Le calcul mental à l école élémentaire

Le calcul mental à l école élémentaire animation janvier 2011 Jean-Paul Laurent - maître formateur circonscription Argenteuil Nord

Les Instructions Officielles 2008 «La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l imagination et les capacités d abstraction, la rigueur et la précision.» Mais qu est-ce qui peut développer le goût de la pratique des mathématiques? «La maîtrise des principaux éléments mathématiques aide à agir dans la vie quotidienne et prépare la poursuite d études au collège.» Quand agit-on les mathématiques dans la vie courante? Quels apprentissages leviers pour réussir au collège? «L acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification.» Quel sens donner aux apprentissages?

Au cycle 2 «La connaissance des nombres et le calcul constituent les objectifsprioritaires ducpetduce1.» «Une pratique régulière du calcul mental est indispensable. Des premiers automatismes s installent. L entraînement au calcul mental permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs propriétés.» Qu entend-on par une pratique régulière? Quelles interactions entre numération et calcul? Au cycle 3 «L élève renforce ses compétences en calcul mental. Il acquiert de nouveaux automatismes.» Quels automatismes, quelles connaissances et quelle progressivité pour les apprentissages?

Les programmes et le socle commun CP -Produire et reconnaître les décompositions additives des nombres inférieurs à 20 (tables d addition) -Connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés des nombres pairs inférieurs à 20. - Connaître la table de multiplication par 2. -Calculer mentalement des sommes et des différences. -Calculer en ligne des sommes, des différences, des opérations à trous. -Connaître et utiliser les techniques opératoires de l addition et commencer à utiliser celles de la soustraction (sur les nombres inférieurs à 100). PROGRESSIONS CP & CE1 CE1 -Connaître les doubles et les moitiés de nombres d usage courant. -Mémoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4, 5. -Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des sommes, des différences, des produits. - Calculer en ligne des suites d opérations. -Connaître et utiliser les techniques opératoires de l addition et de la soustraction (sur les nombres inférieurs à 1000). -Connaître une technique opératoire de la multiplication et l utiliser pour effectuer des multiplications par des nombres à un chiffre. -Diviser par 2 et par 5 des nombres inférieurs à 100. - Utiliser les fonctions de base de la calculatrice. PALIER 1 -Calculer des additions, des soustractions et des multiplications. -Diviser par 2 et par 5 dans le cas où le quotient exact est entier. -Restituer et utiliser les tables d addition et de multiplication par 2, 3, 4 et 5. - Calculer mentalement en utilisant des additions, des soustractions et des multiplications simples. - Utiliser les fonctions de base de la calculatrice.

ÉVALUATION NATIONALE CE1 mai 2009 mai 2010 Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des sommes, des différences et des produits. 27 + 8 15 + 14 16-6 42 10 25 x 2 11 x 5 7 + 7 9 + 6 6 + 5 8 x 2 6 x 5 4 x 3 9 x 3 12 + 3 23 + 9 13 + 5 + 4 140 + 30 24 10 45 15 34 9 321 100 Diviser par 2 ou par 5 dans le cas où le quotient exact est entier. 40 : 5 100 : 2 40 : 5 100 : 2 Connaître les techniques opératoires de l addition, et de la soustraction (calcul posé). 127 + 323 364 + 78 362 126 548 + 265 786 145 362 126 Connaître une technique opératoire de la multiplication pour multiplier un entier par un nombre à 1 chiffre. 63 x 3 120 x 5 63 x 3 120 x 5

PROGRESSIONS PROGRAMMES CE2-CM1-CM2 CE2 -Connaître et utiliser des expressions telles que : double, moitié ou demi, triple, quart d un nombre entier. -Connaître et utiliser certaines relations entre des nombres d usage courant : en 5, 10, 25, 50, 100, 30 et 60. -Mémoriser et mobiliser les résultats des tables d addition et de multiplication. -Calculer mentalement des sommes, des différences, des produits. -Effectuer un calcul posé (addition, soustraction et multiplication). -Connaître une technique opératoire de la division et la mettre en œuvre avec un diviseur à un chiffre. -Organiser ses calculs pour trouver un résultat par calcul mental, posé où à l aide de la calculatrice. CM1 -Reconnaître les multiples des nombres d usage courant : 5, 10, 15, 20, 25, 50. -Consolider les connaissances et les capacités en calcul mental sur les nombres entiers. -Multiplier mentalement un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1000. -Estimer mentalement l ordre de grandeur d un résultat. -Effectuer une addition ou une soustraction posée de deux nombres décimaux. -Multiplier un nombre décimal par un nombre entier. -Effectuer la division euclidienne de deux entiers. -Effectuer la division décimale de deux entiers. -Connaître quelques fonctionnalités de la calculatrice utiles pour effectuer une suite de calculs. CM2 -Consolider les connaissances en calcul mental sur les nombres entiers et décimaux. -Diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1000. -Effectuer l opération posée de deux nombres entiers ou décimaux (addition, soustraction et multiplication). -Diviser un nombre décimal par un nombre entier. -Utiliser la calculatrice à bon escient. PALIER 2 -Restituer les tables d addition et de multiplication de 2 à 9. - Utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et décimaux (pour la division, le diviseur est un nombre entier). - Ajouter deux fractions décimales ou deux fractions simples de même dénominateur. - Calculer mentalement en utilisant les quatre opérations. - Estimer l ordre de grandeur d un résultat. -Utiliser une calculatrice.

ÉVALUATION NATIONALE CM2 Janvier 2009 Janvier 2010 Janvier 2011 Calculer mentalement le résultat d une opération, ou d une suite d opérations, ou le terme manquant d une opération. 0,8 = 8 x -- 0,50 = 2 x -- 1,5 x 4 = --- 256 + 24 + ---= 400 8,3 x 5 = --- 246 + 34 + ---= 500 Connaître les résultats des tables de multiplication et les utiliser pour retrouver les facteurs d un produit. --x--= 48 --x--= 81 --x--= 35 En 18 combien de fois 6? En 56 combien de fois 8? En 36 combien de fois 4? En 20 combien de fois 5? En 56 combien de fois 8? En 63 combien de fois 7? 2 x 9 3 x 4 5 x 5 8 x 9 7 x 9 7 x 8 --x --= 63 En 35 combien de fois 7? En 15 combien de fois 5? 3 x 8 9 x 9 --x --= 56 En 49 combien de fois 7? En 28 combien de fois 4? 7 x 5 6 x 7 Poser et effectuer une addition, une soustraction ou une multiplication sur des nombres entiers ou décimaux. 120 + 12,78 45,69 7,08 15 x 34 39,4 x 6 154,8 + 36,57 138,85 49,2 39 x 57 24,3 x 6 208 + 13,75 56,73 7,02 14 x 35 46,3 x 9 Poser et effectuer une division d un nombre entier ou décimal par un nombre entier. 846 : 6 34,6 : 5 544 : 17 276 : 8 738 : 6 238 : 4 Estimer mentalement l ordre de grandeur d un résultat. 15,2 x 21 Nombre le plus proche? 30 300 3000

Programme calcul 6ème Connaissances Capacités Commentaires *Valeur approchée décimale Quatre opérations Multiples diviseurs Sens des opérations Techniques élémentaires de calcul *Donner une valeur approchée décimale (par excès ou par défaut) d un décimal à l unité, au dixième, au centième près. -Connaître les tables d addition et de multiplication et les résultats qui en dérivent. -Multiplier un nombre par 10, 100, 1000. -*Multiplier un nombre par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 -Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 2, 5, 10. -Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 3, 4, 9. -Choisir les opérations qui conviennent au traitement de la situation étudiée. -Savoir effectuer les opérations sous les diverses formes de calcul : mental, à la main ou instrumenté. -Connaître la signification du vocabulaire associé : somme, différence, produit, terme, facteur, dividende, diviseur, quotient, reste. La maîtrise des tables est consolidée par une pratique régulière du calcul mental sur des entiers et des décimaux simples. La division décimale est limitée à la division d un décimal par un entier. En calcul posé, le dividende comporte au maximum deux chiffres après la virgule. La notion de multiple, introduite à l école primaire, est rappelée sur des exemples numériques, en même temps qu est introduite celle de diviseur. Les différentes significations de ce dernier terme doivent être explicitées. Pour les problèmes à étapes, la solution peut être donnée à l aide d une suite de calculs, *ou à l aide de calculs entre parenthèses. La capacité à calculer mentalement est une priorité et fait l objet d activités régulières. La maîtrise des différents moyens de calcul doit devenir suffisante pour ne pas faire obstacle à la résolution de problèmes. Concernant le calcul posé, les nombres doivent rester de taille raisonnable et aucune virtuosité technique n est recherchée. Ordre de grandeur -Établirun ordre de grandeur d une somme, d un produit, *d une différence. L objectif est de sensibiliser les élèves à utiliser les ordres de grandeur pour contrôler ou anticiper un résultat. Les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italiques. Si la phrase en italiques est précédée d un astérisque l item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Dire que l exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée.

un objet d enseignement à partager, des savoirs à enseigner pour le maître, des compétences à s approprier pour l élève UNE SITUATION PROBLÈME TRIPARTITE À CALCULER POUR AGIR

Une dimension sociale et des fonctions pédagogiques Un système de numération et un langage symbolique Des formes multiples de traitement Des relations arithmétiques et des équivalences Des opérateurs et des algorithmes écrits Des propriétés (commutativité, associativité, distributivité) Des coûts cognitifs, mnésiques et énergétiques CALCUL SAVOIRS MAÎTRE calcul automatisé réfléchi posé instrumenté approché Enseigner ÉLÈVE Un profil d enseignant mais aussi d apprenant Des connaissances didactiques de la discipline Une conception et une pratique de la pédagogie Une polyvalence à assurer Une gestion de l hétérogénéité à assumer Un profil cognitif et affectif propre Un rapport à l école et au savoir Un sens de l effort et un degré de fatigabilité Des connaissances et des capacités personnelles Des mémoires : travail (MDT) et long terme (ML) Comment contextualiser et motiver les apprentissages? Comment prendre en compte l hétérogénéité et différencier? Quelles modalités d évolution des procédures premières? Quelles aides à la mémorisation et à l automatisation? Quelles situations d apprentissage et quelle progressivité? Comment opérationnaliser les connaissances acquises?

LES DIFFÉRENTS TYPES DE CALCUL

57 x 39 calcul automatisé (peu probable ici!) calcul posé 5 7 x 3 9 5 1 3 1 7 1 0 2 2 2 3 calcul approché Si r est le résultat attendu r 60 x 40 = 2400 ou encore 50 x 40 < r < 60 x 40 ou plus précisément r 55 x 40 = 2200 calcul instrumenté calcul réfléchi (57 x 40) 60 + 3

LE CALCUL POSÉ Le calcul posé est un type de calcul agi. Il relève surtout de la technique et présente peu de difficulté d apprentissage d où une certaine prédilection pour son utilisation*. Cette forme de calcul s appuie sur : la connaissance du système décimal ; la manipulation des chiffres ; la maîtrise des algorithmes écrits ; le calcul automatisé (ou les pratiques de comptage) ; la gestion des retenues ; l organisation spatiale du traitement. * À noter que le calcul posé ne peut pas être systématiquement privilégié voire imposé dans les situations de résolution de problèmes si on veut donner tout son sens à l apprentissage du calcul réfléchi et garantir dans le même temps le transfert des compétences acquises.

LE CALCUL INSTRUMENTÉ Des doigts à la calculette en passant par le boulier et le compteur numérique, le calcul instrumenté prend des formes variées. Un même outil de calcul peut exercer différentes fonctions. Instruments électroniques Alléger la charge de travail en résolution de problème. Effectuer un calcul non maîtrisé. Vérifier l exactitude d un résultat. Mesurer la proximité d un calcul approché. Construire des théories mathématiques. Résoudre des problèmes liés à l affichage des nombres. Instruments mécaniques Transformer des écritures numériques. Automatiser des procédures de traitement. Pratiquer le calcul réfléchi. Mémoriser et exercer les répertoires.

LE CALCUL RÉFLÉCHI Le calcul réfléchi exact ou approché est un calcul raisonné. Il vise la diminution des coûts de traitement et la réduction des marges d erreurs en transformant des calculs complexes en calculs simples. Il n exclut pas un traitement papier/crayon. Ce type de calcul s appuie sur : la connaissance du système décimal ; les relations arithmétiques entre les nombres ; les propriétés des opérations ; le calcul automatisé ; la gestion de traces écrites ; la créativité et le raisonnement ; les capacités mnésiques (MDT et MLT) ; l initiative et la prise de risque.

LE CALCUL AUTOMATISÉ Le calcul automatisé est un calcul à prédominance mnésique. Ce type de calcul s appuie essentiellement sur le stockage en mémoire de résultats et sur leur restitution immédiate ou quasi instantanée après rapide reconstruction. Il permet la réduction maximale des coûts de traitement. Contrairement à la restitution, la mise en mémoire n est pas de nature automatique. Celle-ci est en effet largement tributaire des aspects suivants: l appropriation du sens opératoire des opérations ; la compréhension de l intérêt du stockage ; la perception des enjeux et des perspectives d utilisation ; la prise de conscience qu un résultat en génère d autres ; la capacité à réinvestir ses connaissances ; la périodicité de l entraînement au calcul ; la qualité des outils et des techniques d aide à la fixation.

Utilisation des différents types de calcul

Petit problème à résoudre La fée Clochette est satisfaite de sa vente à la foire du pays imaginaire. Elle a en effet réussi à liquider les 18 enfants perdus que Peter Pan lui a cédés et qu elle a vendus à un prix de 128 euros pièce. Clochette aura-t-elle assez d argent pour s offrir la robe de bal de Cendrillon que Blanche Neige lui propose à 2652 euros et évincer enfin cette satanée Wendy qui n est même pas une fille du pays? Quelle forme de calcul activer pour répondre à la question posée? La stratégie la plus économique pour traiter cette situation est d effectuer un calcul approché. 18 c est presque 20 et 128 c est presque 130. 130 x 20 = 2600 ET NON WENDY NE POURRA PAS ENCORE ÊTRE EXPULSÉE CETTE FOIS CI!!!

Du coup, la fée Clochette décide de vendre de nouveaux enfants perdus pour pouvoir se payer la robe tant convoitée et parvenir à ses fins. Malheureusement, suite à la chute du cours des enfants perdus, ces derniers ne se vendent plus qu à 75 euros l unité. Alors, Clochette se contente de n en brader que 28 dans l immédiat. Combien cette vente va-t-elle lui rapporter? Quelle forme de calcul activer? calcul posé? 2 8 x 7 5 calcul instrumenté? 1 4 0 1 9 6 0 2 1 0 0 calcul réfléchi? 28 fois = 30 fois 2 fois 75 x 30 75 x 2 2250 150 2100 TOUT DÉPEND DES COMPÉTENCES DE CHACUN ET DES OBJECTIFS FIXÉS!

DES COMPÉTENCES LEVIERS POUR CALCULER

Répertoire additif représentation mentale des unités ajout et retrait de 1, 2 et 5 tables d addition (sommes et termes) ajout d unités à n compris entre 10 et 20 retrait d unités à n compris entre 10 et 18 ajout et retrait d unités à un n quelconque compléments à 5 et à un multiple ajout et retrait de multiples de 5 entre eux ajout et retrait de multiples de 5 à n compléments à 10 et à ses multiples ajout et retrait de puissances de 10 entre elles ajout et retrait de multiples de 10 entre eux ajout et retrait de 10 et de ses multiples à n ajout et retrait à une puissance et à un multiple de 10 complément d un décimal à l entier supérieur compléments à 10 n Répertoire multiplicatif tables de multiplication (produits et facteurs) carrés des nombres unités doubles et moitiés des puissances et multiples de 10 doubles et moitiés des multiples de 5 multiplication de multiples de 5 par un nombre unité doubles et moitiés des entiers jusqu à 100 moitiés des nombres impairs jusqu à 9 produits et quotients avec les puissances de 10 opérateurs multiples et puissances de 10 entre eux

MOTIVER LE CALCUL Pour certains, le goût de la recherche et le plaisir de la gymnastique cérébrale suffisent à leur mobilisation dans les activités de calcul. Pour d autres, la perception d un enjeu et de perspectives d action est nécessaire à leur engagement. Les pratiques ci-dessous contribuent fortement à donner du sens aux apprentissages pour mobiliser chacun. Les pratiques sociales de référence activités marchandes activités de fabrication, construction, etc. jeux de société sorties et voyages Les pratiques scolaires vie et projets de la classe, de l école pratique sportive (athlétisme) activités scientifiques et technologiques jeux de simulation, jeux de rôles défis et rallyes de calcul jeux de société et utilisation des TUIC Instrumentation et dimension sensorielle de la manipulation

Des procédures variées pour un même calcul réfléchi La mise en commun des procédures personnelles lors des activités de calcul réfléchi permet à chacun de réaliser qu il existe différents chemins pour arriver à un même résultat. Cette prise de conscience, parce qu elle est sécurisante, encourage la prise de risque et stimule la recherche. Les échanges visent l explicitation des modes de raisonnement, le développement des connaissances numériques et des opérations arithmétiques. La confrontation des procédures appuyées sur des écrits alimente la réflexion collective quant aux différents coûts de traitement engagés par les protagonistes de ces procédures (nombre d étapes de traitement, quantité d écrit et degré de complexité de la démarche). Chaque apprenant, en fonction de ce qu il est, peut alors chercher à s approprier la procédure d un pair qui lui semble la plus directement accessible dans l instant.

CALCUL MULTIPLICATIF RÉFLÉCHI 75 x 28 (70 x 20) + (5 x 20) + (70 x 8) + (5 x 8) (75 x 20) + (75 x 8) (28 x 70) + (28 x 5) (75 x 30) (75 x 2) 28 x 3/4 x 100* 7 x 4 x 75 L activation d une procédure réfléchie dépend: des connaissances sur les nombres; ducontextenumériqueducalcul*; delamaîtrisedesrépertoiresdebase; des compétences méthodologiques; delaconfianceensoi. * Par exemple, transformer 75 en 3/4 x 100, comme il est proposé ici, ne serait pas le plus judicieux pour calculer 27 x 75.

Le calcul automatisé Fréquence des activités de calcul mental Pour prétendre à quelque efficacité, le calcul automatisé doit faire l objet d une séance quotidienne rythmée sur une durée d environ 10 minutes. La mise en place d épreuves régulières (matchs) a un effet dynamisant. Le relevé des résultats permet à chacun de mesurer ses progrès et de réfléchir aussi, le cas échéant, à ses difficultés. Le calcul réfléchi Une séance hebdomadaire de 20 à 30 minutes semble une bonne fréquence pour permettre de s approprier et d exercer les procédures mutualisées ou d en découvrir de nouvelles.

ÉVOLUTION DES PROCEDURES PREMIÈRES Les procédures premières sont particulièrement résistantes. Par nature, il est en effet sécurisant de se raccrocher à ce qu on sait faire. Aussi est-il difficile et déstabilisant de devoir faire le deuil de ce qui jusque là a fonctionné pour soi. À l école, le climat de la classe et le statut donné à l erreur sont déterminants dans l acceptation de la prise de risque qu entraîne toute dynamique de progression. La prise de conscience des limites d une procédure première et l émergence du besoin de la faire évoluer voire d en changer peuvent se réaliser en jouant sur différentes variables didactiques, notamment: le paramètre temps* ; le domaine numérique manipulé ; l enjeu donné à l activité et la perspective d action. * Le simple recours à un chronomètre ou à un sablier peut donner une toute autre dynamique à une séance de calcul automatisé.

DES REPRÉSENTATIONS POSSIBLES POUR ILLUSTRER & FIXER LES PROCÉDURES DE BASE

Visualisation directe du 10 10 5 15

Recherche du complément à 10 9 + 6 9 + 1 + 5 10 + 5 15

Décomposition des termes 5 + n 9 + 6 5 + 4 + 5 + 1 5 + 5 + 4 + 1 10 + 5 15

Passage par 10 avec retrait 9 + 6 10-1 + 6 10 + 6-1 16-1 15

ARBRE DE CALCUL RETOUR AU 5 7 + 6 5 + 2 5 + 1 5+ 5 2+ 1 10 3 13

ANIMATION CALCUL MENTAL À L ÉCOLE ÉLÉMENTAIRE Jean-Paul Laurent, Argenteuil janvier 2011

DES OUTILS POUR LE MAÎTRE Documents d accompagnement des programmes 2002 Mathématiques 2002 CNDP 2005 Documents d application des programmes 2002 Mathématiques Cycle 2 CNDP 2002 Documents d application des programmes 2002 Mathématiques Cycle 3 CNDP 2002 Le nombre au cycle 2, Programmes 2008, CNDP 2010