Université Paris Descartes UFR de Mathématiques et Informatique 45, rue des Saints-Pères 75270 Paris cedex 06 Numération et Logique TD 1 - Histoire de la numération Objectif : Appréhender quelques systèmes de numération de l histoire Exercice 1 - Numération babylonienne Les Babyloniens utilisaient un système hybride de base 60. C est une numération additive jusqu à 60. Puis c est une numération de position, c est-à-dire que le nombre dépend de la position des symboles utilisés, l espace servant à séparer les différentes puissances de la base. Il n y a que deux symboles, le clou et le chevron. Le clou indique une unité et le chevron une dizaine. Sachant que le nombre représenté à gauche est 204, quel est celui représenté à droite? Le nombre représenté est 2 60 2 + 3 60 1 + 10 + 2 = 7392 Exercice 2 - Numération égyptienne - système additif La numération égyptienne utilisait les hiéroglyphes ci-contre. Leurs symboles évoquent chacun un ordre de grandeur. un bâton évoque l unité une anse de panier compte (environ) 10 objets une rouleau de papyrus : on peut y écrire (environ) 100 hiéroglyphes une fleur de lotus : on les trouve par milliers un doigt montrant le ciel nocturne : on y voit près de 10 000 étoiles un tétard : on en trouve de l ordre de 100 000 au bord du Nil après la ponte un dieu agenouillé supportant le ciel : le dieu est éternel et 1 million d années est synonyme d éternité On additionne les valeurs de tous les symboles utilisés pour écrire le nombre et on écrit de droite à gauche en finissant par les unités. a- Quel est le nombre écrit ci-dessus? b- Comment s écrirait, avec ces symboles, notre nombre décimal 324?
a- Le nombre est 2x1000+9x100+6x10+4x1=2964 b- Exercice 3 - Numération romaine La numération romaine permettait d écrire les neuf premiers chiffres ainsi : Remarquez l écriture du chiffre quatre et celle du chiffre neuf. Ce n est qu au Moyen-Âge qu on a écrit les chiffres romains en utilisant des différences telles que IV (quatre), IX (neuf), XC (quatre-vingt dix), CD (quatre cents),... Avec les chiffres romains, on peut écrire de façon purement additive. Ils sont plus simples et plus lisibles que les chiffres égyptiens a- Traduire les nombres suivants : et b- Ecrire en chiffres romains les nombres 1953 et 3729. c- Ajouter MCDIV + CCLXXI. d- Quels sont les inconvénients de cette numération? a- 500 + 400 + 20 + 5 + 3 = 928 et 100000 + 30000 + 5000 + 1000 + 500 + 50 + 10 = 136560 b- 1953=MCMLIII, 3729=MMMDCCXXIX c- impossible sans traduire!! MCDIV+CCLXXI=1404+271=1675=MDCLXXV d- Zéro est inconnu, difficulté lire les grands nombres, difficulté de faire les opérations (addition soustraction) Exercice 4 - Numération maya Les Mayas ont adapté leur système de numération à leur calendrier. Leur numération est à base 20, comme leurs mois qui comptaient vingt jours. Ci-contre les symboles utilisés pour les chiffres de 1 à 19 ainsi que le chiffre zéro. Les Mayas écrivaient leurs nombres verticalement de haut en bas. Le nombre 20 s écrit donc ainsi : a- Combien de symboles sont utilisés chez les Mayas pour écrire les chiffres de 1 à 19? b- Que représentent les deux nombres ci-contre? c- Ecrire à la manière des Mayas le nombre 721 (détailler le calcul pour arriver à l écriture...).
a- 2 symboles, le point et le trait b- 1 20 2 + 0 20 1 + 0 20 0 = 400 et 1 20 3 + 0 20 2 + 0 20 1 + 0 20 0 = 8000 c- 721/20 2 = 1, 721 (1 20 2 ) = 321, 321/20 1 = 16, 321 (16 20 1 ) = 1, 1 = 1 20 0 721 se décompose donc en 1 20 2 + 16 20 1 + 1 20 0
Exercice 5 - Numération savante chinoise La numération chinoise à base dix était utilisée pour les mathématiques. Elle comportait neuf chiffres, le zéro étant indiqué par une case vide (espace). Il existe deux sortes de chiffres selon le rang : Ligne du haut : chiffres de rangs impairs, utilisés pour les unités, les centaines,... Ligne du bas : chiffres de rangs pairs, utilisés pour les dizaines, les milliers,... Ainsi, 1987 s écrit et 2026 s écrit On pourrait reprocher à ce système de numération un risque d erreur, si l espace est oublié. L alternance des deux types de chiffres évite cette ambiguïté. Toutefois, le risque existe si deux zéros se suivent, mais il est impossible de ne pas remarquer le double espace (les nombres s écrivaient au départ dans des cases mais celles-ci ont disparu...) a- Lire les nombres suivants : et b- Ecrire en numération chinoise mathématique savante les nombres 1953 et 8729. En faire l addition sans passer par la base 10. a- Il s agit de 6733081 et 27603 b- et 1953 + 8729 = 10682 Si vous ne trouvez pas, venez me voir... Exercice 6 - (extrait d un contrôle de connaissances) Dans un système de numération on trouve les symboles suivants avec les valeurs (en base 10) écrits en dessous : Par exemple vaut 9, la position des symboles ne joue aucun rôle. 1. Écrire le nombre 100 dans ce système, avec le moins de symboles possible. Réponse : 100=2*49+2*1, il faut deux figures pleines et deux bâtons unité.
2. Comment appelle-t-on un tel système? Quelles différences y a t-il avec notre système actuel? Réponse : C est un système additif, le système actuel est à position et a un élément pour représenter le 0 respectivement l absence de valeur en une position. Un système additif n est pas efficace dès que les nombres deviennent grand.