Le moment cinétique et l'atome d'hydrogène Le potentiel coulombien Recherche des états propres et de leurs énergies pour Chapitres et L'opérateur commute avec l'hamiltonien : (. et.6 hors programme) On peut diagonaliser simultanément et une composante Premier pas vers l étude du magnétisme Comme en physique classique, il existe en mécanique quantique une relation fondamentale entre le moment cinétique d'un système et son moment magnétique Pour caractériser les propriétés magnétiques d'un atome, d'une particule,, il faut connaître son état de moment cinétique. Le moment cinétique orbital cf. prochain cours sur la physique du spin ½ et la résonance magnétique nucléaire
Rappel sur L'observable Bien que ne commute pas avec et, on a : Trois composantes Par conséquent où on a posé : On peut donc diagonaliser simultanément et une des trois observables : Relation de commutation :, On ne peut pas diagonaliser simultanément deux composantes de On choisit traditionnellement : Diagonalisation de : l approche fonction d onde Diagonalisation de dans l approche fonction d onde On passe en coordonnées sphériques d'axe Oz et on cherche : z On part de et on résout y Attention : x Les valeurs propres sont donc de la forme Legendre (75-833) harmoniques sphériques et les fonctions propres associées sont
Remarque sur les variables pertinentes Les opérateurs ne font intervenir que les variables et pas r. Diagonalisation de : la méthode algébrique On travaille uniquement avec les relations de commutation : Elie Cartan 869-95 plus facile que la méthode «fonction d onde» Imposer à d'être état propre de permettra de déterminer la dépendance en, mais pas la dépendance en r Intérêt supplémentaire : la méthode suivie ne s'applique pas seulement à La dépendance en r viendra ultérieurement, lorsqu'on aura précisé l'hamiltonien, en particulier le potentiel V(r) : harmoniques sphériques mais aussi à d'autres observables comme : pour un système composite, ou à d'autres moments cinétiques sans équivalent classique (spin).. Le problème général d'une observable de moment cinétique 3/ / -/ - -3/ m m = j / 3/ m = -j j Les valeurs propres de et j m val. prop. de Ĵ val. prop. de J ˆz / / -/ - 3 /4 / /
Les harmoniques sphériques 3. La fonction propre commune à et, associée aux valeurs propres et est notée : Retour sur le moment cinétique orbital On la choisit normée : Après la méthode algébrique, on s attendrait à ce que et puissent être entiers ou demi-entiers, mais. et doivent être entiers Exemple d'harmoniques sphériques : les états de moment cinétique nul Contrainte en coordonnées sphériques : On part de et on cherche telle que On a déjà trouvé la dépendance en de fonction propre associée à avec : Ceci impose : entier entier On en déduit : état à symétrie sphérique (état s)
Les harmoniques sphériques (suite) m Moment cinétique : états p - 4. - L'atome d'hydrogène cf. orbitales p x,p y,p z des chimistes Le problème de Kepler quantique L'équation radiale pour l'atome d'hydrogène Electron (masse m e, charge q) autour du proton (masse, charge +q). Quels sont les états propres et les énergies propres E de On reporte dans l'éq. aux val. propres avec? L'hamiltonien est invariant par rotation : il commute avec On utilise : et on arrive à : On va chercher les états propres de parmi les états propres de seule reste à déterminer la dépendance en r énergie cinétique radiale barrière centrifuge énergie de Coulomb problème D, ouf!
Unités caractéristiques de la physique atomique Pourquoi notre traitement non-relativiste est-il valable? rayon de Bohr Notre traitement non relativiste est «sauvé» par la petitesse du nombre sans dimension : Rydberg «constante de structure fine» en utilisant Constante fondamentale des interactions électromagnétiques en mécanique quantique Feynman : «all good theoretical physicists put this number up their wall and worry about it.» Etats de moment cinétique nul : états s Energies propres de l'atome d'hydrogène ( quelconque) E Energies des états liés : niveaux p niveaux d niveaux s niveaux : dégénérescence :
L'atome d'hydrogène au plan expérimental Un des systèmes physiques les mieux connus : en tenant compte des corrections relativistes et liées à la théorie quantique des champs, on arrive à un accord théorie expérience au niveau de - La constante de structure fine Tout l édifice de la physique atomique est fondé sur Spectroscopie laser, par exemple sur la transition s-s (Paris & Munich) E I hc = 973 73,568 59() m Peut-on «comprendre» pourquoi α prend cette valeur? pour le moment, NON! recherche d une super théorie (cordes?) qui permettrait de prévoir sa valeur, ainsi que les constantes de couplages des autres interactions point de vue anthropique : si α avait une valeur sensiblement différente, on ne serait pas là pour se poser la question et si α variait dans le temps? Que penser des valeurs ½ entières de j? Valeurs éliminées pour le moment cinétique orbital en raison de : Artefact ou indication d'un "monde" plus vaste? la physique du spin ½