Cycle Préparatoire Première Année Fabrice Muller Polytech Nice-Sophia Département Electronique Fabrice.Muller@unice.fr http://www.polytech.unice.fr/~fmuller/ pol tech fm ller/ -1-
Plan Les systèmes de numération Fonctions et Circuits Logiques Simplification des Fonctions Logiques Les Différents Codes -2-
Les Systèmes de Numération Les principaux systèmes pondérés Transcodage d un dun système de base B vers le système décimal Transcodage binaire vers la base 2 N et base 2 N vers binaire Arithmétique binaire Représentation binaire des nombres décimaux relatifs -3-
Les principaux systèmes pondérés Le système décimal (1) Pourquoi? Système le plus utilisé par l homme L homme a commencé à se servir de ses 10 doigts pour compter les objets Définition La base d un dun système de numération pondéré est le nombre de symboles différents qu utilise ce système. Pourquoi Pondéré? C est une numération de position dont la place du chiffre dans le nombre est importante. Représentation ti 10 symboles différents noté 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Représentation ti en Base 10 ou décimale -4-
Les principaux systèmes pondérés Le système décimal (2) Exemple 2 0 2x10 3 + 0x10 2 2000 + 0 + + 0 0x10 1 0 3, 2 5 + 3x10 0 + 2x10-1 + 5x10-2 + 3 + 0,2 + 0,05 = 2003,25 Généralisation N 10 = a n a n-1 a 0,a -1 a -m Rang Poids N 10 = a n.10 n + a n-1.10 n-1 + + a 0.10 0 + a -1.10-1 + + a -m.10 -m -5-
Les principaux systèmes pondérés Le système binaire (1) Pourquoi? La plupart des systèmes électriques ne connaissent que 2 états bien déterminés. Soit le courant passe, ce que l on lon représente parfois par un interrupteur fermé Soit le courant ne passe pas, ce que l on représente par un interrupteur ouvert Représentation 2 symboles différents noté 0,1 Représentation en Base 2 ou binaire Remarque Ce codage rend le calcul plus lourd mais la mise en œuvre électrique plus simple. 1 0-6-
Les principaux systèmes pondérés Le système binaire (2) Définitions Le bit Le bit en binaire est l équivalent d un chiffre en base 10. Le bit peut prendre que la valeur 0 ou 1. a n est le bit de poids fort et a -m le bit de poids faible. La capacité d une base La capacité d une base est le plus grand nombre, exprimé en base 10, que l on peut représenter avec n chiffres dont on dispose dans ladite base. Équivalence en décimal N 2 =a n a n-1 a 0, a -1 a -m Poids fort Poids faible Exemple Capacité d un nombre binaire de 5 bits? N max = 11111 2 = 2 5-1 = 31 N =a +a n-1 +a -1 -m 10 n.2 n n-1.2 + + a 0.2 0-1.2 + + a -m.2-7-
Les principaux systèmes pondérés Le système binaire (3) Donner les 16 premières combinaisons combinaisons a 3 a 2 a 1 a 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 10 1 0 1 0 11 1 0 1 1 12 1 1 0 0 13 1 1 0 1 14 1 1 1 0 15 1 1 1 1-8-
Les principaux systèmes pondérés Le système octal Pourquoi? La taille des informations traitées augmente Facilite la conversion (puissance de 2) Diminution du nombre de chiffres à manipuler Représentation 8 symboles différents noté 0,1,2,3,4,5,6,7,,,,,, Représentation en Base 8 (2 3 ) ou octal Équivalence en décimal N 8 = a n a n-1 a 0,a -1 a -m Poids fort Poids faible N 10 = a n.8 n + a n-1.8 n-1 + + a 0.8 0 + a -1.8-1 + + a -m.8 -m -9-
Les principaux systèmes pondérés Le système hexadécimal Pourquoi? La taille des informations traitées augmente toujours Facilite la conversion comme la base 8 (puissance de 2) Diminution i du nombre de chiffres à manipuler Représentation Représentation ti en Base 16 (2 4 ) ou hexadécimal Base 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Base 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Équivalence en décimal N 16 = a n a n-1 a 0,a -1 a -m Poids fort Poids faible N 10 = a n.16 n + a n-1.16 n-1 + + a 0.16 0 + a -1.16-1 + + a -m.16 -m -10-
Les principaux systèmes pondérés Le code DCBN (Décimal Codé Binaire Naturel) Pourquoi? Ressemblance avec le système décimal Facilite la conversion Représentation ti 2 symboles différents noté 0,1 Représentation ti en Base 2 ou binairei Équivalence en décimal N 10 = 178 N DCBN = 0001 0111 1000 1 7 8 Donnez l équivalence de N 10 = 295 N 10 = 295 N DCBN = 0010 1001 0101 2 9 5-11-
Les Systèmes de Numération Les principaux systèmes pondérés Transcodage d un dun système de base B vers le système décimal Transcodage binaire vers la base 2 N et base 2 N vers binaire Arithmétique binaire Représentation binaire des nombres décimaux relatifs -12-
Transcodage d une base B vers la base 10 Il suffit de calculer en base 10 la somme totale des puissances pondérées de la base B. Base 2 100101 2 = 1.2 5 + 0.2 4 + 0.2 3 + 1.2 2 + 0.2 1 + 1.2 0 = 37 10 Base 8 723 8 = 7.8 2 + 2.8 1 + 3.8 0 Base 16 A3D 16 = A.16 2 + 3.16 1 + D.16 0 = 448 + 16 + 3 = 10.16 2 + 3.16 1 + 13.16 0 = 467 10 = 2621 10 = 2560 + 48 + 13 Dans le cas du code DCBN, il suffit de retranscrire les bits par blocs de 4, en partant du bit de poids faible, dans l équivalent décimal Code DCBN 101111000 DCBN 0001 0111 1000 1 7 8-13-
Transcodage Décimal vers une base B Règle générale du transcodage décimal base B (1) Méthode par soustractions successives Cette méthode utilise le développement polynomial Algorithme ai b N = n B i 10 i= m Dresser une table donnant les valeurs des différentes puissances de la base B dans laquelle on convertit le nombre décimal Au nombre décimal donné, retrancher la plus grande puissance de B possible Répéter le processus à partir des restes obtenus Remarque Cette méthode ne s applique qu aux nombres entiers -14-
Transcodage Décimal vers une base B Règle générale du transcodage décimal base B (2) Exemple: convertir 6718 10 en octal Table i 8 i 0 1 1 8 2 64 3 512 4 4096 5 32768 6718 4096 1 1 8 4 1 Pas de poids de rang 2 0 8 2 = 0 2622 512 1 1 8 3 2110 512 1 1 8 3 1 5 0 7 6 1598 512 1 1 8 3 5 8 3 5 8 1086 512 1 1 8 3 574 512 1 1 8 3 62 8 7 7 8 1 7 6 1 6 6 8 0 6 0-15-
Transcodage Décimal vers une base B Règle générale du transcodage décimal base B (3) Méthode par divisions (ou multiplications) Méthode plus simple, plus rapide Convient aux nombres entiers et fractionnaires Tout nombre N, à priori non entier, sera converti en considérant: D une part sa partie entière, à laquelle on appliquera la méthode des divisions successives D autre part sa partie fractionnaire, à laquelle on appliquera la méthode des multiplications successives -16-
Transcodage Décimal vers une base B Règle générale du transcodage décimal base B (4) Conversion de la partie entière Diviser le nombre à convertir par la base du nouveau système Conserver le reste Répéter le processus à partir du nouveau quotient obtenu Arrêter si le quotient est nul Écrire les restes à partir du dernier et de gauche à droite pour obtenir le nombre en base B Exemple: convertir 358 10 en base 8 Poids faibles 358 6 8 44 4 8 5 8 5 0 358 10 = 546 8 Poids forts -17-
Transcodage Décimal vers une base B Règle générale du transcodage décimal base B (5) Autres exemples Convertir 254 10 en base 2 et en base 16 base 10 vers base 2 (b=2) base 10 vers base 16 (b=16) 254 2 0 127 2 1 63 2 1 31 2 E 254 16 14 15 F 1 15 2 1 7 2 254 (10) = FE (16) 1 3 2 1 1 254 (10) = 11111110 (2) -18-
Transcodage Décimal vers une base B Règle générale du transcodage décimal base B (6) Conversion de la partie fractionnaire Multiplier le nombre à convertir par la base du nouveau système Soustraire et conserver sa partie entière Répéter le processus à partir de la nouvelle partie fractionnaire Arrêter quand la précision désirée est atteinte Exemple: convertir 0,732 10 en base 8 0,732 8 = 5,856 5 0,856 8 = 6,848 6 0,848 8 = 6,784 6 0,732 10 = 0,56662 8 0,784 8 = 6,272 6 0,272 8 = 2,176 2 Problème de format!! -19-
Les Systèmes de Numération Les principaux systèmes pondérés Transcodage d un dun système de base B vers le système décimal Transcodage binaire vers la base 2 N et base 2 N vers binaire Arithmétique binaire Représentation binaire des nombres décimaux relatifs -20-
Transcodage Binaire base 2 n et vice-versa L Octal (Base 8) Binaire vers Octal Algorithme Grouper les bits par blocs de 3 à partir du bit de poids faibles Convertir ensuite directement ces blocs en octal Exemple Binaire Octal vers Binaire 110111011,001101 Octal 6 7 3, Algorithme 1 5 Groupement par 3 bits Traduire chaque chiffre du nombre en base 8 en nombre de 3 bits en base 2 Exemple Octal Binaire 2 4 3, 7 4 010100011,111100 Codage sur 3 bits -21-
Transcodage Binaire base 2 n et vice-versa L hexadécimal (Base 16) Table 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 A 1010 B 1011 C 1100 D 1101 E 1110 F 1111 Binaire vers Hexadécimal Algorithme Grouper les bits par blocs de 4 à partir du bit de poids faibles Convertir ensuite directement ces blocs en hexadécimal Exemple Binaire 101111000111,1000 Hexadécimal B C 7, Hexadécimal vers Binaire Algorithme 8 Groupement par 4 bits Traduire chaque chiffre du nombre en base 16 en nombre de 4 bits en base 2 Exemple Hexadécimal B A, 7 Binaire 10111010,0111 Codage sur 4 bits -22-
Transcodage Base i Base j Cas Particulier de 2 bases quelconques Les bases i et j sont toutes les deux des puissances de 2. On utilise alors la base 2 comme base relais Base i Base 2 Base j Les bases i et j ne sont pas toutes les deux des puissances de 2. On utilise alors la base 10 comme base relais Base i Base 10 Base j -23-
Les Systèmes de Numération Les principaux systèmes pondérés Transcodage d un dun système de base B vers le système décimal Transcodage binaire vers la base 2 N et base 2 N vers binaire Arithmétique binaire Représentation binaire des nombres décimaux relatifs -24-
Arithmétique Binaire L Addition Table 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1+0=1 1 1 + 1 = 0 et je retiens 1 (ou retenue 1) + 1 1 1 0 Exemple 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 + 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 Exercice 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 + 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1-25-
Arithmétique Binaire La Multiplication Table 0 0 = 0 0 1 = 0 1 0 = 0 1 1 = 1 Exemple 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 = tout à 0 1 = recopie + décalage + sommation Exercice 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1-26-
Arithmétique Binaire La Soustraction Table 0-0 = 0 0-1 = 1 et j emprunte 1 1-0=1 1-1 = 0 Exemple 1 0 1 1 0 1 1-1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0-1 0 1 1 Explication Rappel 214 1 3 8 0 7 6 1 1 = 0 1 1 = 0 10 1 = 1 et j emprunte 1 1 (1 + 1) = 11 10 = 1 et j emprunte 1 1 (0 + 1) = 1 1 = 0 10 1 = 1 et j emprunte 1 1 1 = 0 Exercice 1 1 0 0 0 0 1 0-1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1-27-
Arithmétique Binaire La Division (1) Table 0 : 0 = 0 impossible! 0 : 1 = 0 1:0=1 1 impossible! 1 : 1 = 1 Exemple 1 0 1 0 1 1 1, 0 1 1 0-1 1 1 0 1 1 1 0, 1 1 0 0 1-1 1 1 1 0 0 0 1 1 1-1 1 0 0 0 1 1 0-1 1 0 0 0 0-28-
Arithmétique Binaire La Division (2) Exercice - Rappel 0-0=0 0 0-1 = 1 et j emprunte 1 1-0 = 1 1-1 = 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0-1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1-1 1 1 1 0 0 0 1 1 0-1 1 0 0 0 0-29-
Les Systèmes de Numération Les principaux systèmes pondérés Transcodage d un dun système de base B vers le système décimal Transcodage binaire vers la base 2 N et base 2 N vers binaire Arithmétique binaire Représentation binaire des nombres décimaux relatifs -30-
Représentation bin. des décimaux relatifs Grandeur des nombres les physiciens affirment qu il y a 10 78 électrons dans l univers. Combien de chiffres faut-il pour représenter un nombre? 79 chiffres Représentation avec un dépend d de la précision i de nombre fini de chiffres qui l ordinateur, de la dépend du format. capacité mémoire 10111 2 => 00010111 2 sur 8 bits -31-
Représentation bin. des décimaux relatifs Grandeur des nombres - Exemple Ensemble des entiers positifs avec 3 chiffres décimaux (1000 éléments) 000, 001, 002, 003,, 999 Impossible à représenter - les nombres supérieurs à 999 - les nombres négatifs - les nombres fractionnaires - les nombres irrationnels Fermeture au regard des opérations - les nombres complexes 600 + 600 = 1200 (trop grand) 003 005 = -2 (négatif) 007 / 002 = 3,5 (n est pas un entier) Algèbre des nombres a = 700, b = 400, c = 300 a + (b c) = (a + b) c 700 + 100 1100-300 800 dépassement -32-
Représentation des décimaux relatifs Les nombres entiers signés - Exemple sur 8 bits (1) Valeur absolue et signée Principe Limites + 4 00000100 + 127 01111111 + 0 00000000-4 10000100-0 10000000-127 11111111 Complément à 1 ou Complément restreint Principe Limites + 4 00000100 + 127 01111111 inversion des bits + 0 00000000-4 11111011-0 11111111-127 10000000-33-
Représentation des décimaux relatifs Les nombres entiers signés - Exemple sur 8 bits (2) Complément à 2 ou Complément vrai Principe + 4 00000100 premier 1 en partant des poids faibles Limites comp. + 127 01111111 à 1 + 11111011 + 4 00000100 00000001 inversion des bits suivants + 0-0 00000000-4 11111100-4 11111100-128 10000000 Complément à Excédent 2 m (m = 7) Principe +4 128 + 4 = 132-4 128 4 = 124 (2 7 ) 10000100 01111100 Intérêt : simplifie toutes les opérations ou les comparaisons (qui se font uniquement sur des nombres positifs). Limites + 127 11111111 + 0-0 10000000-128 00000000-34-
Représentation des décimaux relatifs Les nombres entiers signés - Exercice Représenter le nombre 50 10 et 50 10 en binaire sur 8bit bits dans le cas suivants: Valeur absolue et signée Complément à 1 ou Complément restreint + 50 00110010 + 50 00110010-50 10110010-50 11001101 inversion des bits Complément à 2 ou Complément vrai Complément à Excédent 2 m (m = 7) +50 00110010 comp. à 1 premier 1 en partant des poids faibles + 11001101 + 50 00110010 00000001-50 11001110-50 11001110 Inversion des bits + 50 128 + 50 = 178 10110010-50 128-50 = 78 01001110-35-
Représentation des décimaux relatifs Nombres à virgule fixe - Principe partie entière nombre à virgule fixe = I + F partie fractionnaire Convention pour un nombre N Registre N de n bits (n = i + f) Format partie I (i bits) partie F (f bits) -36-
Représentation des décimaux relatifs Nombres à virgule fixe - Exemple Représentation de N = 47/64 = 0,734375 10 dans un registre de 9 bits avec i=6 et f=3 Conversion en binaire 0,734375 2 = 1,46875 1 0,46875 2 = 0,9375 0 0,9375 2 = 1,875 1 0,875 2 = 1,75 1 0,75 2 = 15 1,5 1 0,5 2 = 1,0 1 N = 0,101111 N = i = 6 f = 3 000000 101 Attention! L équivalent décimal du registre est 1.2-1 +1.2-3 = 0,625 Il y a une perte de précision du fait de la troncature au 3 ème bit. -37-
Représentation des décimaux relatifs Nombres à virgule flottante Principe (1) mantisse nombre flottant = f x 10 e exposant Exemples 3,14 = 3,14 x 10 0 = 0,314 x 10 1 0,000001 = 1,0 x 10-6 = 0,1 x 10-5 1941 = 1,941 x 10 3 = 0,1941 x 10 4-38-
Représentation des décimaux relatifs Nombres à virgule flottante Principe (2) Exemple mantisse signée de 3 chiffres dans l intervalle 0,1 f <1ou zéro exposant signé de 2 chiffres Intervalle = +0,100 x 10-99 à +0,999 x 10 +99 Débordement Nombres négatifs Nombres positifs Débordement supérieur négatif exprimables exprimables supérieur positif 0-39-
Représentation des décimaux relatifs Nombres à virgule flottante Norme IEEE 754 (1) Format Nombre Flottant = ± 1,Mantisse x 2 exposant signe bit = 0 : signe + bit = 1 : signe - exposant Mantisse simple précision (32 bits) 1 bit 8 bits 23 bits double précision (64 bits) 1 bit 11 bits 52 bits précision étendue (80 bits) 1 bit 15 bits 64 bits Codage de l exposant exposant maximum / 2 exposant codé = exposant réel + excédent exposant minimum =-(excédent - 1) exposant maximum = excédent -40-
Représentation des décimaux relatifs Nombres à virgule flottante Norme IEEE 754 (2) Limites Information Simple précision Double précision Bit de signe 1 1 Bit d exposant 8 11 Bit de mantisse 23 52 Nombre total de bits 32 64 Codage de l exposant Excédant 127 Excédant 1023 Variation de l exposant -126 à +127-1022 à +1023 Plus petit nombre normalisé 2-126 2-1022 Plus grand nombre normalisé 2 +128 2 +1024 Échelle des nombres décimaux 10-38 à 10 +38 10-308 à 10 +308 Plus petit nombre dénormalisé 10-45 10-324 -41-
Représentation des décimaux relatifs Nombres à virgule flottante Norme IEEE 754 (3) Normalisé (1, ) Cas Particuliers + / - 0 < exposant < max Configuration quelconque de bits Dénormalisé (nombre inférieur au plus petit nombre flottant normalisé : 0, ) + / - 0 Toute configuration sauf tous les bits à 0 Zéro + / - 0 0 Infini + / - 111 1 0 NaN (Not a Number, Nombre infini / Nombre infini) +/ - 111 1 Toute configuration sauf tous les bits à 0-42-
Exemple 1 Représentation des décimaux relatifs Nombres à virgule flottante Norme IEEE 754 (4) Exemples (Simple Précision) -0,5 (10) -0,100 (2) x 2 0-01,00 (2) x 2-1 exposant = 127 + ( 1) = 126 (10) exposant = 01111110 (2) signe négatif : bit à 1 mantisse = 000 0 1 01111110 00000000000000000000000 2 = BF000000 16 Exemple 2 1,5 (10) +1,100 (2) x 2 0 exposant = 127 + 0 = 127 (10) exposant = 01111111 (2) signe positif : bit à 0 mantisse = 100 0 0 01111111 10000000000000000000000 2 = 3FC00000 16-43-
Problèmes liés à la longueur des nombres Les circuits traitant des nombres de n bits (y compris le bit de signe) peuvent manipuler tous les nombres compris entre 2 n-1 et 2 n-1-1. Exemple N = 8 entraîne un intervalle allant de 128 à +127 Il faut alors que les résultats t partiels ou définitifs itif ne sortent t pas de cet intervalle. Cas de l addition Une retenue peut apparaître (CARRY) Un dépassement de capacité est aussi possible (OVERFLOW) -44-
Problèmes liés à la longueur des nombres -Exemples pes 2 nombres positifs if 49 + 33 82 Addition sur 8 bits (-128 à +127) 0 0110001 + 0 0100001 0 1010010 + 82 49 + 88 137 0 0110001 + 0 1011000 1 0001001 1110111 - +119 Complément à 2 2 nombres négatifs -32 + -31 + 1 1100000 1 1100001-63 1 1 1000001 Retenu perdue -63-32 + -127 + 1 1100000 1 0000001-159 1 0 1100001 +97-45-