Au lycée
Expérimenter, d abord à l aide de pièces, de dés ou d urnes, puis à l aide d une simulation informatique prête à l emploi, la prise d échantillons aléatoires de taille n fixée, extraits d une population où la fréquence p relative à un caractère est connue.
Exemple 1 Avec une pièce de monnaie On peut observer si le hasard est une explication «raisonnable» en lançant 20 fois une pièce de monnaie. Avec le tableur On augmente le nombre d expériences.
On simule à l aide de la fonction ALEA une série de 100 expériences comportant 20 tirages à pile ou face
Exemple 2 Naissances en Chine et au Canada Les données statistiques suivantes ont été relevées : en 2000, dans le village de Xicun, en Chine, il est né 20 enfants, parmi lesquels 16 garçons ; dans la réserve indienne d Aamjiwnaag, située au Canada à proximité d industries chimiques, il est né entre 1999 et 2003, 132 enfants dont 46 garçons. Ces observations sont-elles le fruit du hasard?
Naissances en Chine et au Canada Temps d échange, éléments de réponse : Un temps est laissé aux élèves pour se «débrouiller» avec ces chiffres puis saisir les pistes issues d une «tempête de cerveaux». Il faut s attendre à des calculs de statistique descriptive (pourcentage, fréquence), à une comparaison avec une proportion de 50 %, et voir émerger la problématique du hasard.
Naissances en Chine et au Canada Une première idée, pour se situer par rapport à un a priori de 50 %, consiste à calculer le pourcentage de garçons (ou de filles) dans chaque cas : Xicun Aamjiwnaag Pourcentage de garçons 80 % 34,8 % Les valeurs trouvées sont loin du résultat «attendu». Mais peut-être est-ce le hasard? Pour préciser la réponse à la question posée, il faut étudier les propriétés du hasard en supposant, pour simplifier, qu à la naissance on a une chance sur deux d avoir une fille ou un garçon. Une expérimentation avec des pièces de monnaie peut être proposée.
Expérimentation avec des pièces de monnaie Lancer 20 fois une pièce de monnaie et noter le nombre de «pile». Recommencer l expérience une dizaine de fois ou regrouper les résultats obtenus dans la classe. Comment peut-on utiliser ces expériences pour commenter les statistiques de Xicun? Pourquoi l expérimentation avec des pièces ne permet-elle pas de répondre complètement au problème posé?
Naissances en Chine et au Canada Temps d échange, éléments de réponse : On peut décider que «pile» correspond à «garçon» et «face» à «fille» (ou le contraire). On constate que pratiquement aucune expérience ne donne 16 piles (ou plus), mais que cela peut se produire. Le résultat chinois est très étonnant et laisse plutôt penser que «la pièce est truquée». Pour Aamjiwnaag, il faudrait lancer la pièce un trop grand nombre de fois. Faire constater qu un plus grand nombre d expériences permettrait de s assurer des observations faites pour 20 lancers, permet alors de proposer un TP de simulation sur tableur-grapheur (ou faire une vidéo projection devant la classe ou encore distribuer le fichier sur des ordinateurs). Cette première expérimentation informatique permet d étudier ensuite des échantillons de 132 lancers en utilisant le même protocole de simulation.
Évaluer la probabilité d un événement à partir des fréquences (stabilisation relative des fréquences vers la probabilité de l événement quand n augmente).
Problème Un professeur construit un Q.C.M. de 20 questions indépendantes, proposant 3 réponses possibles à chaque question, une seule réponse étant exacte. Quelle est la probabilité d obtenir au moins 10 bonnes réponses, en répondant au hasard?
Avec le tableur on simule 1000 réponses au QCM a l aide de la fonction ALEA
Faire preuve d esprit critique face à une situation aléatoire simple. (Fluctuations)
Problème me (D après É. Janvresseet T. de la Rue, «La loi des séries, hasard ou fatalité?») En août 2005, on a dénombrécinq accidents aériens graves en l espace de 22 jours(les 2, 6, 14, 16 et 23 août). On parle alors d une «inquiétante série noire». Un modèle aléatoire simple permet de relativiser le caractère prétendument exceptionnel de cette «série». 1. On possède la statistique suivante: de 1995 à2004, on compte 376 accidents aériens d importance. Montrer que cela correspond àune moyenne d environ 0,1 accident par jour.
2. On considère une roulette dont le secteur rouge correspond à 10% de la surface. Chacun des 365 jours d une année, on fait tourner la roulette et on s intéresse àla probabilitéque celle-ci s arrête au moins 5 fois sur le secteur rouge durant une période quelconque de 22 jours. Effectuer plusieurs simulations. D après vos observations, cette probabilité: est inférieure à0,01; est inférieure à0,10; est comprise entre 0,10 et 0,80; est supérieure à 0,80. 3. Doit-on considérer la série des 5 accidents de 2005 comme «extraordinaire»?
Avec le tableur on réalise 50 simulations de lancer de la roulette et on observe la fréquence de l évènement "la roulette s'est arrêtée au moins 5 fois sur le secteur rouge en 22 jours"