Electronique analogique

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1 Haute Ecole d'ingénierie et de Gestion du Canton de Vaud Département Technologies Industrielles Unité EAN Electronique analogique Des composants vers les systèmes i n s t i t u t d ' A u t o m a t i s a t i o n i n d u s t r i e l l e Prof. Freddy Mudry

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3 Table des matières I. EAN 1 : les bases de l'électronique 1 1. Circuits linéaires et amplicateurs Rappel des éléments de base Générateurs de tension et de courant Théorèmes de Thévenin et de Norton Adaptation d'impédance Diviseurs de tension et de courant Théorème de superposition Exemple Amplicateurs linéaires Généralités Amplicateurs unilatéraux Amplicateurs bilatéraux Exemple Modèles unilatéraux pour les amplicateurs Amplicateurs de tension Amplicateurs de courant Amplicateurs à transconductance Amplicateurs à transrésistance Relations entre les quatre représentations Amplicateurs en cascade Amplicateurs diérentiels Modélisation des quadripôles linéaires Généralités Paramètres impédances et admittances Paramètres hybrides Paramètres de transmission Réponses indicielles et fréquentielles des circuits d'ordre Réponses indicielles Réponses fréquentielles Analyse de quelques circuits Réponses indicielles Réponses fréquentielles Exercices Circuits à diodes Description d'une jonction semi-conductrice Caractéristique d'une diode i

4 Table des matières 2.3. Modèles linéaires d'une diode Exemple de calcul d'un circuit Caractéristique d'une diode Zener Conformateurs à diodes Circuits redresseurs Redresseur avec condensateur de ltrage Hypothèse Tensions continue et résiduelle Redresseur avec condensateur et diode Zener Fonctions non linéaires Exercices Circuits à transistors bipolaires Introduction Équations et caractéristiques d'un transistor Modèle linéaire Domaines de fonctionnement du transistor Circuit général Courant de collecteur Tension de collecteur Tension d'émetteur État de saturation Puissance dissipée par un transistor Exemple Polarisation Convention d'écriture Modèle grands signaux Amplication Modèle petits signaux Calcul des paramètres petits signaux Amplicateur de tension Point de fonctionnement Amplication Exemple Sources de courant Domaine de fonctionnement Résistance de sortie Miroir de courant Amplicateur à collecteur commun Paramètres de l'amplicateur CC Amplicateur diérentiel Point de fonctionnement en mode commun Amplicateur équivalent Eet d'une source de courant réelle Caractéristique complète de l'amplicateur diérentiel Amplicateur push-pull Gain en tension, résistances d'entrée et de sortie Calcul d'un amplicateur à plusieurs étages Points de fonctionnement ii c 2011

5 Table des matières Paramètres diérentiels Modèles d'amplication de chaque étage Amplicateur complet Simulation Spice Comparaison des résultats obtenus Exercices Applications linéaires des amplicateurs opérationnels Préliminaire Description de l'amplicateur opérationnel Modèle d'un amplicateur opérationnel AO avec une réaction négative ou positive Équations associées à l'ao idéal Circuits de base Amplicateur inverseur Amplicateur sommateur Amplicateurs non-inverseur et suiveur Amplicateur général Amplicateur diérentiel : cas idéal Amplicateur diérentiel : cas réel Circuits dépendants de la fréquence Circuit de base Intégrateur Dérivateur Filtre passe-bas Filtre passe-haut Filtre passe-bande Filtres correcteurs d'amplitudes Imperfections des amplicateurs opérationnels Gain DC limité Bande passante de l'amplicateur opérationnel Réponses de l'amplicateur non-inverseur Taux de variation limité (slew-rate) Tension de décalage Courants de polarisation Exercices II. EAN 2 : des composants aux systèmes Réalisation de ltres analogiques Filtres d'ordre Formes canoniques Filtres fondamentaux d'ordre Circuit R L C Analyse fréquentielle Analyse temporelle Cellules d'ordre Cellules à gain xe c 2011 iii

6 Table des matières Cellules à gain variable Cellules à gain négatif Comparaison selon les types de cellules Eet des imperfections de l'ao Filtres optimums Filtre idéal Filtres réels Approximations d'un ltre idéal Quel ltre choisir? Filtres normalisés Transformations à partir d'un ltre passe-bas Filtres normalisés Exemple Calculs de quelques ltres Filtre passe-bas de Butterworth Filtre passe-bas de Bessel Filtre passe-bas de Tchebyche Filtre passe-haut de Tchebyche Filtre passe-bande de Butterworth Filtre coupe-bande de Butterworth Circuit universel Un exemple de ltre universel Exercices Comparateurs et générateurs de signaux Introduction Comparateurs à hystérèse Comparateurs à seuils symétriques Comparateurs à seuils variables Exemples Comparateur à collecteur ouvert Réglage de température à l'aide d'un comparateur Bascules ou circuits astables Bascule à cycle symétrique Bascule à cycle non symétrique Bascule unipolaire Générateurs de signaux Signaux carrés et triangulaires Oscillateur à fréquence variable (VCO) Signaux sinusoïdaux Exercices Étude de la contre-réaction Introduction Équations de la contre-réaction Contre-réaction et amplicateurs Amplicateur non-inverseur Amplicateur inverseur Convertisseur courant-tension iv c 2011

7 Table des matières 7.4. Propriétés de la contre-réaction Stabilisation du gain en boucle fermée Augmentation de la bande-passante Réduction du bruit Diminution de la distorsion non-linéaire Modication des impédances d'entrée et de sortie Conclusion Amplicateurs et contre-réaction Deux approches complémentaires Les quatre types de contre-réaction (CR) Propriétés Exercices Oscillateurs quasi linéaires Éléments de base Boucle de réaction et oscillation Circuits de réaction Contrôle de l'amplitude et stabilité de la fréquence Oscillateur à déphaseur CR Circuit déphaseur Fréquence d'oscillation Maintien de l'amplitude Schéma de l'oscillateur Gain non linéaire Oscillateur de Wien Fréquence de l'oscillation Maintien de l'amplitude Gain non linéaire Oscillateur en quadrature Fréquence de l'oscillation et maintien de l'amplitude Gain non linéaire Considérations sur le contrôle de l'amplitude Analyse du limiteur d'amplitude Calcul des composants Signaux et analyse spectrale Exercices III. Schémas et histoire 291 c 2011 v

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9 Première partie. EAN 1 : les bases de l'électronique 1

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11 1. Circuits linéaires et amplicateurs 1.1. Rappel des éléments de base Générateurs de tension et de courant R g I L I g I L U g U L R L R g U L R L U L U L R L R L P L P L R L R L I L I L U L U L 3

12 1. Circuits linéaires et amplicateurs Théorèmes de Thévenin et de Norton Deux mesures R k I g,k U U I g,k co cc U co et I cc suffisent pour caractériser le circuit car: U thv R thv I nrt R nrt U thv = U co R thv = U co / I cc I nrt = I cc R nrt = U co / I cc Adaptation d'impédance On dit que les impédances entre un générateur et sa charge sont adaptées lorsque le maximum de puissance est fournie à la charge. Considérant le générateur de tension et sa charge décrits plus haut, on peut écrire les deux équations suivantes : U L = U g R L R g + R L, I L = On en déduit que la puissance reçue par la charge vaut U g R g + R L (1.1) P L = U L I L = (U g ) 2 R L (R g + R L ) 2 (1.2) Cette puissance tend vers zéro lorsque R L 0 ou R L. Entre deux, elle passe par un maximum lorsque La puissance maximum que peut recevoir une charge vaut donc R L = R g (1.3) P L, max = (U g) 2 = U co I cc 4 R g 4 = U thv I nrt 4 (1.4) 4 c 2011

13 1.1. Rappel des éléments de base Diviseurs de tension et de courant U R 2 U 1 U 2 I I 1 I 2 R Théorème de superposition U g,k R k I g,k U = Σ α k U g,k + Σ γ k I g,k [α k ] = [V/V], [γ k ] = [V/A] Exemple c

14 1. Circuits linéaires et amplicateurs 1.2. Amplicateurs linéaires Généralités Un amplicateur est un ensemble électronique actif constitué de composants pouvant amplier des courants ou tensions, tels que des transistors par exemple. Pour que l'amplicateur puisse fonctionner, il est nécessaire de l'alimenter avec une tension continue ; mais, dans les schémas de principe ou d'analyse, l'alimentation n'est jamais mentionnée. Les seules connexions indiquées sont les deux bornes d'entrée auxquelles on relie la source et les deux bornes de sortie entre lesquelles on branche la charge. Les amplicateurs sont utilisés pratiquement partout ; ils servent à amplier, ltrer, détecter, transformer des signaux, etc. U dc Idc R g I in I out I L U g U in Amplificateur U out U L R L Source Charge Figure 1.1.: Schéma général d'un circuit d'amplication Les gains intéressants du point de vue de l'utilisateur sont, pour une charge R L donnée, les gains en tension, en courant et en puissance dénis comme suit pour un amplicateur parfait (sans tension ni courant de décalage) A u U out U in, A i I out I in, A p P out P in (1.5) Comme la puissance est égale au produit tension-courant, les trois gains sont bien évidemment reliés entre eux par la relation suivante A p P out = U outi out = A u A i (1.6) P in U in I in Il est important de relever que les gains sont souvent exprimés en db et qu'ils valent alors A u,db 20 log ( A u ) A i,db 20 log ( A i ) (1.7) A p,db 10 log (A p ) = 10 log (A u A i ) = 1 2 (A u,db + A i,db ) (1.8) An de faciliter l'analyse des systèmes électroniques dans lesquels on utilise les amplicateurs, on les représente par des modèles linéaires adaptés aux applications. Si l'on veut simplement amplier une tension ou un courant, on utilisera un amplicateur de tension ou de courant. Si l'on souhaite transformer une tension en un courant, on travaillera avec un amplicateur à transconductance ; dans le cas inverse, on prendra un amplicateur à transrésistance. Mais comme on le verra, grâce au théorème de Norton, ces quatre représentations sont totalement équivalentes. 6 c 2011

15 1.2. Amplicateurs linéaires Amplicateurs unilatéraux Les modèles que l'on utilisera par la suite pour représenter les amplicateurs sont dits unilatéraux. Cela signie que la tension et le courant de sortie n'ont aucun eet sur les signaux d'entrée. Ce choix est simplement dû au fait que ces modèles sont très simples à calculer et que les amplicateurs réels sont pratiquement unilatéraux. Dans ce cas, les paramètres caractérisant les amplicateurs sont au nombre de trois : le gain à vide et les résistances d'entrée et de sortie. De plus, comme les amplicateurs réels possèdent inévitablement des tensions et courants de décalage qui entraînent une grandeur de sortie non nulle pour une entrée nulle, la relation entrée-sortie d'un amplicateur de tension, par exemple, s'écrira U out = U os + A u U in (1.9) où U os représente la tension de décalage et A u le gain en tension. On voit ainsi que les paramètres de l'amplicateur doivent être calculés en considérant les variations plutôt que les valeurs des tensions et courants. Ainsi, pour les amplicateurs de tension ou de courant, on aura A uo U out, A io I out (1.10) U in I in Iout=0 R in U in I in, R out U out Uout=0 I out Uin =0 (1.11) R out U in Uout U in R in A uo U in U out Figure 1.2.: Modèle d'un amplicateur (unilatéral) de tension Amplicateurs bilatéraux Les amplicateurs bilatéraux sont des amplicateurs dont la tension et le courant d'entrée dépendent de ce que l'on fait en sortie. À cause de ces interactions, ces circuits sont plus compliqués à calculer que les amplicateurs unilatéraux. Pour tenir compte du fait que la sortie inuence l'entrée, on doit dénir un paramètre supplémentaire, le gain inverse A..r. De plus comme ces paramètres dépendent des résistances R g et R L, il est important de préciser leur valeur. Les paramètres d'un amplicateur de tension bilatéral sont alors dénis comme suit A u U out U in R in U in I in RL = RL =, A ur U in, R out U out U out Ug=0,Rg= I out Ug=0, R g= (1.12) (1.13) c

16 1. Circuits linéaires et amplicateurs Exemple Les gures 1.3 et 1.4 présentent les schémas de deux amplicateurs de courant : le premier est unilatéral alors que le deuxième est bilatéral. Dans ce dernier, le couplage entre la sortie et l'entrée est dû à la résistance R 3. Les paramètres de l'amplicateur de tension unilatéral (gure 1.3) découlent immédiatement de leur dénition et de l'observation du schéma ; on a en eet A uo U out U in R in = U in = (1.14) I in R out = U out = R 2 (1.15) Uin =0 Iout=0 I out = β I in R 2 I in = β R 2 (1.16) R g I in I out β Ι in U g U in R 2 U out R L Figure 1.3.: Schéma d'un amplicateur unilatéral Pour obtenir les caractéristiques de l'amplicateur de tension bilatéral (gure 1.4), il faut commencer par écrire les équations du circuit U in = U g R g I g (1.17) U in = I in + R 3 (I in I out ) (1.18) U out = R 2 (βi in + I out ) + R 3 (I in I out ) (1.19) U out = R L I out (1.20) En résolvant ces quatre équations, on obtient les expressions des quatre paramètres de l'amplicateur bilatéral qui valent R in = U in I in = + R 3 R L + R 2 + βr 2 R 2 + R 3 + R L (1.21) R out = U out I out = R 2 + R 3 ( 1 + β R 2 R 3 R g + + R 3 ) (1.22) A u = U out U in = α R L R 2 + R 3 (1 + α) + R L avec α = β R 2 R 3 + R 3 (1.23) 8 c 2011

17 1.3. Modèles unilatéraux pour les amplicateurs R g I in β Ι in I out R 2 Ug U in U out R L R 3 Figure 1.4.: Schéma d'un amplicateur bilatéral A ur = U in = Ug=0 U out R g R 3 (β R 2 R 3 ) R 3 + (R 2 + R 3 ) (R g + + R 2 ) (1.24) Comme on peut le constater, le défaut majeur des circuits bilatéraux est dû au fait que les paramètres de l'amplicateur ne sont pas indépendants des résistances R g et R L extérieures à celui-ci et que leur calcul est compliqué. C'est pourquoi, dans la mesure du possible, on réalise des amplicateurs unilatéraux Modèles unilatéraux pour les amplicateurs Pour ce qui suit, on ne considérera que des amplicateurs unilatéraux supposés parfaits. Les modèles sont alors très simples puisqu'ils se résument aux trois paramètres que sont le gain à vide et les résistances d'entrée et de sortie. Suivant le point de vue adopté, on peut représenter un même amplicateur à l'aide de quatre modèles diérents reliés entre eux par les transformations de Thévenin-Norton : les amplicateurs tension-tension caractérisés le gain A uo, les amplicateurs courant-courant caractérisés le gain A io, les amplicateurs tension-courant caractérisés la transconductance G mo, les amplicateurs courant-tension caractérisés la transrésistance R mo. c

18 1. Circuits linéaires et amplicateurs Amplicateurs de tension A uo = gain en tension à sortie ouverte U out U in Iout=0 R g I in R out I out U g U in R in A uo U in U out R L A u U out U in = 1 U in ( A uo U in R L R L + R out ) = A uo R L R L + R out A i I out I in = U out/r L U in /R in = A u R in R L U L = U in A u = U g R in R in + R g R L R L + R out A uo Amplicateurs de courant A io = gain en courant à sortie fermée I out I in Uout=0 I in I out I g R g U in R in A io I in R out U out R L A i I out I in = 1 I in ( A io I in R out R L + R out ) = A io R out R L + R out A u U out U in = I out R L I in R in = (A i I in ) R L I in R in = A io R out R in R L R L + R out I L = I in A i = I g R g R in + R g R out R L + R out A io 10 c 2011

19 1.3. Modèles unilatéraux pour les amplicateurs Amplicateurs à transconductance G mo = transconductance à sortie fermée I out U in Uout=0 R g I in I out G mo U in U g U in R in R out U out R L G m I out U in = 1 U in ( G mo U in R out R L + R out ) = G mo R out R L + R out A u U out U in = I out R L U in = (G m U in ) R L U in = G mo R out R L R L + R out I L = U in G m = U g R in R in + R g R out R L + R out G mo Amplicateurs à transrésistance R mo = transrésistance à sortie ouverte U out I in Iout=0 I in R out I out I g R g Uin R in R mo I in U out R L R m U out I in = 1 I in ( R mo I in R L R L + R out ) = R mo R L R L + R out A u U out U in = 1 U in (R m I in ) = R m U in /R in U in = R mo R in R L R L + R out U L = I in R m = I g R g R in + R g R L R L + R out R mo c

20 1. Circuits linéaires et amplicateurs Relations entre les quatre représentations Nous venons de voir quatre représentation possibles pour une même réalité. Il est clair que les résistances d'entrée et de sortie demeurent les mêmes ; seules changent les expressions des gains. Grâce au théorème de Norton, on passe facilement d'une représentation à l'autre. On obtient alors les résultats présentés dans le tableau 1.1. Gain en tension A uo Gain en courant A io Ampli. de tension A uo A uo R in R out Ampli. de courant A io R out R in A io Ampli. à transconductance G mo R out G mo R in Ampli. à transrésistance R mo 1 R in R mo 1 R out Table 1.1.: Équivalences entre les quatre types d'amplicateurs Amplicateurs en cascade Comme pratiquement, il n'est pas possible d'avoir simultanément les résistances d'entrée, de sortie et le gain souhaités, il est fréquent de devoir cascader plusieurs amplicateurs et de choisir leurs caractéristiques en fonction de la source, de la charge et des besoins en amplication. Par exemple, si l'on doit amplier une tension avant de l'appliquer à une charge de faible valeur, l'amplicateur est généralement constitué de trois étages permettant d'avoir une impédance d'entrée élevée, un gain élevé et une faible résistance de sortie (gure 1.5). 10 kω 1 kω 1 kω 10 Ω 100 kω 100 kω 10 kω 100 Ω 10 [mv] 10 [V/V] 100 [V/V] 1 [V/V] Source Ampli. d entrée Ampli. intermédiaire Ampli. de sortie Charge Figure 1.5.: Amplicateurs en cascade On voit dans cet exemple que l'on a aaire à une succession de gains et de diviseurs de tension ; ainsi le gain résultant sera-t-il toujours inférieur au produit des gains à vide de chaque amplicateur. Appliquant la règle du diviseur de tension, on obtient pour chaque étage les gains suivants A u1 = = 9.9, A u2 = = 90.9, A u3 = = c 2011

21 1.4. Amplicateurs diérentiels Ce qui donne un gain total valant A u = A u1 A u2 A u3 = 818 [V/V ] A cette diminution du gain vient s'ajouter l'eet du diviseur d'entrée ; ce qui fait que la tension fournie à la charge vaut U L = U g On voit ainsi que le gain global A u,gl vaut R in 100 kω A u = 10 mv [V] R in + R g 110 kω A u,gl U L U g = 7.4 [V] = 740 [V/V] 10 [mv] alors que le produit des gains à vide donne 1000 [V/V] Amplicateurs diérentiels Les amplicateurs diérentiels sont utilisés chaque fois que l'on doit amplier un signal perturbé par du bruit ou une composante DC inutile. Comme illustration, considérons l'amplication d'un message m(t) reçu par un microphone dont le câble capte un bruit électromagnétique b(t) (gure 1.6). Dans le cas d'une simple amplication unipolaire, le signal amplié vaudra u 2 (t) = A u (u 1 (t) + b(t)) = A u u 1 (t) + A u b(t) (1.25) Comme le bruit b(t) est amplié de la même manière que le message représenté par la tension u 1 (t), on n'aura rien gagné en qualité. Par contre, en utilisant un microphone (dont seul le boîtier est mis à la masse), un câble bilaire torsadé (pour diminuer le captage du bruit) et un amplicateur diérentiel, le bruit sera complètement éliminé si l'amplicateur est parfait. En eet, comme dans ce cas c'est la diérence de tension entre les deux entrées qui est ampliée, on a u 2 (t) = A dm (U + U ) (1.26) u 2 (t) = A dm ((u 11 (t) + b(t)) (u 12 (t) + b(t))) (1.27) = A dm (u 11 (t) u 12 (t)) (1.28) On voit ainsi que l'eet du bruit électromagnétique a complètement disparu et que seul le message contenu dans la diérence de tension est amplié. Un amplicateur diérentiel réel qui n'amplie pas exactement de la même manière les deux tensions d'entrées peut être décrit par u 2 (t) = A u1 U + A u2 U (1.29) u 2 (t) = A u1 (u 11 (t) + b(t)) A u2 (u 12 (t) + b(t)) = A u1 u 11 (t) A u2 u 12 (t) + (A u1 A u2 ) b(t) c

22 1. Circuits linéaires et amplicateurs m (t) u 1 (t) b(t) u 1 (t)+b(t) A U u 2 (t) m (t) u 11 (t) u 12 (t) b(t) u 11 (t)+b(t) u 12 (t)+b(t) A dm u 2 (t) Figure 1.6.: Amplicateurs unipolaire et diérentiel U dm U 11 U 12 U cm U 2 Figure 1.7.: Dénition des modes diérentiel et commun À ce stade, il est plus intéressant de considérer la diérence des deux tensions d'entrée (tension diérentielle) qui contient le message U dm = U 11 U 12 (1.30) et la tension commune aux deux entrées qui peut représenter le bruit ou une tension de décalage U cm = U 11 + U 12 (1.31) 2 Ce changement de variables (où l'on a utilisé la valeurs ecace des tensions plutôt que leur valeur instantanée) permet de décrire les tensions d'entrée physiques à l'aide des tensions descriptives que sont U dm et U cm (gure 1.7) : U 11 = U cm + U dm 2, U 12 = U cm U dm 2 La tension de sortie s'écrit alors U 2 = A u1 U + A u2 U 14 c 2011

23 1.4. Amplicateurs diérentiels U 2 = A u1 U 11 A u2 U 12 + (A u1 A u2 ) B ( U 2 = A u1 U cm + U ) ( dm A u2 U cm U ) dm + (A u1 A u2 ) B 2 2 U 2 = (A u1 + A u2 ) U dm + (A u1 A u2 ) (U cm + B) 2 On constate ainsi que la tension diérentielle est ampliée par la moyenne des deux gains et que le mode commun, au même titre que le bruit, est atténué par la diérence des deux gains. Ce qui revient à dire que les tensions diérentielle et commune ne sont pas ampliées de la même manière et que latension de sortie peut alors être décrite à l'aide des gains diérentiel A dm et commun A cm où U 2 = A dm U dm + A cm (U cm + B) (1.32) A dm = (A U1 + A U2 ), 2 A cm = A U1 A U2 (1.33) Dans le cas idéal, on a A U2 = A U1, ce qui donne A dm = (A U1 + A U2 ) 2 = A U1, A cm = 0 (1.34) Ainsi, un amplicateur diérentiel idéal permet d'amplier le message tout en éliminant complètement le bruit. La capacité d'un amplicateur réel à amplier la tension diérentielle et d'atténuer la tension commune se mesure à l'aide du Taux de Réjection du Mode Commun (TRMC) déni comme suit T RMC = ρ A dm (1.35) Celui-ci est souvent donné en décibels. A cm Exemple An de rendre les choses plus concrètes, considérons un amplicateur diérentiel à transconductance (gure 1.8) dont les paramètres sont g m1 = 10 R in = 1 MΩ, R out = 10 kω [ ] ma, g V m2 = [ ] ma V Les gains en tension valent alors A U1 + U [ 2 V = +g m1 R out = U12 =0 V] U 11 A U2 U [ 2 V = +g m2 R out = U11 =0 V] U 12 Ce qui donne A dm = (A U1 + A U2 ) 2 [ V = V] c

24 1. Circuits linéaires et amplicateurs U 11 U dm R in g m1u 11 g m2u 12 R out U 2 U 12 Figure 1.8.: Modèle d'un amplicateur diérentiel à transconductance A cm = A U1 A U2 = 0.1 [ V V] ρ A dm A cm = 1000 = 60 db Si l'on considère les tensions d'entrée suivantes on a La tension de sortie vaudra donc U 11 = 4.6 V, U dm = +0.1 V, U 12 = 4.5 V U cm = 4.55 V U 2 = A dm U dm + A cm U cm = ( 0.1) 4.55 = [V dm ] [V cm ] 9.55 V Sachant que théoriquement elle devrait valoir exactement 10 volts, on voit ainsi que, malgré un TRMC de 60 db, la tension de sortie est entachée d'une erreur de plus de 4% à cause du mode commun élevé (4.55 V) par rapport au mode diérentiel (0.1 V) Modélisation des quadripôles linéaires Généralités Un quadripôle, comme son nom l'indique, est un circuit possédant deux bornes d'entrée et deux bornes de sortie ; ce qui conduit à quatre le nombre de grandeurs d'entrée U 1, I 1 et de sortie U 2, I 2 que l'on doit considérer (gure 1.9). Le but de la représentation des quadripôles est de décrire deux d'entre elles alors que les deux autres sont connues. On peut ainsi obtenir six représentations diérentes d'un seul et même quadripôle. Parmi celles-ci, quatre sont intéressantes d'un point de vue pratique. Comme ces quadripôles sont admis linéaires, on a, pour chaque représentation, un ensemble de deux équations à deux inconnues que l'on représente sous forme matricielle : 1. la représentation impédance où l'on décrit les tensions par rapport aux courants U 1 = z 11 I 1 + z 12 I 2 U 2 = z 21 I 1 + z 22 I 2 ( U1 U 2 ) ( ) ( ) z11 z = 12 I1 z 21 z 22 I 2 (1.36) 16 c 2011

25 1.5. Modélisation des quadripôles linéaires I 1 I 2 U 1 ( Q ) U 2 Figure 1.9.: Schéma général d'un quadripôle 2. la représentation admittance où l'on décrit les courants par rapport aux tensions I 1 = y 11 U 1 + y 12 U 2 I 2 = y 21 U 1 + y 22 U 2 ( I1 I 2 ) ( ) ( ) y11 y = 12 U1 y 21 y 22 U 2 (1.37) 3. la représentation hybride où l'on décrit la tension d'entrée et le courant de sortie par rapport au courant d'entrée et à la tension de sortie U 1 = h 11 I 1 + h 12 U 2 I 2 = h 21 I 1 + h 22 U 2 ( U1 I 2 ) ( ) ( ) h11 h = 12 I1 h 21 h 22 U 2 (1.38) 4. la représentation transmission où l'on décrit la tension et le courant d'entrée par rapport à ceux de sortie ; on notera que, dans ce cas et pour des raisons pratiques, on choisit de considérer le courant I 2 sortant du quadripôle U 1 = AU 2 + B ( I 2 ) I 1 = CU 2 + D ( I 2 ) ( U1 I 1 ) ( ) ( ) A B U2 = C D I 2 (1.39) À chacune de ces représentations est associé un circuit type que l'on présente ci-dessous Paramètres impédances et admittances La gure 1.10 présente les circuits en T (étoile) et en Π (triangle). On peut calculer les matrices correspondant à chacun de ces deux quadripôles à partir des équations du circuit ou de la dénition des paramètres. I 1 R 2 I 2 I 1 Y C I 2 U 1 R 3 U 2 U 1 Y A Y B U 2 (a) (b) Figure 1.10.: Circuits en T et en Π Pour le circuit en T, considérons ses équations U 1 = I 1 + R 3 (I 1 + I 2 ) = ( + R 3 ) I 1 + R 3 I 2 U 2 = R 2 I 2 + R 3 (I 1 + I 2 ) = R 3 I 1 + (R 2 + R 3 ) I 2 c

26 1. Circuits linéaires et amplicateurs et comparons-les avec les équations de la description en z U 1 = z 11 I 1 + z 12 I 2 U 2 = z 21 I 1 + z 22 I 2 On voit immédiatement que la matrice (z ij ) d'un circuit en T s'écrit ( ) ( ) z11 z (z ij ) = 12 R1 + R = 3 R 3 z 21 z 22 R 3 R 2 + R 3 (1.40) On peut également partir de la dénition des paramètres pour obtenir la description d'un circuit. Dans le cas du circuit en Π, les équations de la description en y valent I 1 = y 11 U 1 + y 12 U 2 I 2 = y 21 U 1 + y 22 U 2 En appliquant les dénitions des paramètres y ij au circuit en Π, on obtient directement y 11 I 1 y 21 I 2 U 1 U2 =0 U 1 U2 =0 = Y A + Y C, y 12 I 1 = Y C U1 =0 U 2 = Y C, y 22 I 2 = Y B + Y C U1 =0 Ce qui donne la matrice ( ) ( ) y11 y (y ij ) = 12 YA + Y = C Y C y 21 y 22 Y C Y B + Y C U 2 (1.41) Relation entre z ij et y ij Comme de manière générale, on a (U 1,2 ) = (z ij ) (I 1,2 ) et (I 1,2 ) = (y ij ) (U 1,2 ) on en déduit que les matrices (z ij ) et (y ij ) sont reliées entre elles par l'équation ( U1 U 2 ) ( I1 = (z ij ) I 2 ) ( ( U1 = (z ij ) (y ij ) U 2 )) ( U1 = ((z ij ) (y ij )) U 2 ) (1.42) Ce qui impose le fait que (z ij ) (y ij ) = ( On voit ainsi que les représentations (z ij ) et (y ij ) sont simplement l'inverse l'une de l'autre ) (y ij ) 1 = (z ij ) (1.43) Exemple L'application de ces deux représentations permet la transformation étoile-triangle ou son inverse. En eet, sachant que l'inverse d'une matrice 2x2, vaut ( ) 1 a b = c d 1 a d b c ( d ) b c a (1.44) 18 c 2011

27 1.5. Modélisation des quadripôles linéaires on obtient, par exemple, la transformation du circuit triangle en un circuit étoile : ( ) 1 ( ) YA + Y C Y C 1 YB + Y = C +Y C Y C Y B + Y C (Y A + Y C ) (Y B + Y C ) Y C Y C +Y C Y A + Y C ( ) 1 YB + Y = C +Y C Y A Y B + Y A Y C + Y B Y C +Y C Y A + Y C ( ) R1 + R = 3 R 3 R 3 R 2 + R 3 On en déduit alors que le circuit étoile équivalent au circuit triangle doit être réalisé avec les résistances suivantes Y C R 3 = Y A Y B + Y A Y C + Y B Y C = R 2 = Y B Y A Y B + Y A Y C + Y B Y C Y A Y A Y B + Y A Y C + Y B Y C Paramètres hybrides Le premier schéma de la gure 1.11 présente le circuit correspondant au quadripôle à paramètres hybrides tels que U 1 = h 11 I 1 + h 12 U 2 I 2 = h 21 I 1 + h 22 U 2 (1.45) avec h 11 U 1 I 1 U2 =0 h ie = impédance d'entrée du quadripôle à sortie court-circuitée h 12 U 1 U 2 I1 =0 h re = gain inverse en tension à entrée ouverte h 21 I 2 I 1 U2 =0 h fe = gain direct en courant à sortie court-circuitée h 22 I 2 U 2 I1 =0 h oe = admittance de sortie à entrée ouverte On notera que dans cette énumération, on a utilisé les nomenclatures européenne (indices numériques) et anglo-saxonne (indices alphabétiques). La comparaison entre les deux circuits de la gure 1.11 montre que les paramètres hybrides correspondent au modèle linéaire des transistors (voir le chapitre y relatif) où h ie = r be = résistance base-émetteur du transistor h re 0 = gain inverse en tension du transistor h fe = β = gain en courant du transistor h oe = g ce = 1/r ce = admittance collecteur-émetteur du transistor Paramètres de transmission Considérant la mise en cascade de plusieurs quadripôles (gure 1.12), on voit que la tension et le courant de sortie de l'un sont la tension et le courant d'entrée du suivant. On a donc de manière générale ( U1 I 1 ) = (T 1 ) ( U2 I 2 ) ( U3 = (T 1 ) (T 2 ) I 3 ) ( U4 = (T 1 ) (T 2 ) (T 3 ) I 4 ) = (1.46) c

28 1. Circuits linéaires et amplicateurs h I 11 1 I 2 U 1 h 12 U 2 h 21 I 1 h 22 U 2 i b r be i c βi b u be r ce u ce Figure 1.11.: Quadripôle à paramètres hybrides et modèle linéaire du transistor En dénissant la matrice de transmission de manière à ce que le vecteur d'entrée soit décrit par le vecteur de sortie U 1 = AU 2 + B ( I 2 ) (1.47) I 1 = CU 2 + D ( I 2 ) on obtient la matrice de transmission d'un quadripôle ( ) A B (T ) = C D (1.48) L'intérêt des paramètres de transmission réside dans le fait que la mise en cascade de quadripôles se calcule aisément et que le terme A d'une matrice de transmission est l'inverse de la fonction de transfert liant l'entrée à la sortie du quadripôle. En eet, étant donné la dénition du quadripôle (équation 1.47), on voit que l'on a de manière générale A U 1 U 2 I2 =0 = U in U out Iout=0 1 H(jω) (1.49) I 1 -I 2 -I 3 -I 4 U 1 (T 1 ) U 2 (T 2 ) U 3 (T 3 ) U 4 Figure 1.12.: Mise en cascade de quadripôles Considérant que le circuit en 1 2T de la gure 1.13 est un circuit générique pour la mise en cascade, on montre qu'il est représenté par la matrice (T ) = ( 1 + ZY Z Y 1 ) (1.50) 20 c 2011

29 I 1 Z 1.5. Modélisation des quadripôles linéaires -I 2 U 1 Y U 2 Figure 1.13.: Circuit générique pour la mise en cascade de quadripôles Exemple On souhaite calculer la réponse fréquentielle correspondant à la mise en cascade de deux circuits RC (gure 1.14). Il est important de noter que dans ce cas on ne peut pas calculer la réponse fréquentielle de l'ensemble en eectuant simplement le produit des deux fonctions de transfert car le courant de sortie du premier circuit I 2 n'est pas nul ; on doit donc utiliser le produit des matrices de transmission pour obtenir la fonction de transfert globale du circuit. I R -I 2 -I 3 =0 U 1 C U 2 C U 3 Figure 1.14.: Filtre passe-bas d'ordre 2 Considérant que la cellule RC est caractérisée par Z = R et Y = jωc, on voit que la matrice correspondante vaut ( ) ( ) 1 + ZY Z 1 + jωrc R = (1.51) Y 1 jωc 1 La matrice globale vaut donc ( 1 + jωrc R (T ) = (T 1 ) (T 2 ) = jωc 1 avec ) ( 1 + jωrc R jωc 1 ) ( ) A B C D A = (1 + jωrc) 2 + jωrc = jωrc + (jωrc) 2 B = (1 + jωrc) R + R C = jωc (1 + jωrc) + jωc D = jωc R + 1 On en déduit donc que la réponse fréquentielle d'un ltre passe-bas d'ordre 2 réalisé par la mise en cascade de deux cellules RC vaut H(jω) 1 A = jωrc + (jωrc) 2 (1.52) En comparant le dénominateur de H(jω) avec sa forme canonique D(jω) = ( ) jω jω 2 + (1.53) Q 0 ω 0 ω 0 c

30 1. Circuits linéaires et amplicateurs on voit que ce ltre est caracérisé par sa pulsation caractéristique et son facteur de qualité qui valent respectivement ω 0 = 1 RC, Q 0 = Réponses indicielles et fréquentielles des circuits d'ordre 1 L'analyse fréquentielle et temporelle des circuits linéaires d'ordre 1 ayant été traitée dans le cours de Théorie des circuits linéaires, on se contente ici d'en rappeler l'essentiel Réponses indicielles Les réponses indicielles (consécutives à l'application d'un saut de tension) des systèmes d'ordre 1 sont entièrement déterminées par le temps caractéristique τ et les valeurs initiale et nale, respectivement, u 0 u(t 0 + ) et u u(t ). On obtient alors ( ( )) t u(t) = u 0 + (u u 0 ) 1 exp τ t = τ ln ( ) u u 0 u u(t) (1.54) Ainsi, pour tracer une réponse indicielle, il sut de connaître les valeurs initiale et nale ainsi que le temps caractéristique (voir gure 1.15) Réponses fréquentielles Dans un diagramme de Bode, la connaissance des deux valeurs asymptotiques sut pour esquisser l'allure des réponses fréquentielles des systèmes d'ordre 1 (voir gure 1.15) car le diagramme est entièrement déterminé par H db (0), H db ( ), pentes : 0 ou ± 20 [db/déc] (1.55) 22 c 2011

31 1.6. Réponses indicielles et fréquentielles des circuits d'ordre 1 u( ) u(t) u(0) t si t = τ: e -1 = 0.37 t = 3τ: e -3 = 0.05 t = 5τ: e -5 = 0.00 τ 3τ 5τ H db ω H(0) H( ) Figure 1.15.: Réponses indicielle et fréquentielle d'un circuit d'ordre 1 c

32 1. Circuits linéaires et amplicateurs 1.7. Analyse de quelques circuits Comme on va le voir dans les exemples ci-après, l'évaluation du comportement asymptotique des circuits linéaires est très simple dès l'instant où on sait que les capacités et inductances peuvent être remplacées par des circuits ouverts ou fermés selon la valeur asymptotique recherchée. u(t) U(jω) t 0 + ω 0 t ω R1 0 C 0 u1(t) C u2(t) u1(t) R1 u2(t) (1) (2) R1 0 R1 C 0 u1(t) R2 u2(t) u1(t) C (3) (4) R2 u2(t) C R1 0 R1 0 u1(t) C R2 u2(t) u1(t) R2 u2(t) (5) (6) 24 c 2011

33 1.7. Analyse de quelques circuits Réponses indicielles u 2 (0+) u 2 ( ) τ u2(t) u2(t) u2(t) t t t c

34 1. Circuits linéaires et amplicateurs u 2 (0+) u 2 ( ) τ u2(t) u2(t) u2(t) t t t 26 c 2011

35 1.7. Analyse de quelques circuits Réponses fréquentielles H(0) H( ) H(jω) HdB ω HdB ω HdB ω c

36 1. Circuits linéaires et amplicateurs H(0) H( ) H(jω) HdB ω HdB ω HdB ω 28 c 2011

37 1.8. Exercices 1.8. Exercices CL 1 : On considère les trois générateurs de tension du premier circuit de la gure 1.16 caractérisés par U 1 = +12 V, U 2 = +6 V, U 3 = 6 V, = 1 kω R 2 = 2 kω R 3 = 3 kω Calculez la tension U co et le courant I cc mesurés entre A et B. Quels sont les générateurs équivalents de Thévenin et Norton? On branche entre A et B une résistance de charge R L = 4 kω ; calculez la puissance qu'elle dissipe. Si on souhaitait obtenir le maximum de puissance sur la charge, quelle valeur donneriez-vous à R L? Rép : U thv = 7.09 V, I nrt = 13 ma, R thv = R nrt = kω, P L = 9.73 mw A +V CC R 2 R 3 U 1 U 2 U 3 R 2 R L B - V CC Figure 1.16.: Exercices CL 1 et CL 2 CL 2 : Considérant le deuxième circuit de la gure 1.16, calculez la tension sur la charge sachant que l'on a V CC = 15 V, = 10 kω, R 2 = 20 kω, R L = 10 kω Rép : U L = +3 V CL 3 : La tension de sortie d'un générateur baisse de 20% lorsqu'on le charge avec une résistance de 1 kω. Quelle est sa résistance interne? Rép : R g = 250 Ω CL 4 : Montrez que la puissance P L fournie à une charge R L par un générateur {U g ; R g } vaut P L = (U g ) 2 R L (R g + R L ) 2 et qu'elle est maximum lorsque R L = R g. c

38 1. Circuits linéaires et amplicateurs Amp 1 : Un amplicateur à très haute impédance d'entrée branché sur une source AC fournit en sortie une tension sinusoïdale d'amplitude 6 V à une charge R L = 1 kω. Sachant que l'amplicateur est alimenté par V CC = +15 V et qu'il consomme un courant de 8 ma, calculez la puissance dissipée par l'amplicateur ainsi que son rendement. Remarque : Le problème est facile à résoudre si vous commencez par dessiner les ux des puissances reçues et fournies par l'amplicateur. Rép : P diss = 102 mw, η = 0.15 Amp 2 : Un capteur modélisé par U g = 1mV eff, R g = 1 MΩ est relié à un amplicateur dont les paramètres sont R in = 2 MΩ, A uo = 10 3 V/V, R out = 2 Ω Sachant que la résistance de charge vaut R L = 10 Ω, calculez les tensions et courants d'entrée et de sortie ainsi que les gains en tension, en courant et en puissance. Exprimez ces valeurs en db. Rép : A u,db = 58.4 db, A i,db = db, A p,db = db Amp 3 : Une source de courant de 1 µa et de résistance interne de 100 kω est suivie d'un amplicateur dont la résistance d'entrée vaut R in = 10 kω. Cet amplicateur fournit alors une tension à vide de 10 V et un courant de court-circuit de 10 ma. Sachant que R L = 4 kω, calculez les gains A u, A i et A p. Rép. : A u = 880, A i = 2200, A p = Amp 4 : Un amplicateur à transconductance caractérisé par R in = 2 kω, G mo = 20 ma/v, R out = 1 kω est relié à une source de tension U g = 20mV, R g = 500 Ω. Sachant que la résistance de charge vaut R L = 5 kω, calculez les gains en tension, en courant et en puissance. Admettant que l'on puisse varier la valeur de la charge, pour quelle valeur de celle-ci aurez-vous le maximum de puissance en sortie? Que vaudront alors les gains en tension, en courant et en puissance? Rép : A u = 16.67, A i = 6.67, A p = 111.1, A u = 10, A i = 20, A p = 200 Amp 5 : Considérant les amplicateurs de tension et à transconductance, dessinez leur schéma et donnez les équivalences paramétriques. Amp 6 : On considère deux amplicateurs mis en cascade et caractérisés par A 1 : R in = 1 MΩ, A uo = 20 V/V, R out = 500 Ω A 2 : R in = 1.5 kω G mo = 0.02 A/V, R out = 100 Ω Les valeurs de A uo et G mo vous paraissent-elles raisonnables? Calculez les gains en tension et en courant A u, A i lorsque R L = 100 Ω. Comment expliquez-vous un tel gain en courant? Rép : A u = 15 [V/V], A i = [A/A] 30 c 2011

39 1.8. Exercices Amp 7 : Reprenant les amplicateurs de l'exercice précédent, quel est l'amplicateur de tension équivalent à la mise en cascade de A 1 et A 2? Idem pour la mise en cascade de A 2 et A 1? Laquelle des deux situations vous paraît-elle préférable lorsque R g = 1 kω et R L = 100 Ω? Rép : 1) R in = 1 MΩ, A uo = 30 [V/V], R out = 100 Ω 2) R in = 1.5 kω, A uo = 40 [V/V], R out = 500 Ω Amp 8 : Deux amplicateurs caractérisés par A 1 : R in = 1 kω, R out = 50 Ω A uo = 3 [V/V] A 2 : R in = 10 kω, R out = 2 kω A uo = 10 [V/V] sont utilisés pour amplier le signal fourni par un générateur {U g = 10 mv, R g = 2 kω} avant de l'appliquer à une charge R L = 100 Ω. 1. Dans quel ordre placez-vous les amplicateurs pour obtenir le maximum de tension en sortie? 2. Dessinez le schéma de l'ensemble source-amplicateurs-charge. 3. Calculez les gains A uo, A io de l'amplicateur équivalent. 4. Calculez la tension de sortie et le gain en puissance. Rép. : U L = 55.5 mv, A P = 4444 [W/W] Amp 9 : Considérant l'amplicateur diérentiel de la gure 1.17 caractérisé par R in = 10 kω A uo1 = A uo2 = +10 [V/V] = 100 Ω, R 2 = 99 Ω avec U 11 = 3.0 V, U 12 = 3.2 V : 1. Calculez littéralement la tension de sortie ; écrivez-la sous la forme U 2 = A u1 U 11 + A u2 U 12 Tirez-en les gains A u1 et A u2. Que valent-ils? 2. Calculez la tension et la résistance de sortie. 3. Que valent les tensions d'entrée en modes diérentiel et commun ainsi que les gains en modes diérentiel et commun? 4. Calculez les tensions de sortie dues, respectivement, aux modes diérentiel et commun. Quelle est l'erreur introduite par cet amplicateur imparfait? 5. Que vaut le taux de réjection de l'amplicateur? 6. Que faudrait-il faire pour que cet amplicateur diérentiel soit parfait? Amp 10 : Dans l'exercice précédent, on a admis que les tensions d'entrée provenaient d'un capteur parfait sans résistance interne. En réalité, le capteur fournit les tensions à vide U g1 = 3.0 V et U g2 = 3.2 V au travers des résistances internes R g1 = 1 kω et R g2 = 1.2 kω. 1. Dessinez le circuit équivalent aux deux générateurs d'entrée chargés par l'amplicateur puis calculez les tensions d'entrée de l'amplicateur U 11 et U Que valent les deux tensions de sortie U 2,dm, U 2,cm? 3. Concluez. c

40 1. Circuits linéaires et amplicateurs R 2 U 11 U dm R in +A uo1 U 11 +A uo2 U 12 U 2 U 12 Figure 1.17.: Exercice Amp 9 Amp 11 : Pour les deux amplicateurs de la gure 1.18, calculez les résistances d'entrée et de sortie ainsi que le gain en tension dénis par R in u 1 R out u 2 A uo u 2 i 1 i 2 u 1 i2 =0 u1 =0 i2 =0 i 1 A i i 1 i 2 i 1 g m u 1 i 2 u 1 R 2 R 3 u2 u 1 R 2 R 3 u2 Figure 1.18.: Exercice Amp 11 CP 1 : Pour chacune des réponses fréquentielles ci-après, tracez avec soin les diagrammes de Bode d'amplitude et de phase. H 5 (jω) = H 1 (jω) = jω/10 3 H 2 (jω) = jω/ jω/10 3 H 3 (jω) = 1 + jω/ jω/10 3 H 4 (jω) = 1 + jω/ jω/ jω/10 2 jω/10 2 (1 + jω/10 3 ) H 6 (jω) = jω/10 2 jω/10 3 (1 + jω/10 3 ) CP 2 : Considérant que l'on applique à l'instant t = 0 un saut de tension d'amplitude 10 V à chacun des quatre circuits de la gure 1.19, on demande 1. Que valent u 2 (t = 0 + ) et u 2 (t )? 2. Quelle est la constante de temps de chaque circuit? 3. Esquissez avec soin chaque réponse indicielle sachant que les éléments R, C ont les valeurs suivantes C = 1µF, = 1 kω, R 2 = 2 kω, R 3 = 3 kω, R 4 = 4 kω. Circuits u Rép. : 2 (0+) [V] u 2 ( ) [V] τ [ms] c 2011

41 1.8. Exercices C R 2 u 1 (t) (1) R 2 R 3 u 2 (t) u 1 (t) (2) C R 3 R 4 u 2 (t) R 2 C u 1 (t) C R 3 u 2 (t) u 1 (t) R 2 R 3 u 2 (t) (3) (4) Figure 1.19.: Circuits d'ordre 1 : Ex. CP2, CP5 et Qp4 CP 3 : On applique un signal carré d'amplitude ±10 V et de période T = 10 ms à un ltre d'ordre 1 caractérisé par R = 1 kω et C = 1 µf. Esquissez avec soin sur un même diagramme les tensions u 1 (t) et u 2 (t) du ltre passe-bas RC. Faites de même pour un ltre passe-haut CR. CP 4 : Répétez l'exercice précédent en considérant un signal carré de période T = 1 ms. CP 5 : Considérant chacun des circuits de la gure 1.19 : 1. Que valent H(ω = 0) et H(ω ) si = R 2 = 10 kω et R 3 = R 4 = 1 kω? 2. Sur la base de ces réponses, esquissez H db. 3. Quelle est la fonction remplie par chaque circuit? 4. Admettant C = 100 nf, que vaut la pulsation caractéristique du dénominateur de la réponse fréquentielle? CP 6 : Une sonde de mesure (atténuation 1/10) associée à l'impédance d'entrée d'un oscilloscope constitue le circuit à la gure On demande : 1. Que valent H(0) et H( )? 2. Calculez pour que la réponse fréquentielle en continu vaille 1/ Calculez C 1 pour que la réponse fréquentielle en THF vaille 1/ Calculez la fonction de transfert H(jω) de l'ensemble et écrivez-la sous forme canonique. 5. Que devient H(jω) si les conditions 2 et 3 sont remplies? Analysez ce résultat. c

42 1. Circuits linéaires et amplicateurs C 1 R 2 = 1 MΩ C 2 = 47 pf A u 1 (t) C 2 R 2 u 2 (t) Sonde Oscilloscope Figure 1.20.: Sonde d'oscilloscope : Ex. CP6 6. Esquissez le diagramme de Bode lorsque i) C 1 = 25 pf, ii) C 1 = 100 pf Expliquez ce qui se passe dans chacune de ces deux situations. 7. Calculez l'impédance vue par le circuit mesuré lorsque la sonde est correctement réglée. 8. Dessinez le schéma équivalent de cette impédance ; quel est l'intérêt d'utiliser une sonde d'oscilloscope? Qp 1 : Calculez la matrice impédance du circuit (a) de la gure 1.21 sachant que R n = n kω. Calculez sa matrice admittance et les valeurs des résistances R A,B,C de sa transformation en un schéma triangle. Rép. : R A = 11 2 kω, R B = 11 1 kω, R C = 11 3 kω Qp 2 : Sachant que R n = n kω, calculez la matrice de transmission du circuit (b) de la gure 1.21 et montrez que son gain vaut 16/99. Qp 3 : Dessinez le schéma de la mise en cascade d'un circuit C 1 (passe-bas) et d'un circuit C 2 R 2 (passe-haut) puis calculez les matrices de transmission. Calculez la fonction de transfert du circuit dans le cas particulier où = R 2 = R et C 1 = C 2 = C. Qp 4 : Pour chacun des circuits de la gure 1.19, on demande : 1. Que valent H(0) et H( )? 2. A l'aide des matrices de transfert, calculez littéralement la réponse fréquentielle H(jω) et écrivez-la sous forme canonique. 3. Vériez que pour ω = 0 et ω vous retrouvez bien les valeurs calculées au point Que valent les pulsations caractéristiques? 34 c 2011

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