EC4 Filtrage linéaire Plan I- Problématique 1- Présentation du problème 2- Récupération du signal bip 3- Récupération de la voix 4- Notion de ltre II- Signaux périodiques 1- Signaux périodiques 2- Spectre d'un signal périodique 3- Filtrage d'un spectre par diérents types de ltres III- Filtrage électronique : principe et analyse qualitative 1- Rappel : impédance d'un composant 2- Equivalence des dipôles en hautes et basses fréquences 3- Détermination qualitative du type de ltre IV- Fonction de transfert d'un ltre et diagramme de Bode 1- Dénitions 2- Fonctions de transfert usuelles 3- Utilisation de la fonction de transfert d'un ltre 4- Diagramme de Bode V- Mise en cascade de ltres 1- Modélisation d'un ltre : résistance d'entrée, résistance de sortie 2- Mise en cascade de ltres 1/21
Notions et contenus Signaux périodiques Gabarit d'un ltre. Fréquences de coupure. Fonction de transfert harmonique. Diagrammes de Bode. Modèles simples de ltres passifs : passe-bas et passe-haut d'ordre 1, passe-bas et passe-bande d'ordre 2. Capacités exigibles Exploiter le spectre d'un signal périodique ; déterminer la composante continue, le fondamental et les harmoniques. Dénir la valeur moyenne, la valeur ecace. Reconnaître les gabarits des ltres passe-bas, passe-haut et passe-bande. Déterminer qualitativement le spectre du signal de sortie d'un ltre, le spectre du signal d'entrée et le gabarit ou le diagramme de Bode du ltre étant donnés. Prévoir le comportement d'un ltre en hautes et basses fréquences. Utiliser une fonction de transfert donnée d'ordre 1 ou 2 et ses représentations graphiques pour l'étude de la réponse d'un système linéaire à une excitation sinusoïdale, à une somme nie d'excitations sinusoïdales. Utiliser les échelles logarithmiques et interpréter les zones rectilignes des diagrammes de Bode d'après l'expression de la fonction de transfert. Mettre en oeuvre un dispositif expérimental illustrant la fonction de ltrage d'un système linéaire. Expliquer l'intérêt, pour garantir leur fonctionnement lors de mises en cascade, de réaliser des ltres de tension de faible impédance de sortie et forte impédance d'entrée. Approche documentaire : expliquer la nature du ltrage introduit par un dispositif mécanique (sismomètres, amortisseurs, accéléromètre...). Etudier le ltrage linéaire d'un signal non sinusoïdal à partir d'une analyse spectrale. 2/21
Les cours précédents nous ont permis d'étudier les bases théoriques de l'électrocinétique et de se doter des outils d'analyses des circuits. Nous avons ainsi pu voir, en régime permanent sinusoïdal, que le comportement de circuits (ou de systèmes mécaniques) peut dépendre de la fréquence du signal d'excitation. Ces connaissances vont nous permettre de considérer dans ce cours une des applications phares de l'électronique : le ltre. Dans un premier temps, nous nous intéresserons donc à la problématique du ltrage. Nous verrons ensuite comment la mettre en oeuvre grâce à des circuits électroniques. Pour cela : ˆ nous apprendrons à reconnaître qualitativement les diérents circuits ltres ˆ nous apprendrons à décrire quantitativement ces circuits à l'aide de la fonction de transfert ˆ nous décrirons la fonction de transfert d'un ltre sous forme d'un diagramme de Bode ˆ nous apprendrons à utiliser ces outils pour prédire la sortie d'un ltre I - Problématique Nous allons dans cette première partie établir la problématique du ltrage, dont un exemple d'application pourra être trouvé sur le site : http://www.cnetfrance.fr/news/ le-systeme-home-cinema-qui-supprime-les-commentaires-sportifs-39793524.htm : Le système Home Cinéma qui supprime les commentaires sportifs : Si vous n'en pouvez plus de suivre les matchs de l'us Open avec les commentaires de Marion Bartoli ou si les poussées évreuses de Christian Jean Pierre vous font saigner les tympans à chaque match de l'équipe de France, alors ce système Home Cinéma Sony peut vous être d'une certaine utilité. Car outre le fait qu'il intègre des décodeurs HD et une amplication numérique de 1000 watts, il propose aussi un nouveau mode Football, adaptable également à d'autres disciplines. Son principe : amplier les ambiances du stade et les clameurs du public, et réduire le niveau des voix des commentateurs. Ça marche à peu près bien pour le foot et le rugby, 3/21
moins pour le tennis, étant donné le calme qui règne autour du court pendant les échanges. Cela dit, les commentaires ne disparaissent pas vraiment. Disons, qu'ils sont mis en sourdine. Dans certains cas, c'est déjà pas mal. Mais ce système Home Cinéma fait beaucoup d'autres choses. Primo, il est beau. Secundo, il prote d'un lecteur Blu-ray 3D avec upscaling 4K. Ça ne sert à rien, mais ça fait vendre. Tertio, il fait oce de plateforme multimédia et de lecteur réseau sans l. Il peut, en eet, accéder à diérents services en ligne (en WiFi ou en Ethernet), à des webradios via vtuner, lire une ribambelle de chiers multimédia et il autorise également le streaming musical en Bluteooth/NFC avec un terminal mobile. Quarto, les enceintes sont des modèles à uide magnétique, ce qui est censé améliorer la qualité de son. Et enn, les deux enceintes surround sont sans l. Nous allons étudier ce principe, en utilisant un signal enregistré. 1) Présentation du problème On a enregistré le son d'un individu essayant de contacter quelqu'un par téléphone : l'enregistrement est composé de deux signaux qui ont été mélangés : ˆ un individu dit Je téléphone (signal a) : ˆ un bip de téléphone (signal b) : Spectre d'un signal : Tout signal réel peut être vu comme la somme de sinusoïdes de fréquences diérentes. La représentation des fréquences présentes dans un signal est appelée son spectre. On présente donc ci-dessous, pour chaque signal concerné, le spectre : 4/21
Le spectre du signal mélangé est présenté ci-dessous : On aimerait, à partir du signal mélangé e, récupérer les deux signaux initiaux. 2) Récupération du signal bip On cherche à former le signal, qui est la récupération du bip. On s'aperçoit que le signal bip est essentiellement centré sur un pic à 440 Hz (le La du téléphone). Ce pic se retrouve sur le spectre du signal mélange. Essayons d'isoler ce pic à l'aide d'un ltre : On réalise alors un ltre sur Audacity de manière à ne sélectionner que les fréquences autour de 440 Hz dans le signal mélangé. 5/21
3) Récupération de la voix Il est plus délicat de récupérer la voix Je téléphone. Il faut par exemple trouver des domaines de fréquences où seul ce signal s'exprime, et pour lesquels le signal de téléphone est très peu présent. En analysant les spectres, on s'aperçoit que les bandes de fréquences : ˆ [100Hz; 200Hz] ˆ [1000HZ; 3000Hz] correspondent quasiment uniquement au signal Je téléphone. Réalisons donc un ltre qui permet de récupérer ces deux bandes de fréquences : 4) Notion de ltre Pour réaliser la récupération des signaux précédents, on a dû, au sein d'un signal d'entrée : ˆ sélectionner des bandes de fréquences à supprimer ˆ sélectionner des bandes de fréquences à amplier Et on a ainsi obtenu un signal de sortie. Dénition : Filtre Un ltre est un système permettant de transmettre sélectivement certaines composantes spectrales du signal appliqué en entrée. On dénit les ltres : ˆ passe-bas qui permettent de laisser passer basses fréquences. ˆ passe-haut qui permettent de laisser passer les hautes fréquences. ˆ passe-bande qui permettent de laisser passer une bande de fréquences. 6/21
Exemple : Selon l'application désirée, plusieurs types de ltres sont réalisables. Donner le nom associé à chaque type de ltre dessiné ci-dessous. Filtrer un signal revient donc à sélectionner une ou des bandes de fréquences au sein d'un signal pour des applications données. Cette action à des applications multiples en électronique : ˆ réduction du bruit pour améliorer le rapport signal sur bruit lors de transmissions ˆ transmettre des signaux radios grâce à la modulation fréquentielle ˆ extraction d'informations cachées ˆ traitement audio d'enregistrements (amélioration...) ˆ l'adsl (ne met-on pas des ltres aux prises téléphoniques?) L'equalizer intégré dans les auto-radios ou lecteurs hi- ( SPR Bass, Vocal, Rock,...) n'est rien d'autre qu'un ltre appliqué au signal audio. L'objet des chapitres suivants est la réalisation et la caractérisation de ltres à l'aide de circuits électriques. 7/21
II - Signaux périodiques Avant d'entrer dans le détail de l'étude des ltres, nous nous intéressons aux types de signaux que nous allons ltrer. Cette partie constitue un rappel du cours sur les ondes. 1) Signaux périodiques Les signaux que nous avons étudiés dans la première partie étaient des signaux quelconques. Leur complexité venait par exemple du fait que, lorsque quelqu'un parle, le son varie dans le temps. Considérons désormais un son que l'oreille entend comme constant, comme un instrument de musique jouant toujours la même note. Considérons une note jouée au saxophone. On obtient alors la forme de signal suivante : Ce signal est périodique de période T. Nous nous limiterons désormais à l'étude de signaux périodiques. 2) Spectre d'un signal périodique Le spectre du son précédent peut être obtenu numériquement à l'aide du logiciel Audacity (voir TP4), et on obtient la gure suivante. Ce spectre est composés de diérents pics ou raies à distance constante les uns des autres. 8/21
Dénition : Le spectre d'un signal périodique Un signal périodique de période T possède un spectre constitué de raies : ˆ à la fréquence nulle qui correspond à la valeur moyenne (composante continue) du signal ˆ à la fréquence f 0 = 1 T qui correspond au fondamental du signal ˆ aux fréquences f n = (n + 1).f 0 qui correspondent aux harmoniques du signal Chaque raie correspond à une sinusoïde présente dans le signal, la hauteur de la raie correspond à l'amplitude de cette sinusoïde. Ainsi, tout signal de période peut s'écrire : s(t) = s 0 + s 1 cos(2πft + φ 1 ) + s 2 cos(2π(2f)t + φ 2 ) + s 3 cos(2π(3f)t + φ 3 ) +... Identier la valeur moyenne, le fondamental et les harmoniques dans cette décomposition mathématique. En déduire le spectre de ce signal. 9/21
On écrit, plus généralement, pour un signal périodique : s(t) = s 0 + s n cos(2π(nf)t + φ n ) n=1 L'objectif d'un ltre va être d'amplier, de diminuer ou de déphaser les diérentes harmoniques qui constituent un signal, en fonction de leur fréquence. 3) Filtrage d'un spectre par diérents types de ltres Soit le signal périodique dont le spectre est le suivant : Repérer la valeur moyenne, le fondamental et les harmoniques. Donner le spectre du signal obtenu si on met le signal précédent en entrée des ltres suivants : On précise que 0dB correspond à une amplication de 1, que -20 db correspond à une réduction par un facteur 10 du signal. Citer des applications possibles pour les trois premiers ltres. 10/21
III - Filtrage électronique : principe et analyse qualitative Pour réaliser un circuit électrique réalisant la fonction de ltrage, il faut utiliser des composants dont le comportement varie avec la fréquence. 1) Rappel : impédance d'un composant Dénition : Impédance A tout composant linéaire, on associe une impédance Z telle que : Z = u i L'impédance d'une résistance R est : L'impédance d'une capacité C est : L'impédance d'une inductance L est : Quelle est l'impédance d'un l? Quelle est l'impédance d'un circuit ouvert? 2) Equivalence des dipôles en hautes et basses fréquences Quels dipôles ont une impédance qui dépend de la fréquence? Fondamental : Equivalents HF et BF des condensateurs et bobines Le tableau ci-dessous donne les équivalents hautes et basses fréquences des bobines et condensateurs : Condensateur Basse fréquence (ω 0) Haute fréquence (ω ) Bobine Grâce à ces données, nous allons pouvoir analyser les circuits électriques pour déterminer qualitativement leur nature. (NB : en basse fréquence, on retrouve le comportement du régime permanent). 11/21
3) Détermination qualitative du type de ltre En dessinant des schémas équivalents d'un circuit en BF et en HF, on va être capable de déterminer le type de ltre réalisé par un circuit donné. Méthode : Analyse qualitative d'un ltre Comment prédire qualitativement le comportement en fréquence d'un ltre? ˆ Etape 1 : On dessine le circuit équivalent en basses fréquences (BF) On remplace les condensateurs par des circuits ouverts On remplace les bobines par des ls ˆ Etape 2 : On en déduit la relation entre la tension de sortie et d'entrée en BF en appliquant la loi des mailles, noeuds... ˆ Etape 3 : On dessine le circuit équivalent en basses fréquences (HF) On remplace les condensateurs par des ls On remplace les bobines par des circuits ouverts ˆ Etape 4 : On en déduit la relation entre la tension de sortie et d'entrée en HF en appliquant la loi des mailles, noeuds... ˆ Etape 5 : On déduit le type de ltre réalisé par le circuit (passe-bas, passe-haut...) Déterminer le type de ltre réalisé par le circuit ci-dessous : 12/21
IV - Fonction de transfert d'un ltre et diagramme de Bode Pour réaliser une analyse plus quantitative d'un ltre, il faut pouvoir déterminer : ˆ à partir de quelle fréquence le ltre coupe-t-il le signal? ˆ quelle est la bande passante du ltre? ˆ de quel facteur le signal est-il amplié pour une fréquence donnée? ˆ comment le signal est déphasé pour une fréquence donnée? Il est nécessaire de se doter d'outils mathématiques plus avancés. C'est dans ce cadre que nous dénissons la fonction de transfert d'un ltre. 1) Dénitions Dénition : Fonction de transfert d'un ltre Soit le circuit électrique linéaire ci-dessous : Sa tension d'entrée est v e (t) = V e cos(ωt), origine des phases. Sa tension de sortie est v s (t) = V s cos(ωt + φ). On appelle Fonction de Transfert le nombre complexe : H = v s v e Ainsi la connaissance de la fonction de transfert permet : ˆ de déterminer le rapport de l'amplitude de sortie par rapport à celle d'entrée à une fréquence donnée (en prenant le module de H) : H = V s V e ˆ de déterminer le déphasage entre la tension de sortie et la tension d'entrée à une fréquence donnée (en prenant l'argument de H) : arg(h) = arg(v s ) arg(v e ) = φ 13/21
2) Fonctions de transfert usuelles Dénition : Fonction de transfert du premier ordre et du deuxième ordre Les fonctions de transfert que nous rencontrerons seront de deux formes particulières, selon que le circuit considéré sera du premier ordre ou du second ordre. On note ici p = jω. Forme canonique du premier ordre : H = H 0N(p) 1 + p ω 0 passe-bas : N(p) = 1 passe-haut : N(p) = p Avec comme paramètres caractéristiques : ˆ ω 0 : pulsation de coupure. ˆ τ = 1 ω 0 : constante de temps. Forme canonique du deuxième ordre : H = H 0N(p) 1 + p ω 0 Q + p2 ω 2 0 Avec comme paramètres caractéristiques : passe-bas : N(p) = 1 passe-haut : N(p) = p2 ω0 2 passe-bande : N(p) = p ω 0 Q coupe-bande : N(p) = 1 + p2 ω 2 0 ˆ ω 0 : pulsation propre. ˆ Q : facteur de qualité. ˆ m = 1 2Q : facteur d'amortissement. La détermination de la fonction de transfert d'un ltre n'est pas explicitement au programme en physique. Elle peut toutefois faire l'objet d'exercices guidés (et de toutes façon vous le faites en GE). Nous voyons ici, sur un exemple, comment on peut y parvenir facilement en utilisant un pont diviseur de tension. Application : Déterminer la fonction de transfert du ltre suivant. La mettre sous sa forme canonique. De quel ordre est-il? Donner ses paramètres caractéristiques en fonction des valeurs des composants. 14/21
3) Utilisation de la fonction de transfert d'un ltre La connaissance de la fonction de transfert d'un ltre nous permet d'obtenir beaucoup d'informations sur le ltre en question. On peut par exemple, si on connaît le signal injecté dans le ltre, connaître le signal qui en sort. C'est l'intérêt premier de la fonction de transfert! a) Gain statique d'un ltre (ou gain en régime permanent) Dénition : On appelle gain statique d'un ltre, ou gain en régime permanent, l'amplitude de la fonction de transfert lorsque ω 0. Soit la fonction de transfert d'un ltre du premier ordre : Quel est son gain statique? H = 3(1 + p) 1 + 5p b) Signal de sortie d'un ltre On considère désormais que le signal d'entrée du ltre n'est plus constant, mais sinusoïdal. Il faut savaoir déterminer, connaissant la fonction de transfert, le signal en sortie du ltre. Méthode : Détermination du signal en sortie d'un ltre Comment déterminer le signal en sortie d'un ltre si l'entrée est une sinusoïde connue? ˆ Etape 1 : L'entrée étant une sinusoïde : v e = V e cos(ωt), la sortie est aussi une sinusoïde, mais d'amplitude diérente et déphasée : v s = V s cos(ωt + ϕ) ˆ Etape 2 : On détermine V s par : V s = H V e (et on remplace ω par la valeur de correspondante) ˆ Etape 3 : On détermine ϕ par : ϕ = arg(h) ˆ Etape 4 : On en déduit v s (t) Application de la méthode : Soit un signal v e = 5 cos(2πft) avec f = 100 Hz mis en entrée d'un ltre de fonction de transfert : Quel est le signal de sortie du ltre? H = 2 1 + p 1000 15/21
Dans le cas où le signal en entrée n'est pas une sinusoïde mais un signal périodique quelconque, on peut le décomposer en une somme de sinusoïdes qui forment son spectre (transformée de Fourier). On calcule alors, indépendamment, la sortie associée à chacune des sinusoïdes en entrée. La sortie du ltre est alors la somme des sorties correspondant à chaque sinusoïde : Application : Considérons le ltre de fonction de transfert : On met en entrée de ce ltre le signal : G(p) = Déterminer le signal de sortie du ltre. 5p 1 + 3p + 4p 2 e(t) = 10 + 2 cos(2t) + 4 cos(10t + π/2) 16/21
c) Type de ltre La connaissance de la fonction de transfert d'un ltre permet aussi de déterminer rapidement le type de ltre considéré. Méthode : Fonction de transfert et type de ltre En fonction des limites de la fonction de transfert en Hautes et Basses Fréquences, on peut déterminer le type de ltre réalisé : Type de ltre lim ω 0 H(jω) BF lim ω H(jω) HF Passe-haut 0 constante (réelle ou complexe) Passe-bas constante 0 Passe-bande 0 0 Application : Quel est le type de ltre réalisé par les fonctions de transferts suivantes : H 1 (jω) = jlω R + jlω H 2 (jω) = 1 jcω R + jlω + 1 jcω 4) Diagramme de Bode La fonction de transfert est l'outil fondamental pour l'étude des propriétés d'un ltre. An de faciliter son utilisation, on eectue sa représentation graphique sous la forme d'un diagramme de Bode. La fonction de transfert n'est pas directement traçable car ce n'est pas une fonction réelle. Après tout, ce qui nous intéresse dans la fonction de transfert, c'est avant tout : ˆ son module (le gain) G = H(jω) = Vs V e : car il permet de connaître le rapport des amplitudes du signal de sortie et du signal d'entrée. ˆ son argument ϕ = arg(h(jω)) : car il permet de connaître le déphasage entre le signal de sortie et le signal d'entrée. On va donc tracer deux graphiques : ˆ l'évolution du gain en fonction de la pulsation du signal : G(ω) = H(jω) ˆ l'évolution du déphasage en fonction de la pulsation du signal : ϕ(ω) 17/21
Dénition : Diagrammes de Bode en gain et en phase Pour représenter une fonction de transfert, on trace deux diagrammes : ˆ le diagramme de Bode en gain qui représente : G db = 20 log(g) = 20 log( H(jω) ) en fonction de log(ω). ˆ le diagramme de Bode en phase qui représente : ϕ = arg(h(jω)) en fonction de log(ω) En réalité, nous allons tracer les diagrammes asymptotiques de Bode, qui correspondent à une approximation des deux graphiques précédents. Voyons cela sur un exemple : 1 H(jω) = 1 + τjω Ecrire la fonction de transfert sous sa forme canonique, en faisant apparaître la pulsation propre. Dans le cas des basses fréquences (ω << ω 0 ), donner l'équivalent de la fonction de transfert Dans le cas des hautes fréquences (ω >> ω 0 ), donner l'équivalent de la fonction de transfert En déduire le remplissage du tableau suivant : H(jω) G = H(jω) G db = 20 log(g) ϕ = arg(h(jω)) Equivalent BF Equivalent HF 18/21
En déduire les asymptotes et le tracé du diagramme en Gain. En déduire les asymptotes et le tracé du diagramme de phase. 19/21
V - Mise en cascade de ltres Voici la schématisation de la mise en cascade de deux ltres de fonctions de transferts H 1 et H 2 : Dans le cas idéal, que vaut la fonction de transfert H de la cascade de ces deux ltres? En réalité, certaines conditions doivent être vériées pour pouvoir écrire cette relation. Nous en discutons dans la n de ce cours. 1) Modélisation d'un ltre : résistance d'entrée, résistance de sortie Tout ltre possède : ˆ deux pôles (deux ls) en entrée ˆ deux pôles en sortie Un ltre est donc un quadripôle, dont on peut donner un modèle équivalent électrique. Fondamental : Modèle équivalent d'un ltre Tout ltre de fonction de transfert H peut être modélisé par un quadripôle équivalent : Où : ˆ R e est la résistance d'entrée du ltre (c'est la résistance que voit un signal qui rentre dans le ltre). ˆ R s est la résistance de sortie du ltre. ˆ H est la fonction de transfert du ltre. 20/21
2) Mise en cascade de ltres Considérons deux ltres de fonctions de transferts H 1 et H 2. Représenter les quadripôles équivalents de ces deux ltres. Mettre ces deux ltres en cascade. Déterminer l'expression de la fonction de transfert H de cette association. A quelle condition H est-elle le produit de H 1 et H 2? Fondamental : Mise en cascade de ltres On pourra considérer que la fonction de transfert de ltres en cascade est le produit des fonctions de transferts de ces ltres si les résistances de sortie de ces ltres sont très petites devant les résistances d'entrée. On utilise pour cela, par exemple, des ltres à base d'amplicateurs opérationnels, qui vérient en général ces propriétés. Cette propriété est essentielle, car elle permet, avant d'étudier un circuit complexe, de le découper en circuits plus simples. On peut alors déterminer la fonction de transfert de chacun des circuits plus simples, et on en déduit la fonction de transfert totale en multipliant toutes les fonctions de transfert obtenues. De plus, dans le cas d'une cascade idéale de ltres, on peut facilement tracer les diagrammes de Bode grâce à la propriété suivante. Lorsqu'une fonction de transfert peut être vue comme la multiplication de deux fonctions de transferts plus simples : H(jω) = H 1 (jω) H 2 (jω) alors, le diagramme de Bode de H est la somme des diagrammes de Bode associés à H 1 et H 2. 21/21