DS de MPSI et PCSI, novembre 2015 Durée : 2h Corrigé sur le site : http://perso.numericable.fr/starnaud/ Ce sujet propose 2 problèmes : Problème 1 : Quille pendulaire (durée conseillée 40 minutes). Problème 2 : Vanoise express (durée conseillée 1h20 minutes). Problème 1 : Quille pendulaire (MP PSI Mines 14) La conception des voiliers de course, dans un contexte de forte compétitivité sportive et technique, utilise toutes les évolutions récentes afin d améliorer performances et sécurité. Dès les premiers stades de la conception du navire, l architecte naval intègre les exigences des différents spécialistes qui collaborent au projet. Fonction de la quille dans la dynamique d un voilier Le comportement dynamique d un voilier est conditionné par ses interactions avec les deux fluides avec lesquels il entre en contact : l air et l eau. Il reçoit de l énergie sous la forme des actions aérodynamiques dues au mouvement relatif air/voiles. Ces actions mécaniques le font avancer et provoquent son inclinaison autour de son axe longitudinal. C est le phénomène de gîte. Pour contrebalancer ce mouvement et éviter que le voilier ne se couche sur l eau, la quille joue le rôle de contrepoids. Cette quille est généralement constituée d un voile immergé dans l eau à l extrémité duquel se trouve un lest profilé. L efficacité de la quille dépend de la masse du lest et de la longueur du voile. Ces deux paramètres présentent des limitations : le lest ne peut être trop important sous peine de solliciter dangereusement le voile de quille et la longueur de quille est limitée par le tirant d eau maximal admissible (il faut permettre l entrée dans les ports sans toucher le fond!). 1/12
Une évolution récente des voiliers de course océanique a été de les doter d une quille pendulaire. Cette quille est en liaison pivot d axe ( O, z ) avec la coque du navire et peut N être orientée d un côté ou de l autre du navire. Une fois l orientation désirée obtenue, tout mouvement dans la liaison pivot est supprimé par le blocage en rotation de celle-ci. La quille est manœuvrée par deux vérins hydrauliques. Chacun d eux est piloté par une servovalve de débit. Ce composant délivre un débit q(t) proportionnel à sa tension de commande v(t). Lors d une manœuvre de quille un seul de ces vérins est moteur et alimenté en pression via sa servovalve. L autre est laissé dans une configuration où sa tige est libre de tout mouvement. Le déplacement terminé, la quille est verrouillée en position par un système de blocage non étudié dans ce sujet qui interdit toute circulation de fluide entre vérins et servovalves. L angle de rotation de la quille par rapport au bâti est mesuré par un capteur potentiométrique. FONCTION «RESPECTER LA CONSIGNE ANGULAIRE DE POSITION» Afin de garantir sa répétabilité, la mise en position angulaire de la quille fait l objet d un contrôle par une boucle d asservissement, dont le cahier des charges est donné ci-dessous. Critères niveau Stabilité C12 Dépassement vis-à-vis d une entrée en échelon Aucun Rapidité C21 Temps de réponse à 5% 4s maxi Précision C3 Erreur statique vis-à-vis d une entrée en échelon nulle 2/12
Modélisation du vérin. Lors d un déplacement de la quille, les mouvements d oscillation du cylindre de vérin par rapport à la coque étant de faible amplitude et s effectuant à de faibles vitesses, on se place dans une situation où le corps de vérin est considéré comme fixe. La tige est alors considérée en mouvement de translation galiléen. On considère également que les mouvements étudiés sont de petits mouvements autour d une position moyenne et que l hypothèse des conditions initiales nulles est valide. Dans ces conditions, le comportement du vérin est défini par le modèle continu ci-dessous. dx(t) V d (t) (a) q(t) S.. dt 2.B dt d² x(t ) dx(t ) dt² dt (b) M. S. (t ) k.x(t ). f R(t ) 1 : Variable temporelle ; 2 : Transformée de Laplace correspondante. 1 Définition (unité) 2 1 Définition (unité) 2 q(t) Débit d alimentation du vérin Q(p) Composante selon l axe (m 3.s -1 ) f R (t) de la tige de vérin de la F R (p) (t) Différence de pression entre les (p) résultante du torseur x(t) deux chambres du vérin (Pa) Position de la tige du vérin (m) X(p) d inter-effort de la liaison pivot entre tige et quille. (N) Constantes : Définitions et unités ( N.B. : toutes ces constantes sont positives) S Section du vérin (m 2 ) k Raideur mécanique du vérin (N.m -1 ) V Volume d huile de référence (m 3 ) B Coefficient de compressibilité de l huile (N.m -2 ) M Masse équivalente à l ensemble des éléments mobiles ramenée sur la tige de vérin (kg) Coefficient de frottements visqueux (N.m -1.s) Q1 Donner les expressions des fonctions de transfert A1, A2, A3 et A4 en fonction de la variable complexe p et des constantes. 3/12
Q2 Le schéma-bloc peut se mettre sous la forme suivante, donner les expressions des fonctions de transfert H 1 et H 2 en fonction de A 1, A 2, A 3 et A 4, puis de la variable p et des constantes. Q3 Pour ce vérin non perturbé (F R =0), donner sa fonction de transfert X(p)/Q(p) en fonction de la variable p et des constantes. On donne le schéma d asservissement de la position angulaire de la quille. La perturbation représentée par F R (p) ne sera pas prise en compte. Comportement pour une commande de faible amplitude Une simulation de la réponse indicielle à un échelon de 5 d amplitude a permis de tracer les courbes suivantes, obtenues pour deux valeurs du correcteur proportionnel. Q4 Conclure sur la capacité de ces 2 réglages à satisfaire les exigences du cahier des charges. 4/12
Problème 2 : Vanoise express (E3A PSI 2014) Noël 2003, le téléphérique Vanoise Express relie enfin les domaines skiables de «La Plagne» et «Les Arcs», donnant naissance à «paradiski», un domaine skiable de 425 km, le troisième plus grand de France. Le Vanoise Express est une prouesse technologique de 16.5 millions. C est le plus grand téléphérique de ce type jamais construit au monde. Il est réalisé par la société POMAGALSKI. C est un téléphérique sans pylônes, d une seule portée de gare à gare, ce qui permet de diminuer l impact sur l environnement et de préserver la beauté du paysage. L utilisation de cabines à deux étages permet de réduire le volume des cabines et des gares, améliorant l esthétique de l ensemble. La solution retenue est constituée de deux lignes parallèles portant chacune une seule cabine. Contrairement à la plupart des téléphériques, les deux lignes sont entièrement indépendantes, ce qui signifie qu une cabine n est pas le contrepoids de l autre. Ainsi, en cas de problème sur une cabine, la liaison entre les deux stations n est pas interrompue. Vérification des critères «Ecart statique», «Ecart de traînage», «Marge de phase» et «Pulsation de coupure en boucle ouverte» de la fonction FT121 Dans ce qui suit, on désire respecter les critères suivants du cahier des charges partiel : Fonction Critère Niveau FT121 : Contrôler Erreur statique et erreur de traînage l énergie (ou écart dynamique) en vitesse en l absence de perturbations. Erreur statique en vitesse en présence d une perturbation échelon. 0 s 0 v s 0 Temps de réponse. t 5% < 3s Dépassement. D% < 5% 5/12
En effet, afin de respecter les consignes de vitesse pour un trajet entre «Les Arcs» et «La Plagne»Erreur! Source du renvoi introuvable.erreur! Source du renvoi introuvable., il est nécessaire que l asservissement de vitesse des moteurs à courant continu ait des qualités en précision, stabilité et rapidité. Schéma de principe d une des deux lignes du téléphérique : Les moteurs du téléphérique sont asservis en vitesse. La consigne est décrite sur la figure ci-dessous. L immobilisation en gare est assurée par une consigne de vitesse nulle et par le frein à patin de service (frein à desserrage hydraulique). Consigne de vitesse pour un trajet : 6/12
Modélisation des moteurs à courant continu Notations : On note F(p) la transformée de Laplace d une fonction du temps f(t). u(t) Tension d alimentation des moteurs. i(t) Intensité traversant un moteur. e(t) Force contre électromotrice d un moteur. m (t) Vitesse de rotation d un moteur. c m (t) Couple d un seul moteur. c r (t) Couple de perturbation engendré par le poids du téléphérique dans une pente et par l action du vent, ramené sur l axe des moteurs. Equations de fonctionnement du moteur : di( t) dt 2 c ( t) c ( t) J. ( t) f. ( t Equation électrique : u( t) R. i( t) L. e( t) Equation mécanique : ) c ( t) k. i( t) m T avec kt e( t) k. ( t) E m avec E Hypothèses et données : m r m 5.67 Nm/A (constante de couple d un moteur). k = 5.77 Vs/rad (constante électrique d un moteur). On suppose les conditions initiales nulles. Les deux moteurs sont et fonctionnent de manière parfaitement identique. L = 0.59 mh inductance d un moteur (L = 0.00059 H). R = 0.0386 résistance interne d un moteur. f = 6 N.m.s/rad coefficient de frottement visqueux équivalent ramené sur l axe des moteurs. J = 800 kg.m² moment d inertie total des pièces en rotation, ramené sur l axe des moteurs. On donne le schéma bloc de la double motorisation : m Q1. Déterminer les fonctions de transfert G 1 (p), G 2 (p), G 3 (p) et G 4 (p) écrites dans le domaine de Laplace. 7/12
Q2. m (p) peut se mettre sous la forme : m ( p) F1 ( p) U ( p) F2 ( p) Cr ( p). Exprimer les fonctions F 1( p) et F 2 ( p) en fonction de G 1 (p), G 2 (p), G 3 (p) et G 4 (p). Q3. Exprimer la fonction F 1( p ) en fonction des données. Faire l application numérique. Mettre F 1( p) sous forme canonique coefficients caractéristiques. F ( p) 1 K 2 p 2. z 2. p 1 n n et donner ses On donne les résultats d une simulation réalisée sur l ensemble de la motorisation, constituée des deux moteurs à courant continu. La première courbe représente la réponse en vitesse à un échelon de tension u(t) d amplitude 100 V (le couple de perturbation c r (t) est nul). La seconde courbe représente la réponse en vitesse à un échelon de couple de perturbation c r (t) d amplitude 1000 N.m (la tension u(t) est nulle). Q4. Choisir et justifier un modèle d identification de ces fonctions (premier ordre, second ordre etc...). Déterminer numériquement les deux fonctions ( ) F ( ) par identification. 1 p 2 p Réponse en vitesse à un échelon de tension u(t) d amplitude 100 V. 20 18 m (t) en rad/s 16 14 12 10 8 6 4 2 t en s 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 8/12
Réponse en vitesse à un échelon de couple de perturbation c r (t) d amplitude 1000 N.m. 0.0-0.1 m (t) en rad/s -0.2-0.3-0.4-0.5-0.6 t en s -0.7 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 En faisant l approximation que les deux fonctions F 1( p) et F 2 ( p ) ont sensiblement le même dénominateur, le schéma bloc ci-dessus peut se mettre sous la forme suivante : Q5. Donner la valeur numérique des trois constantes B, D et T. (On rappelle que l on a p) F ( p) U ( p) F ( p) C ( ) ). m ( 1 2 r p La motorisation modélisée ci-dessus est insérée dans une boucle d asservissement de vitesse. 9/12
La consigne de vitesse v c (t) est donnée en entrée. Elle est convertie en une tension c (t) avec le gain «F». Une génératrice tachymétrique de gain = 0,716 V.s/rad transforme la vitesse de rotation m (t) du moteur en une tension m (t). Un correcteur de fonction de transfert C(p) corrige la différence (t) = c (t) - m (t) et l envoie à un amplificateur de gain A, qui alimente les deux moteurs électriques. Les moteurs, sont suivis par un réducteur de rapport de réduction k ( t) ( t) Ils entrainent le câble à la vitesse v(t) avec une poulie motrice de rayon R = 4m, on a v( t) R. ( t). Q6. Déterminer l expression du gain E. Faire l application numérique. Déterminer l expression du gain F pour que (t) = 0 entraîne v c (t) = v(t). Faire l application numérique. m 1 20. Par transformation du schéma bloc, le système est mis en retour unitaire. On obtient le résultat ci-dessous : Les coefficients E et F calculés précédemment sont intégrés dans les nouveaux coefficients A et G. Pour la suite, on continuera avec les valeurs suivantes : A B = 3.10 4 s.n ; G = 6.10-5 m/(s.n.m) et T = 0,47 s. On se propose de tester successivement 2 correcteurs et de retenir celui qui permet de respecter le cahier des charges. On rappelle les exigences du cahier des charges : Erreur statique et erreur de traînage nulles en vitesse en l absence de perturbations. Erreur statique nulle en vitesse en présence d une perturbation échelon. Temps de réponse : t 5% < 3s. Dépassement : D% < 5%. Utilisation d un correcteur proportionnel : C(p) = C 0 On suppose la perturbation nulle : C r (p) = 0. 10/12
Q7. Calculer la fonction de transfert forme canonique : H 1 ( p) V ( p) H1( p) en fonction de C Vc( p) 0. La mettre sous K1 1. p et déterminer ses coefficients caractéristiques. 1 Q8. Avec C(p) = C 0 = 1, tracer l allure de la réponse à un échelon unitaire. Donner les performances de l asservissement (précision, rapidité, dépassement). Conclure sur le respect des exigences du cahier des charges. Donner l influence de l augmentation du gain du correcteur sur les performances, conclure. Ci Utilisation d un correcteur intégral : C( p). p On suppose la perturbation nulle C r (p) = 0. Q9. Calculer la fonction de transfert La mettre sous forme canonique : Déterminer ses coefficients caractéristiques. V ( p) H 2( p) en fonction de C Vc( p) i. H 2 K2 ( p) 2 p 2. z. p 1 2 n n Q10. Déterminer C i afin d avoir le temps de réponse le plus rapide avec dépassement. Tracer dans ce cas l allure de la réponse à un échelon unitaire. Donner les performances de l asservissement (précision, rapidité, dépassement). (Utiliser l abaque donné en page 12). Conclure sur le respect des exigences du cahier des charges. Q11. Calculer l erreur ( p) en fonction de C i et Vc ( p). En déduire l erreur de trainage (en réponse à consigne de type rampe de pente 1). Conclure sur le respect des exigences du cahier des charges. 11/12
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