Correction du Bac blanc de mathématiques Série ST2S Exercice 1 (8 points) On donne le nombre d accouchements gémellaires en France de l année 2000 à l année 2009 dans la feuille de calcul reproduite ci-dessous. Un accouchement gémellaire est un accouchement conduisant à la naissance de jumeaux. A B C D E F G H I J K 1 Année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2 Rang de l année : x i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 Nombre d accouchements gémellaires : y i 11 483 11 479 11 431 11 754 12 058 12 508 12 737 12 578 12 349 12 837 4 Évolution annuelle (arrondi 0,03% 0,42% 2,75% 3,60% 1,80% 1,26% 1,85% 3,80% à 0,01 %) Source : INED 1. a) Quelle formule peut-on saisir en C4 et étirer vers la droite pour obtenir toutes les valeurs de la plage C4:K4? On peut entrer la formule =(C3-B3)/B3. b) Quelle valeur devrait être affichée en F4? On justifiera le calcul. 12 058 11 754 0,0259. 11 754 Au format pourcentage arrondi à 0,01%, on affiche donc 2,59%. Le nombre d accouchements gémellaires a augmenté d environ 2,59 % de 2003 à 2004. 2. Représenter dans la feuille de papier millimétré fournie le nuage de points M i (x i ; y i ), dans un repère orthogonal. On prendra pour unités graphiques : 1 cm pour une unité sur l axe des abscisses 1 cm pour 100 accouchements gémellaires sur l axe des ordonnées, en commençant à 11 000 sur cet axe. 3. Déterminer les coordonnées (x G ; y G ) du point moyen G de ce nuage (on arrondira l ordonnée à l unité la plus proche). Placer le point G sur le graphique précédent. x G = x = 0 1 2 9 = 4,5. 10 11 483 11 479 11 431 12 837 y G = ȳ = 12 121. 10 Donc G(4,5; 12 121). 4. On décide de faire un ajustement affine de ce nuage par la droite (D) d équation : y = 166x 11 364 a) Représenter cette droite sur le graphique précédent. On indiquera les points de construction utilisés. On détermine deux points de (D) en choisissant des valeurs de x, de préférence éloignées pour que le tracé soit précis.
x 0 10 y 11 364 13 024 b) Le point G appartient-il à cette droite? On a vu que G(4,5; 12 121). 166 4,5 11 364 = 12 111 12 121. Donc les coordonnées de G ne vérifient pas l équation de (D). G / (D). 5. On suppose que l ajustement précédent reste valable jusqu en 2040. a) Estimer, à l aide du graphique, le nombre d accouchements gémellaires durant l année 2012. Le résultat sera donné avec la précision permise par le graphique. On laissera en évidence les traits de lecture. 2012 correspond à x = 12. On lit l ordonnée du point de la droite (D) qui a pour abscisse 12. y 13 350. Selon ce modèle, le nombre d accouchements gémellaires en 2012 est estimé à 13 350 environ. b) Par le calcul, déterminer l année à partir de laquelle le nombre d accouchements gémellaires dépassera 16 000. On résout l inéquation 166x 11 364 > 16 000. On a 166x > 16 000 11 364, soit 166x > 4 636. Donc x > 4 636 166 27,9. Le plus petit entier qui convient est x = 28. Suivant ce modèle, le nombre d accouchement géméllaires devrait dépasser les 16 000 à partir de 2028.
y 13400 13300 13200 13100 13000 12900 12800 12700 12600 12500 12400 12300 D 12200 12100 12000 G 11900 11800 11700 11600 11500 11400 11300 11200 11100 11000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x
Exercice 2 Pour effectuer une scintigraphie médicale, on injecte à un patient une dose de 200 mg d iode 123. Toutes les vingt minutes, 6 % d iode disparaît. On note u n, la quantité (exprimée en mg) d iode persistant dans le corps du patient au bout de n 20 minutes. Ainsi, u 0 = 200 et u 3 correspond à la quantité d iode encore présent au bout d une heure. 1. Calculer u 1, puis u 2, on arrondira éventuellement les résultats au mg. u 1 = u 0 6 100 u 0 = 200 0,06 200 = 188. u 2 = u 1 0,06 u 1 = 188 0,06 188 177. 2. a) Exprimer u n1 en fonction de u n. Pour tout entier n 0, u n1 = u n 0,06 u n = (1 0,06)u n = 0,94u n. Pour tout entier n 0, u n1 = 0,94u n. b) Préciser la nature de la suite u. On passe d un terme au suivant en multipliant par 0,94. Donc la suite (u n ) est géométrique de raison 0,94. Son premier terme est u 0 = 200. Donc (u n ) est la suite géométrique de raison 0,94 et de premier terme u 0 = 200. c) Justifier que pour tout entier naturel n, on a u n = 200 0,94 n. Pour tout n 0, u n = u 0 q n = 200 0,94 n. 3. Déterminer la quantité d iode restant au bout de 3 heures. On arrondira le résultat au mg. Dans une heure, il y a 60 minutes, soit 3 fois 20 minutes. 3 heures font 9 fois 20 minutes, on calcule donc u 9. u 9 = 200 0,94 9 115. Au bout de 3 heures, il reste environ 115 mg d iode 123 dans le corps du patient. 4. On estime que l iode 123 a disparu à partir du moment où il reste moins de 5 % de la quantité injectée. Au bout de combien de temps cela se produit-il? La réponse sera exprimée en heures et minutes. 200 5 100 = 10. On cherche la durée à partir de laquelle u n < 10. Or, on a u 48 = 200 0,94 48 10,26 > 10. Et u 49 = 200 0,94 49 9,64 < 10. La quantité d iode devient inférieure à 5 % de la quantité injectée au bout de 49 fois 20 minutes. 49 = 48 1 = 16 3 1. Donc la durée est de 16 heures et 20 minutes. La quantité d iode devient inférieure à 5 % de la quantité injectée au bout de 16 heures et 20 minutes.
Exercice 3 Pendant une épidémie observée sur une période de 36 jours, un institut de veille sanitaire a modélisé le nombre de personnes malades. La durée, écoulée à partir du début de la période et exprimée en jours, est notée t. Le nombre de cas en fonction de la durée t est donné en centaines, par la fonction f définie sur l intervalle [0 ; 36]. La représentation graphique de f est donnée en annexe. Partie A : Lecture graphique Le document annexe, sur lequel le candidat fera figurer des traits de construction est à remettre avec la copie. 1. a) Quel est le nombre de malades au début du jour 6? On lit f(6) = 1 800. Le nombre de malades est exprimé en centaines. Au début du jour 6, il y a 180 000 malades. b) Quel est le nombre maximum de malades sur la période étudiée? Quel jour cela se produit-il? Il y a environ 230 000 malades au maximum, ce maximum est atteint au jour 12. c) Pendant combien de jours entiers le nombre de malades est-il resté supérieur à 110 000? On lit f(x) 1 100 pour x [3; 24,4] (en lisant des valeurs approchées). Le nombre de malades a été supérieur à 110 000 durant environ 21 jours. Partie B : Étude de fonction Dans cette partie, on admet que la fonction f est définie sur [0 ; 36] par : f(t) = 1 3 t3 24t 2 432t 1. Retrouver par le calcul les résultats de la questions 1.a). f(6) = 1 3 63 24 6 2 432 6 = 1 800. On retrouve bien un nombre de 1 800 malades au jour 6. 2. a) Déterminer l expression de la dérivée de f. f (t) = 1 3 3t2 24 2t 432 1 = t 2 48t 432. b) Vérifier que f (t) = (t 12)(t 36). En développant, (t 12)(t 36) = t 2 36t 12t 12 36 = t 2 48t 432 = f (t). Donc f (t) = (t 12)(t 36). c) Déterminer le tableau de signe de f sur [0 ; 36]. t 12 = 0 si et seulement si t = 12. t 36 = 0 si et seulement si t = 36. t 0 12 36 t 12 0 t 36 0 f (t) = (t 12)(t 36) 0 0
d) En déduire les variations de f sur [0 ; 36]. En déduire le nombre maximal de malades. f(0) = 1 3 03 24 0 2 432 0 = 0. De même ou bien à l aide de la calculatrice, on obtient f(12) = 2 304 et f(36) = 0. t 0 12 36 f (t) = (t 12)(t 36) 0 0 2 304 f(t) 0 0 Le nombre maximal de malades est de 230 400. Il est obtenu le jour 12. Nombre de malades (centaines) 2800 2600 2400 2200 2000 1800 1600 1400 1200 1000 C 800 600 400 200 0 0 5 10 15 20 25 30 35 Temps (jours)