C H A P I T R E 2 N O M B R E S E N T I E R S E T D E C I M A U X Plan I - Ecriture des nombres 1 2 II - Nombres décimaux 3 1 - Fractions décimales 3 3 2 - Nombres décimaux 3 3 - Rang d un chiffre et lecture de nombres décimaux 4 5 DM possible : 93p24 et 94p24 ou DM2bis 5 III - Comparer, ranger, encadrer, intercaler 5 1 - Comparer, ranger 5 2 - Encadrer, intercaler 6 6 3 - Abscisse d un point 7 7 Objectifs Savoir écrire correctement un nombre entier. Passer de l écriture littérale d un nombre décimal à son écriture décimale et vis versa ainsi qu à son écriture fractionnaire. Savoir utiliser et comprendre le vocabulaire centaines, dizaines, unités, dixièmes, centièmes Savoir placer un nombre sur une droite graduée et vis versa. Savoir encadrer un nombre décimal. Savoir comparer deux nombres décimaux. Savoir donner une valeur approchée, une troncature, un arrondi d un nombre à l unité, au dixième, au centième I - ECRITURE DES NOMBRES Définition : Les dix chiffres sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Pour écrire les nombres, on utilise ces chiffres. Exemples : Le nombre 1 054 s écrit à l aide des chiffres 1, 0, 5 et 4. 1/7
Orthographe : invariables. Les mots servant à écrire les nombres et mille sont toujours Vingt et cent prennent un «s» quand ils sont multipliés et qu ils ne sont pas suivis d un autre nombre. Le trait d union se place entre les éléments qui représentent les dizaines et les unités. Exemples : 82 s écrit quatre-vingt-deux ; 600 s écrit six cents ; 434 280 s écrit quatrecent trente-quatre mille deux cent quatre-vingts 69p21 69p21 : écritures et orthographe Règle : Pour faciliter la lecture des nombres, on regroupe ses chiffres par tranches de 3 à partir de la virgule. Exemples : 9587425358 s écrit 9 587 425 358 98321,65541 s écrit 98 321,655 41. Règle : On ne change pas un nombre décimal si on ajoute ou on enlève des zéros : avant le premier chiffre de sa partie entière aprèsle dernier chiffre de sa partie décimale. On choisit généralement la plus courte. Exemples : 02,04000=2,04 08 050,00 =8 050 Attention tous les zéros ne sont pas «inutiles» ainsi 650 65 0,52 52 508,4 58,4 Activités fiche sur les nombres romains On connaît d'autres systèmes d'écriture des nombres. Par exemple les romains utilisaient seulement sept chiffres : I, V, X, L, C, D, M. I 1 X 10 C 100 M 1 000 V 5 L 50 D 500 Dans ce système, le nombre trois cent vingt et un que nous écrivons avec trois chiffres (321) s'écrit avec six chiffres CCCXXI. Le nombre dix-neuf que nous écrivons avec deux chiffres (19) s'écrit avec trois chiffres : IXX 2/7
Exercice : 1. Quelle est l'écriture décimale des nombres donnés en chiffres romains : DLXII MCMXCVIII MCCLIV 2. Écrire en chiffres romains les nombres suivants: 354 ; 912 ; 3888 Activités Activité 1 p et 2 p 9 : Fraction décimale II - NOMBRES DECIMAUX 1 - Fractions décimales Définition : Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1 000 Exemple : 31 numérateur 100 dénominateur Propriété : Une fraction décimale admet plusieurs décompositions. Exemple : 352 100 = 3 + 5 10 + 2 100 ou 352 100 = 3 + 52 100 Remarque : On a 1 = 10 10 = 100 100 ; 1 10 = 10 100 = 100 1000 3ap16 ORAL ; 7p17 ; 12p16 ; fiche1 3ap16 ORAL : plusieurs écritures en fractions décimales 7p17 : fraction décimale 12p17 : décomposition fraction Fiche 1 : décimale - fractionnaire 2 - Nombres décimaux Définition : Un nombre décimal est un nombre qui peut s écrire sous forme de fraction décimale. Un nombre décimal admet aussi une écriture à virgule appelée écriture décimale. Exemple : 1 10 = 0,1 ; 2 100 = 0,02 42 100 =0,42 542 100 =5,42 Vocabulaire : Un nombre décimal est égal à la somme sa partie entière et de sa partie décimale. 31 805,67 = 31 805 + 0,67 Partie entière : nombre entier Partiedécimale :nombreinférieur à 1. 3/7
centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes dix-millièmes cent-millièmes millionièmes dix-millionièmes cent- millionièmes Propriété : La partie décimale d un nombre décimal peut s écrire à l aide d un nombre fini de chiffres. Exemple : 1 0,5 2 Le nombre 1 est donc un nombre décimal. 2 Le résultat de la division de 4 par 3 est 1,333 333 Donc 4 n est pas un nombre décimal. 3 Remarque : Tout nombre décimal peut s écrire sous la forme d une fraction. Par contre toute fraction ne peut pas s écrire sous la forme d un nombre décimal. Propriété : Un nombre entier est aussi un nombre décimal : sa partie décimale est nulle. Exemple : 73 = 73,0 = 73,00 est un nombre entier et un nombre décimal. 3 - Rang d un chiffre et lecture de nombres décimaux Le tableau suivant indique la valeur d un chiffre suivant son rang. On considère le nombre entier1 049 658 763 et le nombre décimal 31 805,067 Partie Entière PartieDécimale Milliards Millions Mille Unités c d u c d u c d u 10 1 v i r g u l e 1 10 1 100 1 0 4 9 6 5 8 7 6 3 3 1 8 0 5, 0 6 7 0 0 0 0 0 0 0 3 Ces nombres se lisent : Pour les nombres entiers on lit simplement le tableau : Un milliard quarante-neuf millions six cent cinquante-huit mille sept cent soixante-trois. Pour les nombres décimaux : on lit séparément la partie entière et la partie décimale : Soit trente et un mille huit cent cinq unités et soixante-sept millièmes ; Soit trente et un mille huit cent cinq et soixante-sept millièmes ; Soit trente et un mille huit cent cinq unités six centièmes sept millièmes ; Soit trente et un million huit cent cinq mille soixante-sept millièmes. (on lit le nombre sans tenir compte de la virgule) 0,000 000 3 se lit 3 dix-millionièmes 4/7
Dans le nombre 1 049 658 763,060 07 1 est le chiffre des unités de milliards 5 est le chiffre des dizaines de mille 7 est le chiffre des centaines 3 est le chiffre des unités 6 est le chiffre des centièmes 7 est le chiffre des cent-millièmes Remarque : A l aide du tableau on peut obtenir facilement une décomposition des nombres entiers et décimaux : 1 040 008 763 = 1 1 000 000 000 + 4 10 000 000 + 8 1 000 + 7 100 + 6 10 + 3 1 800,607 = 8 100 + 6 0,1 + 7 0,001 OU 800,607 = 8 100 + 6 1 10 + 7 1 1 000 3 10 000 000+5 100 000+2 1 000+4 10+1 1+3 1 100 + 7 1 = 30 502 041,030 07 100000 5p16 ; 33p18 ; 30p18 ; 11 et 14p17 ; 15p17 ; 28p18 ; 24p16 ; 23p18. 5p16 : regrouper même nombre avec écritures différentes 33p18 : 10 plus grand 30p18 : nom des chiffres suivant leur place 11 et 14p17 : écriture des nombres en chiffres et des chiffres en lettre 15p17 : écrire en chiffre 28p18 : placer la virgule avec chiffre des centièmes 24p18: décomposition décimales 23p18 : écrire une décomposition DM possible : 93p24et 94p24 ou DM2bis III - COMPARER, RANGER, ENCADRER, INTERCALER 1 - Comparer, ranger Définition : Comparer deux nombres revient à dire lequel est plus grand, lequel est plus petit ou si les deux nombres sont égaux. Pour comparer deux nombres, on utilise les signes suivants : METHODES : > se lit «est supérieur à» < se lit «est inférieur à» = se lit «est égal à» Pour comparer deux nombres en écriture décimale : Si les parties entières sont différentes alors on compare les parties entières. Les deux nombres décimaux sont alors rangés dans le même ordre qu elles. Exemple : 38,5 < 39,2 car 38 < 39 5/7
Si les parties entières sont égales : Méthode 1 : on compare les chiffres des dixièmes, puis les chiffres des centièmes, etc Exemple : 5,41 > 5,406 car ils ont la même partie entière 5, le même chiffre des dixièmes 4, et au chiffre des centièmes on a 1 > 0. Méthode 2 : on «s arrange» pour avoir le même nombre de décimales, puis on compare les parties décimales Exemple : 5,281 < 5,29 car 5,29 = 5,290 et 281 <290. Attention : le nombre décimal qui possède le plus de chiffres n est pas toujours le plus grand : 5,9 > 5,89999. Définition : Quand on range des nombres du plus petit au plus grand, on dit que les nombres sont rangés dans l ordre croissant. Quand on range des nombres du plus grand au plus petit, on dit que les nombres sont rangés dans l ordre décroissant. Exemples : 1) Ranger les nombres suivants dans l ordre croissant : 3,5 ; 3,55 ; 3,552 ; 3,502 ; 3,56 2) Ranger les nombres suivants dans l ordre décroissant : 2,21 ; 2,22 ; 2,216 ; 2,215 ; 2,2 2 - Encadrer, intercaler Définition : Encadrer un nombre revient à trouver un nombre plus petit et un nombre plus grand. Exemples : 31 < 31,2 < 32 31,2 est compris entre 31 et 32. On dit que c est un encadrement à l unitécar 32-31 = 1 et on s arrête aux unités. Donner un encadrement au dixième puis au centième de 131,258 : 131,2 < 131,258 < 131,3 131,3 131,2 = 0,1 et on s arrête aux dixièmes 131,25 < 131,258 < 131,26 131,26 131,25 = 0,01 et on s arrête aux centièmes Attention on ne peut pas faire d encadrement au millième pour 131,258 Définition : Intercaler un nombre entre deux nombres, c est trouver un nombre compris entre ces deux nombres Exemples : Intercaler un nombre entre 3,6 et 3,7 : 3,6 < 3,62 < 3,7 Intercaler un nombre entre 2 et 2,01 : 2 < 2,005 < 2,01 6/7
3 - Abscisse d un point Pour graduer une demi-droite, on choisit : un sens une origine O I une unité de longueur 0 1 2 3 4 5 6 origine unité OI = 1 unité. Définition : Un point d une demi-droite graduée est repéré à l aide d un nombre appelé son abscisse. Les points O et I d abscisses 0 et 1 forment le repèrede la demi-droite. Une droite graduée s appelle un axe. O Exemple : A I C B 0 0,7 1 1,4 2 A pour abscisse 0,7 ; on note A(0,7) ; B a pour abscisse 2, on note B(2). Placer C(1,4). 45p19 ; 47p19. 45p19 : lire l abscisse 47p19 : placer des points 7/7