Lycée Naval, Spé. Devoir surveillé n 03 (09/10/14 4h) Pb 1. ésolution de problème À l aide du montage suivant, on obtient les courbes d évolution de la tension aux bornes du condensateur au cours du temps. Montage : les conducteurs ohmiques ont tous pour résistance = 1, 0 MΩ. L ALI est supposé idéal et fonctionnant en régime linéaire. Le montage est dit à «courant constant». E u c C Courbes : les courbes ont été réalisées pour des tensions E valant respectivement 3, 0 V, 5, 0 V et 10 V. On ouvre l interrupteur à l instant t = 0, on le referme en fin d expérience. u c (V) 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0.1 E =10V E =5,0V E =3,0V 0.0 0 1 3 4 5 6 7 8 t (s) + Charge condensateur, courant constant K Pb. Autour de Galiléo Galileo est le nom du programme européen de radionavigation par satellite, qui devrait doter l union européenne de son propre système de navigation, garantissant ainsi son indépendance vis-à-vis des autres dispositifs existants, notamment le système américain (GPS, Global Positioning System) et le système russe (GLO- NASS). Galileo est un ensemble autonome basé sur une constellation de trente satellites en orbite à moyenne altitude, en interaction avec une importante infrastructure terrestre déployée à travers le monde. Il y aura dix satellites sur chacune de trois orbites planes, inclinées d un angle de 56 par rapport au plan équatorial. Cette inclinaison particulière a été choisie pour assurer une bonne couverture des latitudes polaires, actuellement peu desservies par le GPS. Avec cette constellation de 30 satellites, il y aura une forte probabilité qu une personne en un point quelconque du globe, soit en vue d au moins quatre satellites simultanément, si bien qu elle pourra déterminer sa position en utilisant les signaux émis par ces quatre satellites. En effet, il faut au moins quatre satellites pour obtenir une position précise à la surface de la Terre. Dans la plupart des zones du globe, six à huit satellites de Galileo seront en permanence visibles, ce qui permettra une précision de localisation de quelques centimètres. Formulaire et données 1. Formules mathématiques Formules trigonométriques : si p et q sont réels, alors cos p cos q = 1 (cos(p + q) + cos(p q)) ( ) ( ) p + q p q cos p + cos q = cos cos. Constantes fondamentales et grandeurs physiques Constante universelle de gravitation : G = 6, 67 10 11 m 3 kg 1 s Masse de la Terre : M T = 5, 98 10 4 kg ayon de la Terre : T = 6, 38 10 3 km Déterminer, à l aide des informations précédentes, la capacité du condensateur. 1
I- Étude de la trajectoire d un satellite Dans toute cette partie, on étudie un satellite noté S, de masse M = 700 kg, en mouvement autour de la Terre. On supposera que la Terre est sphérique, de rayon T, homogène, et de masse M T. u θ u r S y r θ Terre z x O Schéma du satellite S en révolution autour de la Terre : l axe (Oz) est orthogonal au plan de la trajectoire, et on définit les vecteurs u r et u θ comme indiqué sur le schéma. I-1. Caractéristiques du mouvement de quelques satellites 1) Donner, sans justification, les natures des trajectoires possibles d un satellite en révolution autour de la Terre. pesanteur à la surface de la Terre, T et h. 4.b) Déterminer la valeur numérique de l altitude d un satellite géostationnaire. On donnera les caractéristiques d un tel satellite. 4.c) Calculer la période de révolution du premier satellite du système de positionnement européen Galileo, Giove-A, qui se situe sur une orbite circulaire, à une altitude de 3 km. Ce satellite est-il géostationnaire? 5) Le août 014, un lanceur russe Soyouz a décollé de son pas de tir du Centre spatial guyanais avec à son bord deux satellites Galileo. En raison d un problème, les deux satellites n ont pas été placés sur l orbite circulaire visée. Ils se trouvent aujourd hui sur une orbite elliptique de 5 900 km d apogée et 13 700 km de périgée. Ces satellites ont-ils la même période de révolution que celle de Giove- A? I-. Mesure du champ de pesanteur La période de révolution d un satellite étant reliée à la pesanteur au sol (notée g), on s intéresse dans cette sous-partie à la détermination expérimentale de g. Schéma de l expérience permettant une mesure du champ de pesanteur g à la surface de la Terre. O z ) On suppose que le satellite a une trajectoire circulaire autour de la Terre, à une altitude h. La trajectoire est plane, et on définit l axe z orthogonal à ce plan. On repère le satellite par la distance r par rapport au centre O de la Terre, et θ, l angle entre OS et une direction fixe du plan de la trajectoire. Écrire le vecteur accélération du satellite, considéré comme une masse ponctuelle, dans la base polaire ( u r, u θ ), en fonction de r, et de θ et ses dérivées temporelles. g φ L m 0 3) En appliquant le principe fondamental de la dynamique au satellite : tige (masse m 0, longueur l) 3.a) montrer que la vitesse angulaire du satellite est constante. 3.b) Déterminer l expression de la norme v de la vitesse du satellite. 4) Période de révolution : 4.a) Exprimer la période T du satellite en fonction de g, intensité de la 6) Pour mesurer expérimentalement la valeur de g, on dispose d un pendule, représenté sur la figure ci-dessus. Une tige homogène de masse m 0 = (75±1) g et de longueur l = (50, 0±0, 1) cm
est accrochée par son extrémité à un axe et peut pivoter sans frottement autour de cet axe, appelé (Oz). Une masse m 0 = (1, 00 ± 0, 01) 10 3 g est attachée à une distance L de l axe de rotation. On lâche le pendule sans vitesse initiale, lorsqu il fait un angle φ 0 = 15 avec la verticale, puis on mesure à l aide d un chronomètre cinq périodes d oscillations de durée τ. On note T = τ/5 la période des oscillations. On répète l expérience précédente pour différentes valeurs de L. Les résultats expérimentaux sont rassemblés dans le tableau ci-dessous. L (cm) 5 10 15 0 5 30 40 50 τ (s) 3,5 3,7 4,1 4,6 5,0 5,5 6,4 7,0 6.a) Proposer une expression de la période T du pendule en fonction des paramètres du système. On introduira les hypothèses simplificatrices nécessaires, et on vérifiera que l expérience les justifie. 6.b) Proposer une méthode pour vérifier graphiquement que la loi que vous avez proposée est en accord avec les résultats expérimentaux. Est-ce bien le cas? Si les résultats expérimentaux s éloignent de ce que prévoit la théorie, proposez une ou plusieurs explications possibles. II- 6.c) Déduire des résultats expérimentaux une valeur de g. Modulation d un signal Les ondes électromagnétiques sont le support permettant la communication entre un satellite et une station terrestre, qui reçoit et interprète le signal émis par le satellite. Mais, pour transporter une information, la structure de l onde doit être plus complexe qu une simple onde plane progressive sinusoïdale : les ondes doivent être modulées. Cette partie a pour but d illustrer le principe de la modulation en considérant un signal électrique appelé «porteuse», à une fréquence de l ordre du MHz (plutôt que l onde électromagnétique de fréquence bien plus élevée), et en supposant que l information «à transporter» est un signal audible (un son, une voix, une chanson...). On étudiera ici un type de modulation possible : la modulation d amplitude pour laquelle c est l amplitude de la porteuse qui porte l information intéressante. Dans un premier temps, on étudie la modulation, c est-à-dire la fabrication du signal électrique modulé. Cette étape doit être réalisée avant que le signal soit envoyé sur une antenne émettrice. Puis, dans un second temps, on s intéresse à la démodulation, qui a lieu après réception du signal : à partir du signal électrique reçu, il faut extraire l information transportée (ici le son, la voix, la chanson...) Les schémas de principe des montages d électronique utilisés dans cette partie sont présentés ci-dessous. Le multiplieur : multiplieur u 1 u u s = βu 1 u Schéma de principe d un multiplieur. La tension de sortie est proportionnelle au produit des deux tensions d entrée. La constante β est positive. Montage additionneur : i n P n i P i 1 P 1 additionneur + u s = r 0 (i 1 + i +... + i n ) Schéma de principe d un additionneur. Le montage additionneur délivre une tension proportionnelle à la somme des courants d entrée. La constante r 0, homogène à une résistance, est positive. On admet que les potentiels aux points d entrée P i sont nuls : V P1 =... = V Pi =... = V Pn = 0. II-1. Modulation d amplitude On s intéresse ici à la modulation du signal électrique qui sera envoyé sur l antenne émettrice. Le signal de fréquence élevée, la porteuse, est une tension qui s écrit : U p = U 0 cos(ω p t) L information à transmettre est une tension dont la fréquence est audible, que l on considère pour l instant sinusoïdale : U m = U 1 cos(ω m t) 3
avec U 1 et U 0 deux constantes positives. On injecte ces signaux sur le circuit de la figure ci-dessous. E r 0 P 1 additionneur r 0 P U m (t) + U p (t) multiplieur U (t) U (t) U c (t) C Montage détecteur de crête, constitué d une diode idéale, puis d une résistance et d un condensateur en parallèle. Montage électrique permettant de réaliser un signal modulé en amplitude. La tension U p est appelée porteuse, et la tension U m est la tension modulante. Le circuit précédent comporte un additionneur, caractérisé par la constante r 0, et un multiplieur, caractérisé par la constante β. La tension E est une tension continue positive. On admet que les potentiels aux points P 1 et P sont nuls : V P1 = V P = 0. 7) Que peut-on donc dire du rapport ω p /ω m? 8) Déterminer le signal U(t) en sortie du dispositif. 9) Tracer l allure du graphique U(t), dans le cas où U 1 < E. On fera figurer les différentes échelles caractéristiques temporelles, et de tensions. 10) Montrer que le signal U(t) peut s écrire sous la forme suivante : U(t) = β E U 0 (cos(ω p t) + m cos((ω p + ω m ) t) + m ) cos((ω p ω m ) t) où la grandeur m est à exprimer. 11) Tracer l allure du spectre de U(t). II-. Démodulation d amplitude La tension U(t) est envoyée sur une antenne émettrice, qui transmet un signal à une antenne réceptrice. On souhaite, à partir du signal détecté, extraire le signal intéressant, à savoir la tension U m (t). Pour cela, on suppose que le signal délivré par l antenne réceptrice est exactement U(t). On envoie cette tension sur le montage de la figure ci-dessous, appelé détecteur de crête. Ce montage comporte une diode que l on suppose idéale : lorsqu elle est passante, la tension à ses bornes est nulle, et lorsqu elle est bloquée, le courant qui circule dans la diode est nul. Sa caractéristique est représentée sur la figure cidessous. i D i D u D u D Schéma et caractéristique d une diode supposée idéale : le graphique représente le courant i D traversant la diode en fonction de la tension u D à ses bornes. 1) A quelle condition sur U(t) et U c (t) est-ce que la diode est passante? bloquée? 13) Supposons qu à t = 0, la diode se bloque, la tension U c vaut alors U c (0). 13.a) Etablir l équation différentielle vérifiée par U c (t) pour t > 0. 13.b) La résoudre et tracer la courbe U c (t). 14) Sur le graphique de la figure suivante, sont tracées les allures des courbes U(t) et U c (t). eproduire sur la copie ces allures en identifiant les deux courbes. Indiquer quand la diode est passante, et quand elle est bloquée. 4
Allure des signaux à l entrée et à la sortie du détecteur de crête. 15) Quelle doit être la condition sur ω p, et C pour que la tension de sortie U c (t) reproduise au mieux la "crête" de la tension U(t)? Proposer des valeurs raisonnables pour et C satisfaisant cette condition. 16) En sortie du détecteur de crête, on obtient donc un signal de la forme suivante : U c (t) = E + U m (t) = E + U 1 cos(ω m t) Proposer un montage pour obtenir le signal U m (t) = U 1 cos(ω m t) à partir de la tension U c (t). Préciser les valeurs numériques des composants utilisés. 17) Le montage détecteur de crête a été réalisé afin de démoduler un signal de la forme de U(t). Pour cette expérience, la fréquence de la porteuse a été choisie à 5 khz, alors que la fréquence de la tension U m (t) a été fixée à une valeur de 500 Hz. La figure (page suivante) montre des enregistrement des tensions U(t) et U c (t) pour différentes valeurs de et C. 17.a) Commenter les signaux obtenus dans le cas où = 51 kω et C = 0 nf. La courbe U c (t) est-elle en accord avec l allure théorique attendue de ces deux courbes, présentée à la question 14. Expliquer les éventuelles différences. 17.b) Les autres valeurs de et C ont-elles été bien choisies? On justifiera la réponse avec des ordres de grandeurs quantitatifs. 17.c) Sur toutes les figures, on constate que pour ces trois valeurs différentes de C, après démodulation, on n a jamais retrouvé exactement l allure du signal U m (t) en sortie. Proposer une solution pour améliorer le résultat. Tensions U(t) et U c (t) mesurées : visualisation du signal avant et après démodulation pour = 51 kω et différentes valeurs de C : 0 nf, 4 nf, et 10 nf. 5
Pb 3. Numérisation avant stockage Dans tout système de stockage numérique de données, la première étape est celle de la numérisation. Les signaux du monde réel sont analogiques, pour les transformer en signaux numériques on utilise un convertisseur numérique analogique, noté CAN par la suite. Première partie : convertisseur série Au cœur de tous les convertisseurs se trouve un compteur (noté F sur la figure cidessous), commandé par un signal d horloge (noté D) qui incrémente le compteur à chaque bip d horloge (le compteur est lui même commandé par une logique de commande notée E). La fréquence du signal d horloge est de l ordre de quelques GHz, on la suppose parfaitement stable. Le compteur compte à partir de zéro, dès que la commande de compter lui a été donnée, au rythme imposé par le signal d horloge. Il fournit en sortie un nombre codé sur N bits. 1. Avec quelle précision maximale mesure-t-on une durée à l aide d un compteur dont le signal d horloge a une fréquence f ck = 1 GHz? L architecture des premiers CAN était de type série, elle est modélisée par le dispositif schématisé sur la figure précédente. La tension positive u dont la valeur est comprise entre 0 volt et V ref (V ref = volt), supposée constante pendant la durée de la numérisation, est convertie en un nombre s N. Le convertisseur est composé d un circuit r, C formant le bloc B, d un comparateur A, et d éléments intégrés parmi lesquels le bloc logique de commande E, le générateur de signal d horloge D et le compteur sur N bits F. Les résistances d entrée des blocs A, E et F sont infinies. V (4), son potentiel de sortie V SA est au niveau haut, de sorte que v SA = V SA V M = 5 volt. Lorsque V (3) < V (4), son potentiel de sortie est au niveau bas (v SA = 0 volt). Il commande ainsi le bloc logique E. L interrupteur K est commandé par le bloc logique E, ce qui est symbolisé par un trait pointillé.. Préciser ce qu on appelle masse dans un montage électrique. 3. eprésenter le graphe de la tension v SA = V SA V M en fonction de u. 4. Partant d une situation où le condensateur est déchargé, E commande à l instant t = 0 la mise en position (1) de l interrupteur K. L interrupteur reste dans cette position pendant une durée t 1 = N 1 f ck qui correspond à un cycle complet de comptage du compteur sur N bits. Étudier u en fonction du temps entre t = 0 et t 1. Faire apparaître une constante τ, homogène à un temps, caractéristique du bloc B. Pour toute la suite, on choisit les valeurs de r et C de sorte que t 1 τ. 5. Donner alors l expression simplifiée de u en fonction du temps, ainsi que le lien simplifié entre u 1 et du dt. 6. Quelle est alors la fonction du bloc B? 7. Que vaut v SA entre 0 et t 1? Le bloc de commande fait basculer l interrupteur K en position () à l instant t 1 et déclenche le comptage. Celui-ci dure jusqu à l instant t 1 + t tel que le signal v SA soit modifié. On pourra supposer t τ. 8. Exprimer t en fonction de u, t 1 et V ref. 9. eprésenter sur un même graphe u et u 1 en fonction du temps, entre t = 0 et t = t 1 + t. 10. Quel est le lien entre s N et t? 11. Quelle est la durée maximale de la conversion analogique numérique pour un convertisseur 8 bits commandé par un signal d horloge de fréquence f ck = 1 GHz? En déduire une condition sur la fréquence des signaux qu on peut numériser avec un tel convertisseur. Commenter. Le module A compare les potentiels des nœuds (3) et (4). Lorsque V (3) > 6
Seconde partie : convertisseur parallèle Les convertisseurs plus récents ont une architecture parallèle. La figure suivante représente un convertisseur 3 bits, qui convertit une tension u qui vérifie 0 < u < V ref. Il est composé de 7 comparateurs, d une logique de commande et de résistances de valeur r, r et 3r. Les comparateurs ont une impédance d entrée infinie et délivrent un signal logique qui est au niveau haut lorsque la patte reliée à u a un potentiel supérieur à celui de la patte reliée à V ref par l intermédiaire des résistances. La logique de codage transforme un code thermomètre en code binaire selon le principe suivant : code thermomètre code binaire sur 3 bits 0000000 000 0000001 001 0000011 010 0000111 011 0001111 100 0011111 101 0111111 110 1111111 111 1. Expliquer le fonctionnement de ce convertisseur. On pourra considérer l exemple suivant V ref = V, et u = 1, 8 V.. Pour un convertisseur 8 bits, combien faut-il de comparateurs? 3. Quels sont les avantages et inconvénients comparés des convertisseurs série et parallèle? 7