hapitre 11 Statistique Le rôle de la statistique descriptive est de présenter une masse de donnée sous forme lisible. Puis, si possible, de la résumé par quelques nombres caractéristiques (moenne, médiane, ) I Vocabulaire 1 Population Une population est un ensemble de personnes ou d objets, appelés individus, sur lesquels porte l étude statistique. Eemple : les habitants d un pas, les automobiles fabriquées en 2010. 2 aractère Le caractère d une série statistique est la propriété étudiée sur chaque individu. Eemple : on peut étudier le caractère «taille» ou «sport pratiqué» des élèves d un lcée. Différents tpes de caractère Dans ce chapitre, on étudie deu tpes de série : des séries à caractère qualitatif quand le caractère observé ne prend pas de valeurs numériques par eemple des couleurs de eu, des animau, moen de transport. des séries à caractère quantitatif quand le caractère observé ne prend que des valeurs numériques par eemple l âge ou la taille d une personne, le temps d écoute de la télévision, le pri d un article, le nombre de frères et sœurs.. - une série est à caractère quantitatif discret si les valeurs du caractère sont prises isolément, on peut mesurer le caractère en associant un nombre à chaque individu eemple nombre d enfants par famille, pointure,. - une série est à caractère quantitatif continu si les valeurs du caractère sont prises dans un intervalle eemple tailles d une personne, salaires II Représentation d une série statistique 1 Série statistique à caractère qualitatif Une série est à caractère qualitatif quand le caractère observé ne prend pas de valeurs numériques par eemple le moen de transport pour aller au lcée. Eemple Le tableau ci-dessous représente les moens de transport utilisés pour venir au lcée par les 2 élèves d une classe de 2 nde. Moens de transport bus vélo voiture à pied Total Effectifs 12 9 8 2 ngles (en degrés) 15,75 101,25 90 60 Fréquences 0,75 0,09 0,281 0,25 1 La fréquence f d une valeur d un caractère est la proportion d individus aant cette valeur de caractère. n f où n est l effectif de la valeur du caractère et N est l effectif total. N Remarque : la somme des fréquences d une série statistique est égale à 1 Pour représenter une série statistique à caractère qualitatif, on utilise : - soit un diagramme en barres, - soit un diagramme circulaire dans ce cas la mesure de l angle correspondant à la valeur d un caractère est proportionnelle à l effectif (et à la fréquence) de la valeur du caractère.
Effectif Le mode d une série statistique est la valeur du caractère aant le plus grand effectif. La représentation en barres met en évidence le mode d une série statistique. Dans l eemple, le mode est le bus. Utilisation de la calculatrice En utilisant les listes de la calculatrice, on peut calculer les fréquences et les angles. Entrer les données ppuer sur stats ou stat puis avec les flèches de navigation sélectionner EDIT puis entrer ou enter Pour effacer les données eistantes, se positionner en surbrillance sur L1 en utilisant les flèches de navigation :; puis appuer sur annul entrer ou clear enter Entrer les données dans la liste L1 alculer la mesure des angles et les fréquences Pour calculer la mesure des angles, se placer en surbrillance sur L2 et entrer la formule L1 60 2 en appuant sur `1*60/2e Pour calculer les fréquences, se placer en surbrillance sur L et entrer la formule L1 2 2 Série statistique à caractère quantitatif discret Une série est à caractère quantitatif discret si les valeurs sont prises isolément. Eemple la pointure d un groupe d élèves Pointure des élèves d'une classe 6 7 8 9 0 1 2 5 6 Total Effectifs 2 7 5 8 7 9 6 5 1 56 Fréquences 0,06 0,05 0,125 0,089 0,1 0,125 0,161 0,107 0,089 0,05 0,018 1 Pour représenter une série statistique à caractère quantitatif discret, on utilise un diagramme en bâtons.
10 effectifs 9 8 7 6 5 2 1 0 5 6 pointures 7 8 9 0 1 2 5 6 7 8 Série statistique à caractère quantitatif continu Une série est à caractère quantitatif continu si les valeurs sont prises dans un intervalle par eemple le pri d un livre. Le responsable d une bibliothèque a acheté 250 livres. Il établit une répartition de ces livres selon le pri. Pri en euros [5; 10[ [10 ; 15[ [15 ; 20[ [20 ; 25[ [25 ; 0] ire ase Hauteur Effectifs 0 85 62 9 2 Hauteur du rectangle 0 5 8 85 5 17 62 5 12, 9 5 7,8 2 5,8 Hauteur ire ase Une série à caractère quantitatif continu peut être représentée par un histogramme. Les valeurs sont alors regroupées par classes. La longueur de ces classes est appelée amplitude. Les aires des rectangles de l'histogramme sont proportionnelles au effectifs de chacune des classes. La classe de plus grand effectif est appelée la classe modale. Dans l eemple, la classe modale est l intervalle [10 ; 15[ Remarque : 1 carreau représente un effectif de 1. 85 62 0 9 2 Pri en euros 0 1 2 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1 15 16 17 18 19 20 21 22 2 2 25 26 27 28 29 0 1 2 1
as particulier : les classes n ont pas la même amplitude Eemple :les notes des élèves à un contrôle de communication Notes [0; 6[ [6 ; 10[ [10 ; 16[ [16 ; 20] Effectifs 8 15 Hauteur du rectangle 6 0,5 8 2 15 6 2,5 1 Remarque : 1 carreau représente un effectif de 1. 0 1 15 8 notes 2 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1 15 16 17 18 19 20 21 22 1 III Paramètres de position 1 La moenne La moenne d une série statistique est le rapport somme des valeurs effectif total as 1 : série statistique à caractère discret La moenne de cette série statistique est le réel noté tel que : Valeurs 1 2. p... n n n 1 1 2 2 p p n n... n 1 2 p Effectifs n 1 n 2 n p as 2 : série statistique à caractère continu regroupé par classe La moenne de cette série statistique est le réel noté tel que : n c n c... n c n n... n 1 1 2 2 p p 1 2 p où les c i représentent les centres des classes. Valeurs Effectifs [ 1 ; 2 [ [ 2 ; [. [ p ; p + 1 [ n 1 n 2 n p On considère que dans chaque classe les effectifs se répartissent équitablement autour du centre Eemple 1 Série statistique à caractère discret Pointure des élèves Pointure des élèves d'une classe 6 7 8 9 0 1 2 5 6 Total Effectifs 2 7 5 8 7 9 6 5 1 56 2 6 7 7 8 5 9 8 1 9 2 6 5 5 1 6 2 7 5 8 7 9 6 5 1 2 288 56 1 (0,857.) La moenne des pointures est 1.
alculer la moenne à l'aide de la calculatrice Saisir les données dans des listes en appuant sur stats ou stat puis choisir EDIT avec les flèches de navigation comme précédemment puis valider. Dans la liste L1, on entre les valeurs de la série. Dans la liste L2, on entre les effectifs correspondants. Pour faire calculer la moenne à la calculatrice appuer sur stats ou stat Puis avec les flèches de navigation, se placer sur L. hoisir Stat 1 - var puis valider entrer. Ecrire L1, L2 puis valider en appuant sur entrer ou enter et écran apparaît. La moenne L'effectif total Eemple 2 Série statistique à caractère continu Pri des livres Pri en euros [5; 10[ [10 ; 15[ [15 ; 20[ [20 ; 25[ [25 ; 0] Effectifs 0 85 62 9 2 entres de classes 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 5 10 10 15 c1 7, 5 c2 12, 5. 2 2 0 7, 5 85 12, 5 62 17, 5 9 22, 5 2 27, 5 0 85 62 9 2 985 250 15, 9 La moenne des pri est de 15,9 euros. Théorème La moenne de cette série statistique est le réel noté tel que : f f... f 1 1 2 2 p p Valeurs Fréquence 1 2. p f 1 f 2 f p Démonstration Notons n 1,,n p les effectifs respectivement associés au valeurs 1,.., p du caractère. La moenne de cette série est : n1 1 n2 2... np p D où insi n n... n 1 2 p n n... n N 1 1 2 2 p p n n... N N N f f... f 1 1 2 2 n p p lors 1 1 2 2 p p où N représente l effectif total
Eemple alculer la moenne à partir des fréquences Un entraîneur d athlétisme, lors de tests d aptitude au saut en hauteur, a relevé les résultats suivants sur un groupe de jeunes sportifs de catégorie cadet. Hauteurs franchie en cm 10 15 10 15 150 155 160 165 Fréquences 0,06 0,10 0,15 0,21 0,22 0,12 0,06 0,08 ela signifie que 21% des sportifs ont sauté à 15 cm et 6% ont sauté à 160 cm. 10 0,06 + 15 0,10 + 10 0,15 + 15 0,21 + 150 0,22 + 155 0,12 + + 160 0,06 + 165 0,08 17, 15 La hauteur moenne franchie est de 17,15 cm 2 La médiane Les valeurs d une série statistique étant rangées par ordre croissant, la médiane est un nombre noté Me, tel que : au moins la moitié des valeurs de la série est inférieures ou égales à Me ; au moins la moitié des valeurs de la série est supérieures ou égales à Me. ilan Plus petite Plus grande Valeur Médiane Me valeur u moins 50% des valeurs u moins 50% des valeurs En pratique Si l'effectif total N est impair alors la médiane est la valeur de la N + 1 2 ème donnée. Si l'effectif total N est pair alors la médiane est un nombre compris entre la N ème et la N ème 2 2 + 1 donnée. Remarque : Si l effectif total est impair alors la médiane est la valeur centrale de la série. Si l effectif total est pair alors on prend souvent pour médiane la demi-somme des deu valeurs centrales. Eemple 1 Le nombre total de valeur est impair 1 ; 16 ; 5 ; ; 5 ; 7 ; 12 ; 17 ; 59 Je range les valeurs par ordre croissant 5 5 7 12 valeurs Me 1 16 17 59 valeurs L effectif total de la série est 9. 9/2,5 ou (9 + 1) /2 5 donc la médiane est la 5 e valeur de la série. La médiane Me 12. Il a 5 valeurs inférieures ou égales à la médiane et 5 valeurs supérieures ou égales à la médiane Eemple 2 Le nombre total de valeur est pair : 15 ; 1 ; 7 ; 19 ; 6 ; 1 Je range les valeurs par ordre croissant 6 7 1 valeurs 1 15 19 Me valeurs L effectif total de la série est 6. 6/2 donc la médiane est un nombre compris entre la e et la e valeur de la série, souvent on prend leur valeur moenne (1 + 1) / 2 1,5. La médiane Me 1,5. Il a valeurs inférieures ou égales à la médiane et valeurs supérieures ou égales à la médiane
Une idée fausse sur la moenne : Il ne faut pas confondre moenne et médiane On a souvent tendance à croire qu'être au dessus de la moenne signifie être dans la première moitié de la classe : Voici un contre eemple : Notes 5 11 12 15 Effectifs 7 2 9 5-5-5-5-5-5-5-11-11-12-12-12-12.. Me La moenne de cette classe est de 7 5 2 11 9 12 15 210 10. 7 2 9 21 Effectif total 21 21/2 10,5 La médiane est la 11 e valeur. Ici Me 12. Pierre a 11 de moenne, il a une moenne supérieure à celle de la classe et pourtant, il n'est pas dans la première moitié de la classe (il est 1 ème sur 21). Pierre n est pas dans la 1 ière moitié de la classe. Eemple Utilisation des effectifs cumulés croissants Pour déterminer la médiane, on peut aussi calculer les effectifs cumulés croissants. On reprend l eemple des pointures Pointure des élèves d'une classe Effectifs Effectifs cumulés croissants 6 7 8 9 0 1 2 5 6 Total 2 7 5 8 7 9 6 5 1 56 2 5 12 17 25 2 1 7 52 55 56 Dans la ligne des effectifs cumulés croissants la valeur 17 signifie que 17 élèves ont une pointure inférieure ou égale à 9. 56 28 2 La médiane est comprise entre la 28 e et la 29 e valeur. Ici Me 1.
III Paramètres de dispersion 1 Les quartiles d une série statistique Les valeurs d une série statistique d effectif total N étant rangées par ordre croissant : le premier quartile, noté Q 1, est la plus petite valeur de la série telle qu au moins un quart des valeurs de la série sont inférieures ou égales à Q 1. Si N est un entier alors Q 1 est la ième N valeur. Si N n est pas un entier alors Q 1 est la valeur de rang l entier immédiatement supérieur à N. le troisième quartile, noté Q, est la plus petite valeur de la série telle qu au moins les trois quarts des valeurs de la série sont inférieures ou égales à Q. Si N est un entier alors Q est la N ième valeur. Si N n est pas un entier alors Q est la valeur de rang l entier immédiatement supérieur à N. ilan u moins 25 des valeurs % u moins 25 u moins 50% des valeurs des valeurs % Q 1 Q Plus petite Plus grande Valeur Médiane Me valeur u moins 50% des valeurs u moins 50% des valeurs Eemple 1 Déterminer les quartiles de cette série statistique 1 ; 16 ; 5 ; ; 5 ; 7 ; 12 ; 17 ; 59 Je range les valeurs par ordre croissant L effectif total est 9 6 valeurs 5 5 7 12 1 16 17 59 valeurs Q 1 Q 9 2,25 Le 1 er quartile est la e valeur Q 1 5 9 6,75 Le ième quartile est la 7 e valeur Q 16 Eemple 2 Déterminer les quartiles de la série statistique des pointures Pointure des élèves d'une classe 6 7 8 9 0 1 2 5 6 Total Effectifs 2 7 5 8 7 9 6 5 1 56 Effectifs cumulés croissants 2 5 12 17 25 2 1 7 52 55 56 56 1 Le 1 er quartile est la 1 e valeur Q 1 9 56 2 Le ième quartile est la 2 e valeur Q
2 Etendue et écart interquartile L étendue d une série statistique est la différence entre les valeurs etrêmes. L intervalle interquartile est l intervalle [Q 1 ; Q ] dans lequel se trouvent au moins 50% des valeurs de la série. L écart interquartile est la différence entre le e quartile et le 1 er quartile. Ecart interquartile Q Q 1 Remarque La position des valeurs d une série statistique est indiquée par la médiane. La dispersion des valeurs est indiquée par l écart interquartile Eemple Dans l eemple des pointures des élèves, 6 6 10 L étendue est de 10. l intervalle interquartile est [9 ;] ce qui signifie qu au moins 50% des élèves ont une pointure comprise entre 9 et. - 9 L écart interquartile est de. Diagramme en boîte Le diagramme en boîte résume la répartition des valeurs d une série statistique par les quartiles et la médiane. Il permet de visualiser la dispersion des valeurs. On fait apparaître la médiane, le 1 er quartile, le e quartile et les valeurs etrêmes. Intervalle interquartile u moins 50% des valeurs diagramme en boîte de la série des pointures 5 6 pointures 7 8 9 0 1 2 5 6 7 8 Q1 Med Q Etude d un eemple avec les fréquences Eemple Utilisation des fréquences cumulées croissantes Hauteurs franchie en cm 10 15 10 15 150 155 160 165 Fréquences 0,06 0,10 0,15 0,21 0,22 0,12 0,06 0,08 Fréquences cumulées croissantes 0,06 0,16 0,1 0,52 0,7 0,86 0,92 1 1. ompléter la ligne des fréquences cumulées croissantes. 2. Déterminer la médiane, les 1 er et le ième quartiles de cette série statistique.. onstruire le diagramme en boîte correspondant. Dans la ligne des fréquences cumulées croissantes la valeur 0,86 signifie que 86% des sportifs ont franchi une hauteur inférieure ou égale à 155 cm.
La médiane représente au moins 50% des valeurs. Me 15. Le 1 er quartile représente au moins 25% des valeurs. Q 1 10. Le ième quartile représente au moins 75% des valeurs. Q 155. Intervalle interquartile u moins 50% des valeurs Diagramme en boîte de la série des sauts en hauteur 120 125 10 15 10 15 150 155 160 165 170 Q1 Med Q
5 Etude d une série statistique à caractère continu et polgone des effectifs cumulés croissants Lorsqu une série statistique est à caractère continu pour déterminer la médiane et les quartiles, on peut construire le polgone des effectifs cumulés croissants. Eemple : Le gérant d un magasin a récapitulé les montants des achats effectués par les clients au cours d une journée. Montants en euros [0; 15[ [15 ; 0[ [0 ; 5[ [5 ; 60[ [60 ; 75[ [75 ; 90[ Effectifs 19 2 5 0 2 10 Effectifs cumulés croissants 19 51 96 126 150 160 1. ompléter la ligne des effectifs cumulés croissants. 2. onstruire le polgone des effectifs cumulés croissants en prenant pour unité sur l ae des abscisses 1 cm pour 5 euros et sur l ae des ordonnées 1 cm pour 10 clients. Déterminer la médiane, les 1 er et le ième quartiles de cette série statistique graphiquement puis de manière plus précise par le calcul.. onstruire le diagramme en boîte correspondant. Polgone des effectifs cumulés croissants Effectifs cumulés croissants 160 150 10 10 120 Q' D 110 100 90 80 M 70 60 50 0 Q 0 20 10 0 0 5 10 15 20 25 0 5 0 5 50 55 60 65 70 75 80 85 90 D1 Q1 Med Q D9 Montants en euros
alcul de la médiane L effectif total est 160 160 80 2 La médiane est comprise entre la 80 e et 81 e valeur. On considère les points (0 ;51) ; (5 ;96) et M (Me ;80) avec Me 0 et Me 5 Les points, M et sont alignés les droites (M) et () ont le même coefficient directeur. insi D où D où M M - - 80-51 Me - 0 29 Me - 0 5 15 29 Me - 0 - - 96-51 5-0 insi Me 0 29 Me 29 + 0 Me 9,67 (9,66666.) alcul du 1 er quartile Q 1 160 0 Le 1 er quartile est la 0 e valeur. Les points (15 ;19) ; Q (Q 1 ; 0) et (0 ;51) avec Q 1 15 et Q 1 0 sont alignés donc les droites (Q) et () ont le même coefficient directeur. insi Q Q - - 1 0-19 Q - 15 1 - - 51-19 0-15 21 Q - 15 2 15 insi Q 1 15 21 15 2 lors Q 1 15 2 + 15 15 2 D où Q 1 2,8 (2,875) alcul du ième quartile Q 160 120 Le ième quartile est la 120 e valeur. Les points (5 ; 96), Q (Q ; 120) et D (60 ;126) avec Q 5 et Q 60 sont alignés donc les droites (Q ) et (D) ont le même coefficient directeur. insi insi Q ' Q ' - - 120-96 Q - 5 D D - - 126-96 60-5 2 Q - 5 0 15 2 Q 5 2 2 12 insi Q 12 + 5 lors Q 57 Diagramme en boîte 0 5 10 15 20 25 0 5 0 5 50 55 60 65 70 75 80 85 90 Q1 Med Q L intervalle interquartile est [2,8 ; 57] ce qui signifie que au moins 50% des montants des achats sont compris entre 2,80 euros et 57 euros. 57 2,8 2,2 L écart interquartile est de 2,20 euros
6 Etude d une série statistique à caractère continu et polgone des fréquences cumulées croissantes Lorsqu une série statistique est à caractère continu pour déterminer la médiane et les quartiles, on peut construire le polgone des fréquences cumulées croissantes. Eemple : Les salaires d une société sont répartis de la façon suivante : Tranche des salaires en euros Nombre de salariés Effectifs cumulés croissants Fréquences cumulées croissantes [1 100 ; 1 00[ [1 00 ; 1 700[ [1 700 ; 2 200[ [2 200 ; 000[ [ 000 ; 5 000[ [5 000 ; 8 000] 61 8 9 6 61 109 152 191 197 200 0,05 0,55 0,76 0,955 0,985 1 1. ompléter la ligne des effectifs cumulés croissants. 2. ompléter la ligne des fréquences cumulées croissantes.. onstruire le polgone des fréquences cumulées croissantes en prenant pour unités en abscisse 1 cm pour 00 euros et en ordonnée 1 cm pour 0,10.. Déterminer la médiane, les 1 er et le ième quartiles de cette série statistique graphiquement puis de manière plus précise par le calcul. 5. onstruire le diagramme en boîte correspondant. Polgone des fréquences cumulées croissantes Fréquences cumulées croissantes 100 90 80 D 70 60 50 0 0 20 10 0 Salaires 1000 100 1800 2200 2600 000 00 800 200 600 5000 500 5800 6200 6600 7000 700 7800 8200 D1Q1 Med Q D9
alcul de la médiane La médiane représente au moins 50% des valeurs. alcul précis de la médiane On considère les points (1 00 ;0,05) ; (1 700 ;0,55) et M (Me ;0,5) avec Me 1 00 et Me 1 700 Les points, M et sont alignés les droites (M) et () ont le même coefficient directeur. insi D où M M - - 0,5-0,05 Me - 1 00 0,195 Me - 1 00 - - 0,55-0,05 1700-100 0,2 00 insi Me 1 00 0,195 00 2,75 0,2 Me 2,75 + 1 00 Me 1 6,75 alcul du 1 er quartile Le 1 er quartile représente au moins 25% des valeurs. alcul précis du 1 er quartile Q 1 Les points (1 100 ; 0) ; Q (Q 1 ; 0,25) et (1 00 ;0,05) avec Q 1 0 et Q 1 1 00 sont alignés donc les droites (Q) et () ont le même coefficient directeur. insi Q Q - - 1 - - 0,25-0 Q - 1 100 0,05-0 1 00-1 100 0,25 Q - 1 100 0,05 00 1 insi Q 1 1 100 0,25 00 0,05 lors Q 1 0,25 00 0,05 + 1 100 D où Q 1 1 5,9 (1 65,90169 ) alcul du ième quartile Le ième quartile représente au moins 75% des valeurs. Les points (1 700 ;0,55), Q (Q ; 0,75) et D ( 2 200 ; 0,76) avec Q 1 700 et Q 2 200 sont alignés donc les droites (Q ) et (D) ont le même coefficient directeur. Q ' - D - Q ' - D - 0,75-0,55 0,76-0,55 insi Q - 1700 2 200-1 700 insi 0,205 Q - 1 700 0,215 500 0,205 500 Q 1 700 0,215 0,205 500 insi Q 0,215 + 1 700 lors Q 2 176,7 (2 176,7186 ) 1000 100 1800 2200 2600 000 00 800 200 600 5000 500 5800 6200 6600 7000 700 7800 8200 Q1 Med Q L intervalle interquartile est [1 5,9 ; 2 176,7] ce qui signifie que au moins 50% des salariés gagnent entre 1 5,9 euros et 2 117,7 euros. 2 176,7 1 5,9 80,8 L écart interquartile est de 80,8 euros