Université Pierre et Marie Curie - L - UE LP 0 - nnée 009-00 Reza.Samadi@obspm.fr tique géométrique - Corrigé TD série n Instruments optiques ; angles solides ; énergie lumineuse ) Doublet de lentilles B a pour image B à travers L et B a pour image à travers L. a) à l infini => B dans le plan focal objet de L, i.e. =F b) n place l image B (virtuelle) en F. n considère le rayon réel () parallèle à l axe optique et semblant passer par B. En passant par L celui-ci diverge en un rayon () semblant venir de F. Le rayon qui a donné naissance, à travers L, au rayon parallèle () est par conséquent le rayon () passant par F. Considérons maintenant le rayon (4) passant par F qui semble aller vers B. Celui-ci est réel dans la zone objet de L et virtuel dans sa zone image. Le rayon (4) après avoir traversé L diverge en un rayon (5) parallèle au rayon () divergent. Pour s en convaincre il suffit d appliquer le principe du retour inverse de la lumière et de constater que dans ces conditions B est le foyer secondaire des rayons () et par conséquent de (5). Le rayon (4) passant par le foyer image F de L a donc pour origine un rayon (6) parallèle à l axe optique. L intersection entre les rayons () et (6) correspond finalement à la position de l objet B dont l image est B. c) étant l image de à travers L on a donc la relation : = ' F F n en déduit =-.7 cm Figure UE LP 0 ptique géométrique TD Corrigé - 4//09 /5
) Téléobjectif pellicule f Figure a) Les lentilles L et L étant collées l une à l autre, elles sont équivalentes à une lentille unique dont la vergence (inverse de la focale) est la somme des deux vergences. = + = 7,5mm. f ' f ' Un objet à l infini va donner une image par L dans le plan focal image de celle-ci : = f ', et l image de par {L ;L }, doit se trouver sur la pellicule pour que le téléobjectif soit réglé sur l infini, c est-à-dire = =. on a : ' = r ' = f ' = f ' f ' eq = + = 75mm f ' Mais on peut aussi raisonner autrement : la pellicule est au foyer de L, donc l ensemble {L +L } doit être afocal. insi un objet à l infini sera renvoyé à l infini par {L +L } et l image par L sera bien sur la pellicule. Pour {L +L } un rayon arrivant parallèlement à l axe doit ressortir parallèlement à l axe. Le foyer image de L doit donc correspondre au foyer objet de L. (voir schéma) F F = F + F = f ' + f ' = 75mm taille de l instrument= 50mm soit 5cm. b) un objet situé à km est à l infini pour le système optique (km >> toutes les focales). L angle sous lequel il est vu à l œil nu est tan() = 60/000=/50 rad (approximation de Gauss). L image par L se trouve en F et sa taille est = f. = mm. UE LP 0 ptique géométrique TD Corrigé - 4//09 /5
f F L image finale est ensuite (image renversée) formée sur la pellicule à l aide de la lentille équivalente. n a le grandissement γ = ''B'' = '' = f ' = f ' = => sur la pellicule, l image de la 'B' ' F f ' tour est inversée et fait 6mm : ''B'' =-6mm c) Si l on n avait qu une seule lentille, pour avoir l image nette d un objet à l infini, il faut que la pellicule soit au foyer image de cette lentille. La taille sur l écran de l image étant f => f =00mm soit un objectif de taille double! => en général, un ensemble de lentilles est plus efficace qu une lentille seule. ) Lunette astronomique. Si l instrument est afocal, tout rayon arrivant parallèlement à l axe doit ressortir parallèle à l axe=> le foyer image de L doit se trouver au niveau du foyer objet de L. = F' + F = f ' + f ' = 8cm La planète étant à l infini, son image par l objectif sera en son foyer image : F. Sa taille sera d ailleurs f =. Cette image est ensuite renvoyée à l infini avec l oculaire. Et le nouveau diamètre angulaire de la planète à la sortie est = (f )/f =>G=-f /f grossissement de la lunette. (G<0 car l image à l infini vue par l œil est renversée). L eq B f La planète est plus grosse à la sortie de la lunette, comme l œil n est sensible qu aux dimensions angulaires, celle-ci nous semble plus proche qu à l œil nu. bjet à distance finie = d Image par L : ' = ' = df ' = f ' + f ' (on a d-f >0 si l objet f ' d f ' d f ' n est pas trop près). Donc l image est à droite de F (logique, les objets et les images se déplacent dans le même sens) Pour que l objet soit renvoyé à l infini à la sortie de la lunette, il faut que se trouve en F foyer objet de l oculaire. UE LP 0 ptique géométrique TD Corrigé - 4//09 /5
=> l oculaire doit être déplacé de f ' d f ' vers la droite si l objet n est pas trop près. 4) Lunette d observation ) Pour que l image finale se forme à l infini il faut que se forme en F. Pour que B soit renversé par rapport à 0 B 0, il faut que 0 soit placé avant F. Enfin, pour qu il soit effectivement agrandi par rapport à 0 B 0 (i.e. pour que γ > ), il faut qu il soit placé avant F à une distance inférieure à f. ) ) n a : ( γ ) f ' B γ = et d autre part : B 0 0 = et enfin = γ ) ' / γ. 0 0 ( f = 0 f '. Il vient donc ' ' ' ' 4) = f + ( γ ) f ' ( γ ) f ' / γ + f = f + f ( γ ) / γ f '. La lunette a donc été agrandie d une distance : ( γ ) / γ f '. Pour γ= -, cette distance vaut : 0,6 cm. 5) n aurait pu remplacer L par une lentille divergente (lunette de Galilée). n aurait pu aussi utiliser deux prismes placés cote à cote de manière à renverser l image. 5) ppareil photo ppareil réglé à l infini : pellicule dans le plan focal image de l objectif. Un point à distance finie donnera donc une image ponctuelle derrière la pellicule et fera une tache sur la pellicule (cf schéma). pellicule f Soit l angle sous lequel les rayons arrivent en, on a donc dans l approximation de Gauss : = D f ', or ' = ' f '+ et comme ( ) < 0=> ' = f ' f ' = f 'd d f ' = D d f ' f 'd Et le diamètre de la tache formée sur la pellicule est : ( ' f ') = f ' d f ' D( d f ') = Df ' f 'd d Si D=5mm, d min =6,5m et si D=0mm, d min =5m. Dans ce cas tout ce qui est entre d min et l infini sera net. UE LP 0 ptique géométrique TD Corrigé - 4//09 4/5
6) Caractéristiques de l œil. -Le myope : son PR est à 0 cm au lieu d être à l infini. Pour voir à l infini, il faut que l image d un objet à l infini soit à travers les lunettes ramené à 0cm des yeux du myope => lentille divergente avec f =-0cm ou -5δ (dioptries) -L hypermétrope : son PP est à 50 cm. Si on veut le ramener à 5 cm (valeur normale), il faut que l image d un objet à 5 cm des yeux soit amené à 50cm par les lunettes. La vergence de la lentille vaut : V = P'. P = =-50cm. P==-5cm. P Il faut donc des lentilles convergentes de Vergence δ (dioptries) Dans l eau, au niveau de la cornée, au lieu d avoir un dioptre air-eau, on a un dioptre eau-eau (approximativement) Donc l œil est beaucoup moins convergent dans l eau. on est naturellement hypermétrope dans l eau. Si un homme a une vision correcte dans l eau, c est que son œil est beaucoup plus convergent que la normale. Cet homme est par conséquent très myope. 7) Lunette astronomique et observation des étoiles ) D après la figure, on a d/f = D/f. Il vient donc d = D (f /f ) = D / G avec G = - f /f. N : G = 400, d = mm. ) a) Φ 0 = π a² E. ) b) Puisque d < a, tout le flux rentre dans l œil. n a donc Φ L = π (D²/4) E. ) c) n en déduit alors le rapport Φ L / Φ 0 = 4 0 4. ) Flux collecté à travers la lunette : - pour Proxima du Centaure : Φ L PC = π (D²/4) E PC ~ 5 0-5 W. - pour l étoile polaire : Φ L P = π (D² /4) E P ~ 0 - W. L œil ne peut pas voir un flux inférieur à Φ m =,5 0-7 W. Par conséquent il pourra observer à l œil nu l étoile polaire mais pas Proxima du Centaure. Dans tous les cas, les deux étoiles sont évidemment observables par l œil à travers la lunette. UE LP 0 ptique géométrique TD Corrigé - 4//09 5/5