Licence «Droit Economie Gestion» Magistère «Développement économique» Chapitre 4. Contrôle optimal Pascale Combes Motel Cerdi CNRS Université d Auvergne
Table des matières CHAPITRE 4. CONTROLE OPTIMAL... 1 1. LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES D ORDRE 1... 2 1.1. Méthode de résolution... 2 1.1.1. Solution générale de l équation homogène... 2 1.1.2. Solution particulière de l équation générale... 3 1.1.3. Solution générale... 3 1.2. Exemples économiques... 3 1.2.1. La contrainte budgétaire inter-temporelle des ménages... 4 1.2.1.1. Solution générale de l équation homogène... 4 1.2.1.1.1. Le taux d intérêt moyen... 4 1.2.1.1.2. Le taux de croissance maximal de l endettement... 5 1.2.1.2. Solution particulière de l équation générale... 5 1.2.1.3. Solution générale : la relation entre la somme actualisée des dépenses de consommation et des salaires... 6 1.2.2. Prix d un actif et absence de bulle spéculative sur les marchés de capitaux... 7 1.2.2.1. La condition d absence d arbitrage dans la détention d actifs... 7 1.2.2.2. Solution générale de l équation homogène... 8 1.2.2.3. Solution particulière de l équation générale... 10 1.2.2.4. Solution générale : la valeur fondamentale d un actif... 10 2. QU EST-CE QU UN PROBLEME DE CONTROLE OPTIMAL?... 13 2.1. Un modèle générique de contrôle optimal... 13 2.2. Exemples d application du contrôle optimal... 15 2.3. La fonction de Hamilton... 20 3. CONDITIONS D OPTIMALITE... 21 3.1. Le principe du maximum de Pontryagine... 21 3.1.1. Les problèmes autonomes... 22 3.1.2. Prise en compte de contraintes statiques... 23 3.2. Les conditions de transversalité... 25 3.2.1. Conditions portant sur la valeur de la variable d état... 25 3.2.1.1. Variable d état terminale libre... 25 3.2.1.2. Variable d état terminale contrainte par valeur minimale... 25 3.2.1.2.1. Remarque 1... 26 3.2.1.2.2. Remarque 2... 26 3.2.1.3. Prise en compte d un critère terminal... 27 3.2.2. Conditions portant sur la date terminale... 27 3.3. Interprétations... 28 3.3.1. Les multiplicateurs dynamiques et la fonction de Hamilton... 29 3.3.1.1. Les multiplicateurs... 29 3.3.1.2. La fonction de Hamilton... 29 3.3.1.3. Exemples... 30 3.3.1.3.1. Valeur de l entreprise... 30 3.3.1.3.2. Fonction de Hamilton et épargne véritable... 31 i
3.3.2. Le principe du maximum... 33 3.4. Illustrations... 34 3.4.1. Illustration 1... 34 3.4.2. Illustration 2. Vente d une denrée périssable par une entreprise en situation de monopole... 36 3.4.3. Illustration 3. Exploitation d une ressource naturelle épuisable en concurrence et en monopole 39 3.4.3.1. La résolution du problème... 40 3.4.3.1.1. Les conditions nécessaires d optimalité... 41 3.4.3.1.2. Les conditions de transversalité... 41 3.4.3.1.3. Effort d exploration... 42 3.4.3.2. Simulation de l évolution du prélèvement et des prix... 43 3.4.3.2.1. Concurrence pure et parfaite... 43 3.4.3.2.2. Le monopole... 45 3.4.4. Illustration 4. Le partage du gâteau avec progrès technique... 47 4. LA REPRESENTATION DES SOLUTIONS... 49 4.1. Etude du système d équations différentielles d ordre 1... 50 4.1.1. Cas général... 50 4.1.2. Exemple : Brander & Taylor 1998... 52 4.2. Le diagramme de phases... 53 4.2.1. Exemple 1 : arbitrage consommation épargne... 53 4.2.1.1. Evolution du multiplicateur dynamique... 54 4.2.1.2. Evolution de la variable d état sur le diagramme de phase... 55 4.2.1.3. Etude de l évolution simultanée du multiplicateur et de la variable d état... 55 4.2.1.4. Vitesse de convergence quand T tend vers l infini... 56 5. ANNEXE... 60 5.1. Résolution d un problème de contrôle optimal avec une feuille de calcul... 60 5.2. Diagrammes de phases... 62 5.2.1. Exemple 2 : Brander & Taylor 1998... 62 5.2.2. Exemple 3 : Plourde 1972... 64 5.2.3. Exemple 4 : Brown 1974... 64 5.2.4. Exemple 5 : Le modèle de Solow augmenté... 64 5.2.4.1. Linéarisation à proximité de l état régulier... 64 5.2.4.2. Le diagramme des phases... 65 Table des illustrations Définition 1. Un problème générique de contrôle optimal... 13 Définition 2. Problème générique de contrôle optimal... 14 Définition 3. Un problème autonome de contrôle optimal... 22 Définition 4. Un problème de contrôle optimal avec contraintes statiques... 24 Définition 5. L arbitrage entre consommation présente et future, formulé sous la forme d un problème de contrôle optimal... 53 Encadré 1. La spéculation... 12 Encadré 2. Le principe de Bellman... 21 Encadré 3. La gestion optimale d une ressource non renouvelable formulée comme un problème de contrôle optimal... 39 Encadré 4. Exploitation de la RNE par une entreprise en présence d effets de stock et d un effort d exploration Contrôle optimal... 43 ii
Figure 1. Evolution du prix d un actif non productif dans l hypothèse d un taux d intérêt constant et variable... 10 Figure 2. Chemin possible du prix d une unité de capital (une action par exemple)... 11 Figure 3. Diagramme de phases... 36 Figure 4. Evolution du prélèvement optimal au cours du temps... 39 Figure 5. Evolution des prix et des quantités en concurrence... 44 Figure 6. Evolution des quantités et des prix dans l hypothèse d un monopole... 46 Figure 7. Evolution du multiplicateur dynamique... 55 Figure 8. Représentation de l évolution de la variable d état sur un diagramme de phase... 55 Figure 9. Représentation de l évolution simultanée du multiplicateur et de la variable d état... 56 Figure 10. Représentation de l évolution simultanée du multiplicateur et de la variable d état compte tenu des conditions initiales et de transversalité... 56 Figure 11. Diagramme de phases : les trajectoires (uniques) vers l état régulier... 59 Figure 12. Résolution d un problème de contrôle optimal sur solveur... 62 Figure 13. Evolution de la population dans le plan (S, L), dans le modèle de Brander et Taylor (1998)... 63 Figure 14. Evolution de la RNR dans le plan (S, L), Brander & Taylor 1998... 63 Figure 15. Dynamique transitionnelle dans le modèle de Brander & Taylor 1998... 64 Figure 16. Diagramme de phases du modèle de Solow augmenté dans l hypothèse d une fonction de production néoclassique Cobb- Douglas... 66 Tableau 1. Exemples de problèmes économiques formulés sous la forme d un problème de contrôle optimal... 16 Tableau 2. La croissance optimale : traitement par la méthode de Lagrange et la technique du contrôle optimal... 18 Tableau 3. Pollution optimale : traitement par la méthode de Lagrange et la technique du contrôle optimal... 19 Tableau 4. Le principe du maximum de Pontryagine d un problème autonome... 23 Tableau 5. Evolution des prix et des quantités prélevées dans l hypothèse de concurrence et d une demande linéaire par rapport au prix... 44 Tableau 6. Evolution des prix et des quantités prélevées dans l hypothèse d un monopole et d une demande linéaire par rapport au prix... 46 Tableau 7. Valeur des paramètres d intérêt... 58 Bibliographie Angel, E. & Bellman, R.E., 1972. Dynamic programming and partial differential equations, New York & London UK: Academic Press. Blanchard, O.J. & Fischer, S., 1993. Consumption and Investment: Basic Infinite Horizons. In Lectures on macroeconomics. Cambridge MA & London UK: MIT Press, pp. 37 90. Brander, J.A. & Taylor, M.S., 1998. The Simple Economics of Easter Island: A Ricardo-Malthus Model of Renewable Resource Use. The American Economic Review, 88(1), pp.119 138. Brown, G., 1974. An Optimal Program for Managing Common Property Resources with Congestion Externalities. The Journal of Political Economy, 82(1), pp.163 173. Cass, D., 1965. Optimum Growth in an Aggregative Model of Capital Accumulation. The Review of Economic Studies, 32(3), pp.233 240. Conrad, J.M., 1999. Resource Economics, Cambridge: Cambridge University Press. Cuthbertson, K., 2000. Économie financière quantitative: Actions, obligations et taux de change, Bruxelles: De Boeck Université. Dorfman, R., 1969. An Economic Interpretation of Optimal Control Theory. The American Economic Review, 59(5), pp.817 831. Hamilton, K., 2002. Accounting for sustainability. Available at: http://info.worldbank.org/etools/docs/library/36500/accountingforsustainbility.pdf [Accessed December 1, 2010]. Hamilton, K. & Atkinson, G.D., 2006. Wealth, welfare and sustainability: advances in measuring sustainable development, Edward Elgar Publishing. Hamilton, K. & Clemens, M., 1999. Genuine Savings Rates in Developing Countries. The World Bank Economic Review, 13(2), pp.333 356. Heal, G.M., 1993. Chapter 18 The optimal use of exhaustible resources. In Handbook of Natural Resource and Energy Economics. Amsterdam: Elsevier Science Publishers, pp. 855 880. Available at: http://www.sciencedirect.com.gate3.inist.fr/science/article/b7p61-4fhf0j9-5/2/3ad025714bb1a2fe59a3fb050806442b [Accessed December 1, 2010]. Kaldor, N., 1987. Spéculation et stabilité économique (1939). Revue française d économie, 2(3), pp.115 164. Kamien, M.I. & Schwartz, N.L., 1991. Dynamic Optimization. The Calculus of Variations and Optimal Control in Economics and Management 2nd ed., Amsterdam: Elsevier Science. Koopmans, T.C., 1965. On the Concept of Optimal Economic Growth. Cowles Foundation Paper, (238). Available at: http://cowles.econ.yale.edu/p/cp/p02a/p0238.pdf [Accessed November 24, 2011]. Krautkraemer, J.A., 1998. Nonrenewable Resource Scarcity. Journal of Economic Literature, 36(4), pp.2065 2107. iii
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