05 70 4 0 9 4 0 7 0,2 0, 5 0, 0 4 9 7 80 7, 0 64 89 7 8 7 0 6 8 0, 2 0, 0 0 80, 8 80 0 8 8 8 0,25 0, 4 9 0 3, 6 4 29 3 6 2 0,3 0,2 5 0, 6 80 0, 3 6 83 06 3 3 6 y 0, 3 0, 2 20 4, 20 24 4 08 4 8 y 0, 2 20 4, 20 24 4 08 4 8 Le fait que l'ouvrage comporte 200 pages signifie qu'en moyenne un tel ouvrage dactylographié et non relu va comporter 200 0,2240 45 pages comportant exactement 3 fautes de frappe. 9 0 2 3 4 x x

BTS ERE ANNEE-PROBABILITES-LOIS A DENSITE-INTRODUCTION PROBABILITES-LOIS A DENSITE I. Introduction à la notion de loi à densité Exemple introductif : On lance une flèche sur une cible de rayon égal à mètre. Cette cible est partagée en 0 zones séparées par des cercles de rayons 0 cm, 20 cm, 30 cm, Chaque zone rapport le nombre de points inscrits sur la cible. On suppose dans la suite de l'activité qu'une flèche atteint obligatoirement la cible circulaire donc ne peut se planter en dehors de celle-ci. On appelle X la variable aléatoire associée au nombre de points marqués.. Quelles sont les valeurs que peut prendre la variable aléatoire X? X {;2 ;3;4 ;5;6 ;7;8; 9 ;0} 2. On remarque que la probabilité de marquer le point inscrit sur la cible est égale au quotient de l'aire correspondante à la couronne où est inscrit le nombre de points par l'aire de la cible toute entière. On rappelle que l'aire d'un disque de rayon R est égale à π R 2. a) Calculer les aires des couronnes que l'on notera C, C2,,C0 (on donnera les valeurs en multiple de π et les rayons seront exprimés en mètres) C 0=π 0, 2 =0,0 π C 9=π 0,2 2 π 0, 2 =0,04 π 0,0 π=0,03 π C 8 = π 0,3 2 π 0,2 2 =0,09 π 0,04 π=0,05 π C 7 = π 0,4 2 π 0,3 2 =0,6 π 0,09 π=0,07 π C 6 = π 0,5 2 π 0,4 2 =0,25 π 0,6 π=0,09 π C 5 = π 0,6 2 π 0,5 2 =0,36 π 0,25 π=0, π C 4 = π 0,7 2 π 0,6 2 =0,49 π 0,36 π=0,3 π C 3 = π 0,8 2 π 0,7 2 =0,64 π 0,49 π=0,5 π C 2 = π 0,9 2 π 0,8 2 =0,8 π 0,64 π=0,7 π C = π 2 π 0,9 2 =π 0,8 π=0,9 π

b) Déterminer les probabilités des valeurs de la variable aléatoire X BTS ERE ANNEE-PROBABILITES-LOIS A DENSITE-INTRODUCTION L'aire totale de la cible est égale à π 2 = π p( X =0) = 0,0 π π =0,0 p( X )=9 = 0,03 π π =0,03 p( X =8) = 0,05 π π =0,05 p( X =7) = 0,07 π π =0,07 p( X =6) = 0,09 π π =0,09 p( X =5) = 0, π π =0, p( X =4) = 0,3 π π =0,3 p( X =3) = 0,5 π π =0,5 p( X =2) = 0,7 π π =0,7 p( X =) = 0,9 π π =0,9 c) Etablir la loi de probabilité de la variable aléatoire X X =k 2 3 4 5 6 7 8 9 0 p( X =k ) 0,9 0,7 0,5 0,3 0, 0,09 0,07 0,05 0,03 0,0 3. Soit Y la variable aléatoire qui associe au point d'impact de la flèche sur la cible la distance au centre de la cible (exprimée en mètres). Y Prend toutes les valeurs de l'intervalle [0;]. a) Que vaut p(y =0,5)? Il y a un nombre infini de distances entre 0 et m (si tant est que l'on puisse les mesurer avec une précision suffisante) donc la distance précise de 0,5 m est une possibilité parmi une infinité de possibilités et on sait que : lim n + n = 0 La probabilité que la flèche atteigne la distance de 0,5 m du centre est nulle. La probabilité d'atteindre exactement n'importe quelle distance est égale à 0. p(y =k )=0

BTS ERE ANNEE-PROBABILITES-LOIS A DENSITE-INTRODUCTION b) Compléter le tableau ci-dessous : Y [ a ; b] [0;0,] p( Y [a ; b] ) [0,;0,2] [0,2;0,3] [0,3;0,4] [0,4;0,5] [0,5;0,6] [0,6;0,7] (0,7;0,8] [0,8;0,9] [0,9;] 0,0 0,03 0,05 0,07 0,09 0, 0,3 0,5 0,7 0,9 4. On représente cette loi de probabilité par une suite de rectangles de largeur [ a ;b ] dont l'aire est égale à p( Y [a ; b] ). a) Compléter le tableau ci-dessous : Y [a ; b] [0;0,] [0,;0,2] [0,2;0,3] [0,3;0,4] [0,4;0,5] [0,5;0,6] [0,6;0,7] (0,7;0,8] [0,8;0,9] [0,9;] largeur 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, hauteur 0, 0,3 0,5 0,7 0,9,,3,5,7,9 b) Tracer l'histogramme associé au tableau ci-dessus dans le repère orthogonal ci-dessous : y 2,2 A 2,8,6,4,2 0,8 0,6 0,4 0,2 O0 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 c) Dans chaque intervalle, construire le point de coordonnées,,2,3,4,6,7 ( a+b2 ; hauteur ). Que constate-t-on quant à la position de ces points les uns par rapport aux autres?,5 Tous les points sont alignés sur une droite passant par l'origine O (0;0) et A (;2)

BTS ERE ANNEE-PROBABILITES-LOIS A DENSITE-INTRODUCTION d) Tracer la demi-droite (OA) avec A(;2). Quelle est l'équation de la droite (OA). Justifier La droite (OA) représente une fonction linéaire (elle passe par l'origine O) donc son équation réduite est de la forme y=ax où le coefficient a est le coefficient directeur de la droite. a= y y A O = 2 0 x A x O 0 = 2 =2 la droite (OA) a pour équation y=2 x e) Soit f la fonction dont la représentation graphique est la droite (OA). Calculer 0 0,3 f (x)d x puis 0,2 f (x)d x f (x)d x = 2 xd x = [ x 2 ] 0 = 2 0 2 = ( x 2 est la primitive de la fonction f (x)=2 x 0 0,3 0,2 0 0,3 f (x)d x = 0,2 2 x d x = [ x 2 ] 0,3 0,2 =0,3 2 0,2 2 =0,09 0,04=0,05 0 f (x)d x représente la probabilité que la flèche atteigne la cible donc il est évident que 0 être égal à f (x)d x doit 0,3 0,2 f (x)d x représente la probabilité que la flèche atteigne la cible à une distance comprise entre 0,2 et 0,3 mètre du centre de celle-ci. La probabilité que le tireur avec une flèche marque point est égale à f (x)d x= 2 0,9 2 = 0,8=0,9 0,7 La probabilité que le tireur obtienne 4, 5 ou 6 points est égale à 0,4 0,9 f (x)d x=0,7 2 0,4 2 =0,49 0,6=0,33

II. Introduction à la notion de loi uniforme sur un intervalle BTS ERE ANNEE-PROBABILITES-LOIS A DENSITE-INTRODUCTION. L'intervalle [ 2; 7[ contient 50 nombres d'au plus une décimale : (2,0 ;2, ;... ;2,9;3,0 ;...3,9;4,0 ;...4,9;5,0 ;...;5,9;6,0 ;...;6,8;6,9) a) Combien cet intervalle contient-il de nombres d'au plus deux décimales? de nombres d'au plus dix décimales? L'intervalle contient (7 2) 0 =50 nombres avec au plus une décimale, Ce même intervalle contient (7 2) 0 2 =500 nombres d'au plus deux décimales Cet intervalle contient (7 2) 0 0 50 000 000 000 (cinquante milliards) de nombres d'au plus dix décimales. b) A l'aide de l'instruction RAND ou NbrAleat d'une calculatrice, on peut obtenir un nombre décimal d'au plus 0 décimales. Quelle est la probabilité que ce nombre soit 4,335678942? La probabilité que ce nombre de 0 décimales soit 4,335678942 est La probabilité que ce nombre prenne une valeur exacte est égale à 0. 5 0 0 0 2. Compléter le tableau ci-dessous : X [ a ;b[ [2;2,5[ [2,5;3[ [3;3,5[ [3,5;4[ [4;4,5[ [4,5;5[ (5;5,5[ [5,5;6[ [6;6,5[ [6,5;7[ p( X [ a;b[ ) 0,5 =0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5 Remarque : quelque soit le choix du nombre de décimale la probabilité de chaque intervalle est identique : 5 Choix de nombres avec au plus une décimale : p( X [ a;b [ ) = =0, ; en effet dans chaque 50 intervalle, il existe 5 nombres à une décimale pour un total de 50. 50 Choix de nombres avec au plus deux décimales : p( X [ a ;b[ ) = =0, ; en effet dans chaque 500 intervalle, il existe 50 nombres avec au plus deux décimales sur un total de 500. Choix de nombres avec au plus dix décimales : p( X [ a ;b[ ) = 5 09 =0, 0 5 0 Par itérations successives, on prouverait que si l'on faisait le choix de nombres avec au plus n décimales, la probabilité de trouver un tel nombre dans chaque intervalle est égale à 0,. 3. On représente cette loi de probabilité par une suite de rectangles de largeur [a;b] dont l'aire est égale à p( X [ a;b[ ) a) Compléter le tableau ci-dessous : X [ a;b [ [2;2,5[ [2,5;3[ [3;3,5[ [3,5;4[ [4;4,5[ [4,5;5[ (5;5,5[ [5,5;6[ [6;6,5[ [6,5;7[ largeur 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 hauteur 0, =0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,5

0, 3 BTS ERE ANNEE-PROBABILITES-LOIS A DENSITE-INTRODUCTION b) Tracer l'histogramme associé au tableau ci-dessus dans le repère ci-dessous : 0, 2 0, 0 0, 5, 5 2 2, 5 3 3, 5 4 4, 5 5 5, 5 6 6, 5 7 4. Dans chacun des intervalles [a;b[, construire le point de coordonnées ( a+b 2 ; hauteur ). Que constate-t-on quant à la position de ces points les uns par rapport aux autres? En déduire la fonction de densité f Tous ces points sont alignés sur une droite horizontale. Cette droite a pour équation y=0,2 La fonction de densité de probabilités f est égale à f (x)=0,2 On remarquera que f (x)= 7 2 = ; 7 et 2 sont les bornes de l'intervalle dans lequel se situent les 5 nombres que nous étudions. On généralisera en notant que si une variable aléatoire continue X suit une loi uniforme dans un intervalle [a;b], alors la fonction de densité de probabilité de cette variable aléatoire est la fonction f définie par f (x)= b a. 5. On sait que l'intervalle [ 2; 7] contient une infinité de nombres réels. La variable aléatoire X correspondant au tirage au hasard d'un nombre réel de [ 2; 7] est une variable aléatoire continue. Calculer les valeurs de p(2 X 4) et de p ( 3 X 6) p(2 X 4) correspond au quotient de l'aire du rectangle de largeur 4-2=2 et de hauteur 0,2 par l'aire totale du rectangle de largeur 7-2=5 et de hauteur 0,2 également, donc p(2 X 4)= 2 0,2 5 0,2 = 2 5 On remarque que cette probabilité est égale à 4 2 7 2 = 2 5 p(3 X 6) correspond au quotient de l'aire du rectangle de largeur 6-3=3 et de hauteur 0,2 par l'aire totale du rectangle de largeur 7-2=5 et de hauteur 0,2. p(3 X 6)= 3 0,2 5 0,2 = 3 5 On remarque que cette probabilité est égale à 6 3 7 2 =3 5 On généralisera cette propriété en disant que : Pour une variable aléatoire continue X sur un intervalle [a;b], pour deux nombres réels c et d tels que a c d d, alors p(c X d)= d c b a

BTS ERE ANNEE-PROBABILITES-LOIS A DENSITE-INTRODUCTION 6. Soit x un nombre réel appartenant à l'intervalle [ 2; 7]. Les conjectures faites à la question précédente conduisent à poser p (2 X x)= x 2 7 2 = x 2 5 Soit f la densité de probabilité de la loi de X. On admet que f est continue sur [ 2; 7].. Interpréter p(2 X x) sous la forme d'une intégrale. En déduire que f est définie sur l'intervalle [ 2; 7] par f (x)= 5 Si p(2 X x)= x 2 est une intégrale, alors la dérivée de cette expression représente la fonction 5 dont on recherche l'équation. F ( x)= x 2 Donc F ' ( x)= 0 b 5 5 = x 2 donc = 5 5 a 5 d x = b d x= 5 a 5 [ x ] b a= b a 5 Donc b=x et a=2 soit x 2 5 Si x 2 5 x = 2 x = 2 f (x)d x, alors f (x)= 5 On remarquera que p(2 X 7)= 7 2 7 2 =5 5 = 5 d x Application : Dans un supermarché, un jour de grande affluence, le temps d'attente T à la caisse, en minutes suit la loi uniforme sur l'intervalle [2;20]. Définir la fonction de densité de probabilité f de la loi de T. 2. Quelle est la probabilité pour que le temps d'attente soit inférieur à un quart d'heure? 3. Quelle est la probabilité que le temps d'attente soit compris entre quatre et sept minutes? 4. Quel est le temps moyen d'attente à la caisse?. f (x)= 20 2 = 8 2. On cherche p(2 T 5)= 5 2 20 2 =3 8 3. On cherche p(4 T 7)= 7 4 20 2 = 3 8 = 6 4. E (T )= 2+20 = 22 2 2 =

BTS ERE ANNEE-PROBABILITES-LOIS A DENSITE-INTRODUCTION EXERCICES D'APPLICATION IMPORTANT : une fonction f est une fonction de densité de probabilité sur un intervalle [a;b] si, et seulement si la fonction f est définie, continue, positive sur [a;b] et est telle que f (x)d x=. a L'espérance mathématique de la variable aléatoire X dont la loi a pour densité de probabilité la fonction f est égale à E(X) = a b x f (x)d x b Exercice n :. Montrer que la fonction f définie sur [0;] par f (x)=x+ 2 probabilité. est une fonction de densité de Sur [0.] : f est continue et f ( x)> 2 >0 f (x) d x = ( x 0 0 f est bien une fonction de densité. + 2) d x = [ 2 x2 + 2 x ] 0 = 2 + 2 = 2. X est la variable aléatoire continue sur [0;] dont la loi a pour densité de probabilité la fonction f définie à la question. Calculer : a) p ( X <0,25) 0,25 p ( X <0,25)= p (0< X <0,25) = 0,25 0 f (x) d x = 5 32 0,7 c) p(0, X 0,7) = 0, p(0, X 0,7) = 27 50 f ( x) d x 0 f (x) d x b) p ( X > 3) = p ( 0 < X < 3) p ( X > 3) = 2 9 = 7 9 E (X )= 7 2 d) E(X) = (x f (x)) d x 0 Exercice n 2 Soit f la fonction définie sur [0;] par f (x)=5 x 4.. Montrer que f est une fonction de densité de probabilité. f est une fonction continue et f ( x) 0 sur (0;] ; f (x) d x = 0 f est donc une fonction de densité de probabilité. 2. X est la variable aléatoire continue sur [0;] dont la loi a pour densité de probabilité la fonction f définie à la question. Calculer : a) p ( X < 2) = p ( 0 < X < 2) = 32 b) p ( X >0,) = p (0 < X < 0,)=0,99999 c) p (0,2<X 0,8) = 023 325 d) E(X) = (x f (x)) d x = 0 5 6 Exercice n 3

BTS ERE ANNEE-PROBABILITES-LOIS A DENSITE-INTRODUCTION Un étang de pêche est très régulièrement empoissonné. Lorsqu'un pêcheur met sa ligne à l'eau le temps d'attente T en minutes avant la première touche suit la loi uniforme sur l'intervalle [0;5].. Quelle est la fonction de densité de probabilité f que suit la variable aléatoire T? f ( x)= b a = 5 0 f ( x)= 5 2. Quelle est la probabilité pour que ce temps d'attente soit inférieur à 0 minutes? 0 0 p (T < 0)= p (0<T < 0)= 5 0 = 0 5 = 2 3 p (T < 0)= 2 3 3. Quelle est la probabilité que ce temps d'attente soit supérieure à 30 secondes? Attention!! 30 secondes = 0,5 minute 0,5 0 0,5 p (T > 0,5)= p (0<T < 0,5)= = 5 0 5 = 5 50 = 30 = 29 30 p (T > 0,5)= 29 30 4. Quel est le temps moyen d'attente? E (T )= 0 + 20 = 20 2 2 =0 Le temps d'attente moyen est égal à 0 minutes Exercice n 4 Lorsqu'elle est chez sa grand-mère, Fatou arrive pour prendre son petit déjeuner entre 7H et 8H30, de façon aléatoire. Son cousin Moussa le prend toujours à 8H et y consacre 5 minutes.. Quelle est la loi suivie par l'heure d'arrivée de Fatou? L'heure d'arrivée T de Fatou suit une loi uniforme sur l'intervalle [7 ; 8,5] 2. Calculer la probabilité que Fatou arrive avant Moussa. Si Fatou arrive avant Moussa, c'est donc que Fatou arrive entre 7H et 8H p (7< T <8)= 8 7 8,5 7 =,5 = 0 5 = 2 3 La probabilité que Fatou arrive avant Moussa est 2 3 Quelle est la probabilité qu'ils se croisent? Pour qu'ils se croisent il faut que Fatou arrive entre 8H et 8H5 (8,25) p (8< T < 8,25)= 8,25 8 8,5 7 = 0,25,5 = 25 50 = 6 La probabilité que Fatou et Moussa se croisent est 3. Sachant que Fatou est arrivée après 8H, quelle est la probabilité qu'elle passe un moment à table avec Moussa? 8,25 8 0,25 p (8<T < 8,25) 8,5 7,5 6 Il faut chercher p T > 8 (T < 8,25)= = = = = p (T > 8) 8,5 8 0,5 2 8,5 7,5 3 La probabilité que Fatou et Moussa passent un moment ensemble est égale à 0,5 Exercice n 5 6

BTS ERE ANNEE-PROBABILITES-LOIS A DENSITE-INTRODUCTION Les deux rives d'un estuaire sont reliées par des bateaux qui quittent la rive nord exactement toutes les 0 minutes. Mr Dulac séjourne sur la rive nord et traverse l'estuaire une fois par jour pour se rendre dans la partie sud. Son arrivée au point d'embarquement sur la rive se fait au hasard.. Le temps, en minutes, séparant l'arrivée de Mr Dulac à l'embarcadère du prochain départ du bateau, définit une variable aléatoire T qui suit une loi uniforme. a) Définir la fonction de densité de probabilité f suivie par la variable aléatoire T T suit la loi uniforme sur l'intervalle [0 ; 0]. La fonction de densité de probabilité de T est donc la fonction f définie sur [0;0] par f ( x)= 0 0 = 0 f ( x)= 0 b) Quel est le temps moyen d'attente de Mr Dulac à l'embarcadère? Temps moyen d'attente de Mr Dulac : E(T) = 0+0 = 0 2 2 =5 Mr Dulac attend en moyenne 5 minutes à l'embarcadère. c) Montrer que la probabilité qu'un jour donné Mr Dulac attende plus de 7 minutes à l'embarcadère est p=0,3. p (T > 7)= p (0<T < 7)= 7 0 0 0 = 7 = 0,7= 0,3 p (T > 7)= 0,3 0 2. Mr Dulac séjourne 0 jours sur la rive nord. Le nombre de jours où son attente, pour prendre le bateau, est supérieure à 7 minutes définit une variable aléatoire X. On suppose que l'arrivée de Mr Dulac à l'embarcadère se fait de façon indépendante d'un jour à l'autre. a) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X? Déterminer E(X) a) La durée d'attente de Mr Dulac à l'embarcadère est une expérience aléatoire à 2 issues possibles : Succès : «Mr Dulac a attendu plus de 7 minutes» avec une probabilité p = 0,3, Echec : «Mr Dulac n'a pas attendu plus de 7 minutes» ou «Mr Dulac a attendu moins de 7 minutes» avec une probabilité p= 0,7 C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre p= 0,3 b) La durée d'attente à l'embarcadère de Mr Dulac durant 0 jours consécutifs, l'arrivée à l'embarcadère se faisant au hasard et de façon indépendante d'un jour à l'autre est un schéma de Bernoulli de paramètres n = 0 et p = 0,3 c) X est la variable aléatoire associée au nombre de jours, parmi les 0, où la durée d'attente de Mr Dulac est supérieure à 7 minutes, X est donc associée au nombre de succès du schéma de Bernoulli, X suit la loi binomiale B (0 ; 0,3) E (X )= n p =0 0,3= 3 (Sur les 0 jours, Mr Dulac attend plus de 7 minutes à l'embarcadère en moyenne 3 jours) b) Calculer, à 0 3 près, la probabilité que Mr Dulac n'attende jamais plus de 7 minutes à l'embarcadère. p ( X =0)=0,028 ; également : p (X = 0)= ( 0 0 ) 0,30 0,7 0 =0,7 0 =0,028 la probabilité que Mr Dulac n'attende jamais plus de 7 minutes à l'embarcadère est égale à 0,028 c) Calculer p( X 5) à 0 3 près. p ( X 5)= 0,953