Lycée Masséna Spéciale PSI Année 2009-2010 Devoir Surveillé n 1 Mercredi 2 septembre 2009 Durée : 3 heures 30 mn Concours ATS - Session 1999 (environ 1h30) Concours Ensait Session 1999 Physique II (environ 2h) Concours ATS - Session 1999 : ETUDE D'UN SATELLITE ARTIFICIEL Note au candidat Attention, dans l énoncé les grandeurs vectorielles sont notées en caractères gras! Mais sur sa copie, le candidat utilisera la notation usuelle : lettre surmontée d'une flèche ". Les quatre parties de ce problème peuvent être traitées séparément. I - Propriétés générales de la trajectoire Un satellite artificiel, S, assimilable à point matériel de masse m, évolue librement à grande distance de la Terre. La Terre est considérée comme un corps immobile, rigoureusement sphérique et homogène, de rayon R, de masse M et de centre O. On désigne par r(t) = OS, le vecteur position du satellite et par v(t) = dr dt son vecteur vitesse. A l'instant initial t = 0, le satellite se trouve dans la position r 0, animé de la vitesse v 0, non radiale. L'influence de la Lune, du Soleil, des autres planètes, ainsi que celle de l'atmosphère sont ignorées. On étudie la situation pour t > 0. A1.1. Donner l'expression vectorielle du champ de force F( r ) auquel est soumis le satellite. - On désignera par G la constante de gravitation universelle et par u le vecteur unitaire radial - S'agit-il d'un champ de force central? A1.2. Définir le vecteur moment cinétique J du satellite, par rapport au centre O. A1.3. Montrer que, quel que soit t 0, le moment cinétique J du satellite est constant, égal à une valeur J 0. Expliciter J 0. A1.4. Justifier le fait que la trajectoire suivie par le satellite, pour t 0, est entièrement contenue dans un plan fixe P, que l'on précisera. Il - Etude du mouvement plan. Aspects dynamiques et énergie On reprend les hypothèses de la section I ci-dessus, en se plaçant dans le plan P de la trajectoire. Ce plan est rapporté aux coordonnées polaires (r, θ ) de centre O et de base locale {u r, u θ } - u r et u θ sont respectivement le vecteur unitaire radial et le vecteur unitaire orthoradial -. A2.1. Montrer que le principe fondamental de la dynamique, appliqué au satellite, conduit à l'équation différentielle : r 2&& θ + 2 rr & θ & = 0 A2.2. Déduire de l'équation différentielle précédente que le mouvement du satellite vérifie une relation de la forme : r n& θ = C = cste. Déterminer l'exposant n, et relier la constante C au moment cinétique, J, du satellite par rapport au centre de la Terre et à sa masse m. A2.3. Exprimer l'aire, da, balayée par le rayon-vecteur r durant l'intervalle de temps dt. Montrer que l'aire A balayée par le rayon-vecteur durant un intervalle de temps t = t2 t1 > 0 est proportionnelle à t, le facteur de proportionnalité α étant le même quel que soit t 1 0 (seconde loi de Kepler). Pour cela, on identifiera le facteur α.
On note respectivement U(r) et K(r) l'énergie potentielle et l'énergie cinétique du satellite dans la position courante r, et respectivement U 0 et K 0, ces mêmes énergies à l'instant initial. A2.4. En adoptant la convention : U = 0 à l'infini, justifier physiquement le fait que l'énergie potentielle de gravitation U(r) est négative quelle que soit la distance r, finie. A2.5. Partant de la position r, le satellite effectue un déplacement élémentaire dr le long de sa trajectoire. Relier les variations du(r) et dk(r) de l'énergie potentielle et cinétique observées au cours de ce déplacement, au champ de force F(r). De quelle propriété jouit la somme: E(r) = U(r) + K(r)? A2.6. A quelle condition liant U 0 etk 0, le satellite reste-t-il en orbite autour de la Terre (état lié)? Quelle est alors la nature de la trajectoire suivie par le satellite? - On donnera ces deux résultats sans les démontrer -. III - Satellite géostationnaire La Terre tourne sur elle-même, autour de sa ligne des pôles, à la vitesse angulaire Ω. On ne considère pas son mouvement de révolution autour du Soleil. Le satellite évolue maintenant de façon géostationnaire, c'est-à-dire qu'il tourne de façon synchrone avec la Terre sur une orbite circulaire de rayon a 1, située dans le plan équatorial. A3.1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique au satellite, déterminer l'expression du rayon a 1, de l'orbite géostationnaire, en fonction de G, M et Ω. A3.2. Donner l'expression de l'énergie potentielle de gravitation U(r) du satellite, lorsqu'il se situe à une distance r, quelconque, du centre de la Terre. On exprimera U(r) en fonction de G, M, m et r, en retenant la condition : U = 0 à l'infini. A3.3. Exprimer l'énergie mécanique totale E T du satellite sur son orbite géostationnaire, en fonction de G, M, m et a 1. A3.4. Le satellite a été lancé à partir d'une base terrestre située sur l'équateur (Kourou [Guyane]). Déterminer l'énergie minimale, W L, qu'il a fallu dépenser pour le placer sur orbite géostationnaire. - On ne tient pas compte ici des frottements dans l'atmosphère, pas plus que de l'énergie dépensée pour propulser la fusée porteuse, hors satellite -. A3.5.Exprimer la différence, W L, entre l'énergie minimale de lancement sur orbite géostationnaire à partir d'une base équatoriale et à partir d'une base située à la latitude géographique λ 0. Est-il, sur le plan énergétique, préférable d'effectuer les lancements depuis la base de Kourou (λ = 0) ou du Cap Canaveral [Floride] (λ = 25 N)? IV - Phénomènes électriques et magnétiques affectant les satellites Nous allons dans cette dernière partie entrevoir les conséquences sur le satellite de l'existence du champ magnétique terrestre. Le satellite est maintenant «défilant» sur une orbite circulaire équatoriale de rayon a a 1. Pour un observateur terrestre, il tourne d'ouest en est, à la vitesse angulaire apparente ω a. Nous raisonnerons comme si la Terre était immobile, et le satellite animé de la vitesse angulaire ω a. Nous admettrons, que dans la zone équatoriale d'évolution du satellite, les lignes du champ magnétique terrestre sont assimilables à des grands cercles de centre O (centre de la Terre), passant par l'axe des pôles : cercles méridiens. Ces lignes de champ sont solidaires de la sphère terrestre. Elles sont orientées du pôle Sud vers le pôle Nord géographique. Le champ admet la ligne des pôles comme axe de symétrie. Son module, B, est fonction de l'altitude, mais nous le supposerons uniforme à l'échelle du satellite; ce dernier étant de nature non magnétique. 2
A4.1. Le défilement du satellite s'accompagne de l'apparition d'un champ électrique E en son sein. Expliquer l'origine physique de ce champ. Préciser dans quelle direction il apparaît (haut-bas, nord-sud ou est-ouest?). A4.2. Donner l'expression du module de E. A4.3. En assimilant le satellite à une sphère isolante de diamètre D, quelle différence de potentiel maximale, V M, peut apparaître entre deux points diamétralement opposés? Cette différence de potentiel est-elle utilisable pour fournir une alimentation électrique de faible puissance? Par suite des frottements dans l'atmosphère, le satellite acquiert, au cours de son ascension, une charge électrique q, négative. A4.4. Montrer que le satellite électriquement chargé est soumis à une force de nature magnétique, F m, dont on précisera l'origine et dont on donnera l'expression. A4.5. Le satellite défilant d'ouest en est, dire si cette force a tendance à accroître ou à réduire le rayon a de la trajectoire. Représenter la situation sur une vue de dessus. Concours Ensait 1999 - Epreuve de physique II Etude d'un moteur à air comprimé Données: Constante molaire des gaz parfaits : R= 8,31 J/(mol.K); Pression atmosphérique : P 0 =1bar=10 5 Pa; Température de l'atmosphère supposée constante : T 0 = 300K ; Rapport des chaleurs massiques de l'air : C p /C v =γ=1,4; Masse molaire moyenne de l air sec : M a =29g/mol; Le moteur à air comprimé présenté dans ce problème est un moteur à piston, alimenté par de l'air comprimé qu'on assimile dans tout le problème à un gaz parfait. Le principe de fonctionnement de ce moteur est illustré sur la figure l. L'air comprimé arrive par la canalisation supérieure et ne peut pénétrer dans le cylindre que lorsque la bille est poussée par le petit ergot situé sur le piston. L'admission de l'air n'est donc possible que lorsque le cylindre est en «position haute» (point mort extérieur). Le cylindre étant doté de petites ouvertures, l'échappement n est permis que lorsque le cylindre est en «position basse» (point mort intérieur). L'air comprimé provient d'un réservoir de volume V r1 =0,2m 3 ayant une pression initiale P r1 =100bars et une température initiale T r1 = T 0 Fig 1 3
A)Etude du réservoir à air comprimé Les deux parties sont largement indépendantes. Pour répondre aux questions suivantes, relatives aux détentes proposées, on pourra imaginer que l'air comprimé du réservoir est placé dans un cylindre fermé par un piston mobile ; la fin de la détente correspondant à une pression de l'air égale à P r2 =20bars. 1)On admet dans cette question que l'air est détendu de manière isotherme à la température T 0. 1.l)La détente doit-elle être réalisée lentement ou rapidement?justifier 1.2)Exprimer le travail mécanique W iso maximal récupérable au cours de la détente. 1.3)Evaluer numériquement W iso. 2)On admet dans cette question que l'air est détendu de manière adiabatique. 2.l)Calculer le travail mécanique W adi maximal récupérable au cours d une telle détente. 2.2)Evaluer numériquement W adi. 2.3)Que vaut la température finale de l'air restant dans le réservoir? Quel phénomène risque-t-il de se produire? 3)L'expérience montre que l air ne subit ni une détente isotherme ni une détente adiabatique ; un transfert thermique à travers les parois du réservoir accompagne la détente. Ce transfert est modélisé par une relation du type P = a T th ( ) Où P th est la puissance thermique reçue par l'air ; T r est la température supposé uniforme de cet air au sen du réservoir ; a est une constante. 3.1)De quels facteurs dépend la constante a? Quelle est son unité? La détente étant supposée mécaniquement réversible, on étudie la transformation élémentaire subie par l'air entre les instants t et t + dt : 3.2)Réaliser un bilan énergétique pour obtenir une relation différentielle liant les variables T r, V r et t qui sont respectivement la température de l'air, le volume occupé par cet air et le temps t Résoudre cette équation différentielle nécessite de se donner une loi d'évolution du volume V r avec t. On choisit la loi d'évolution suivante : t Vr = Vr1 1 + où τ est une constante. τ 3.3)Montrer que l'équation différentielle de la question 3.2) peut se mettre sous la forme: dtr Tr T0 Tr + = γ 1 dt τ t + τ r T 0 ( ) ( ) où τ est une constante caractéristique du dispositif qu'on exprimera en fonction de a, γ, P r1, V r1 et T r1. 3.4)Comment doit-on choisir τ par rapport à τ' pour retrouver : -la transformation isotherme? -la transformation adiabatique? On justifiera le choix par des arguments physiques. La résolution de l'équation différentielle et le tracé de la courbe représentative de la fonction T r (t) conduit au graphe de la figure 2 suivant lorsque τ = 200s et a = 5usi : (T est en K et t est en s ) 4
Fig 2 On appelle T r m la température minimal et t m l'instant pour lequel cette température est atteinte. 3.5)Interpréter physiquement les deux parties de la courbe. 3.6)Etablir la relation liant T r m et t m. 3.7)En appelant P rm la pression à l'instant t m, établir une relation simple entre P r m et T r m et les constantes a, τ, T 0 et V r1. 3.8)Evaluer T r m sur le graphe et en déduite P r m. La courbe donnant la variation de P r fonction du temps est présentée sur la figure 3 où P est en bar et t en s: Fig3 3.9) P r m étant inférieure P r2,les variations de pression et de température au cours de la détente sont monotones. En conséquence, on modélise la transformation subie par le gaz par une loi, liant sa pression et son volume, du type PV k r r = Cte. Evaluer numériquement la valeur de k. 3.10)En déduire le travail mécanique récupérable au cours de la détente. 5
B)Etude de l'arrêt du moteur. Dans cette partie, on s'intéresse au moteur lui-même actionné par le gaz comprimé sortant du réservoir. Pour simplifier, on suppose que le remplissage est instantané lorsque le piston est situé au point mort extérieur ;le volume offert au gaz dans le cylindre est alors de V 1 =5cm 3.De même, on suppose que l air s'échappe instantanément du cylindre lorsque le piston est au point mort intérieur le volume offert est alors de V 2 = 50cm 3. 1)Après plusieurs aller- retours, le moteur s'arrête. Expliquer succinctement pourquoi l arrêt intervient avant que la pression du réservoir n'égale P 0 : pression atmosphérique. 2)On constate qu'en fin d'admission, la température de l'air dans le cylindre est T 1 =350K.Comment expliquez-vous une température si élevée? 3) On suppose que lors de la descente du piston (et lors de la remontée), la transformation subie par le gaz est adiabatique et réversible. Si la pression enfin d'admission est P 1, quelle est-elle juste avant l'échappement : P 2? 4)Calculer numériquement la température juste avant l'échappement T 2. 5)Si P 2 > P 0, une nouvelle détente,au cours de l'échappement, s'opère dans l'air atmosphérique. On admet que cette détente est de type adiabatique réversible pour l'air restant dans le cylindre Quelle est sa pression finale?en déduire sa température en fonction de T 2, P 2,P 0 et des constantes nécessaires puis en fonction de T 1, P 1, P 0 et des constantes nécessaires. 6)Déduire des questions précédentes le travail reçu par l'air : -lorsque le piston passe du point mort extérieur au point mort intérieur ; on donnera ce travail en fonction de P 1, V 1, V 2 et γ. -lorsque ce piston passe du point mort intérieur au point mort extérieur ;on donnera ce travail en fonction de P 0, V 2, V 1 et γ. 7)En déduire la relation numérique liant le travail total W T (reçu par le gaz au cours d'un aller-retour du piston) et P 1. 8)Calculer numériquement ce travail W T au début du fonctionnement du moteur, c'est à dire pour P 1 =100bar. On estime que le moteur s arrête lorsque ce travail W T s'annule. 9)En déduire la pression minimale du réservoir en deçà de laquelle le moteur s'arrête. 10)Pouvait-on calculer cette pression minimale plus rapidement et si oui, comment? 11)Compte tenu de cette valeur, quelle(s) amélioration(s) voyez vous pour un tel moteur? FIN 6