Problèmes du premier degré à une ou deux inconnues Rappel Méthodologique Problèmes qui se ramènent à une équation à une inconnue Soit l énoncé suivant : Monsieur Duval a 4 fois l âge de son garçon et sa femme 3 fois. Monsieur et Madame Duval ont ensemble 77 ans. Quel est l âge du garçon? Que cherche t-on? Voir la question qui est posée : Quel est l âge du garçon? Le plus souvent le choix de l inconnue est guidé par la question, mais on peut être amené à faire un autre choix pour simplifier la mise en équation. On choisira dans cet exemple x pour l âge du garçon. Mais il y a deux autres inconnues, l âge de Monsieur et l âge de Madame. Repérer dans l énoncé la phrase qui contient des informations sur les deux autres inconnues : Monsieur Duval a 4 fois l âge de son garçon et sa femme 3 fois : Ces inconnues peuvent être exprimées directement en fonction de x Age de Monsieur Duval : 4x Age de Madame Duval : 3x Repérer la phrase qui permet d écrire l équation à résoudre. Monsieur et Madame Duval ont ensemble 77 ans 4 x + 3x = 77 Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 1/27
Résoudre l équation et donner la solution 7x = 77 x = 11 Le garçon a 11 ans. Vérifier : Monsieur Duval a 44 ans (4 x 11) Madame Duval a 33 ans (3 x 11) Monsieur et Madame Duval ont ensemble 77 ans (44 + 33) Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 2/27
Problèmes qui se ramènent à un système de deux équations à deux inconnues Soit l énoncé suivant : Une salle de spectacle propose deux sortes de spectacles : pièces de théâtre ou concert. Toutes les places sont au même prix mais le tarif n est pas le même s il s agit d une pièce de théâtre ou s il s agit d un concert. Alexandre réserve 2 places pour une pièce de théâtre et 4 places pour un concert, il paie 170. Bérénice réserve 3 places pour une pièce de théâtre et 2 places pour un concert, elle paie 135 Quels sont les tarifs respectifs pour une pièce de théâtre ou pour un concert? Que cherche-t-on? Deux tarifs. : On les nomme x et y et on ne peut pas directement exprimer l un en fonction de l autre. La phrase : «Alexandre réserve 2 places pour une pièce de théâtre et 4 places pour un concert, il paie 170 «permet d écrire une première équation : 2 x + 4y = 170 La phrase : «Bérénice réserve 3 places pour une pièce de théâtre et 2 places pour un concert, elle paie 135» permet d écrire une deuxième équation : 3 x + 2y = 135 On est donc amené à résoudre un système de deux équations à deux inconnues : 2x + 4y = 170 (A) 3x + 2y = 135 (B) Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 3/27
On a le choix entre deux méthodes, la méthode par substitution ou la méthode par combinaison linéaire (voir les dossiers appropriés). Il est plus facile dans cet exemple d utiliser la méthode par combinaison linéaire. 2x + 4y = 170 6x + 4y = 270 4x = 100 x = 25 (A) (2B) (2B - A) En remplaçant x par 25 soit dans l équation (A) soit dans l équation (B), on trouve la valeur de y. Dans (A) 2 25 + 4y = 170 4y = 170 50 = 120 y = 30 Dans (B) 3 25 + 2y = 135 2y = 135 75 = 60 y = 30 Le prix de la place pour une pièce de théâtre est de 25 Le prix de la place pour un concert est de 30 On vérifie dans les deux équations : 2 25 + 4 30 = 170 3 25 + 2 30 = 135 Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 4/27
Exercices Enoncés 1) Dans un service de gériatrie qui compte 24 personnes, il y a 2 fois plus de femmes que d hommes. Quel est le nombre d hommes dans ce service? 2) Un gâteau nécessite les ingrédients suivants : 3 fois plus de farine que de sucre, trois fois plus de sucre que de beurre, et deux fois plus de chocolat que de sucre. Calculer le poids de chaque ingrédient pour un gâteau de 750 g. 3) Dans une assemblée, quarante personnes ont plus de 40 ans, un quart a entre 30 et 40 ans et un tiers a moins de 30 ans. Quel est le nombre de personnes de cette assemblée? 4) Deux nombres sont tels que le plus grand est le triple du plus petit.. Si on ajoute six à chacun, on obtient deux nouveaux nombres tels que le plus grand est le double du plus petit. Quels sont ces deux nombres? 5) Au café des amis consomment la même chose. S ils paient 2,2 chacun il manque 6 au total. S ils paient 2,6 chacun, il manque encore 3,6. Combien sont-ils et quel est le prix de leur consommation? 6) Dans un service administratif il y a 32 personnes. 5 hommes et 3 femmes partent en retraite et ne seront pas remplacés. Il y aura alors 2 fois plus de femmes que d hommes dans ce service. Combien y a-t-il d hommes et de femmes actuellement dans ce service? Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 5/27
7) Un troupeau est composé de dromadaires et de chameaux. On compte 90 têtes et 152 bosses. Sachant qu un dromadaire a une bosse et un chameau 2, combien y a-t-il d animaux de chaque espèce? 8) On dispose de 34 pièces, les unes de 50 centimes d euro, les autres de 20 centimes d euro. Au total elles représentent une somme de 11,60. Combien y a-t-il de pièces de chaque sorte? 9) Un éditeur vient de publier un nouveau roman. Les frais s élèvent à 60 pour chacun des 450 premiers exemplaires et 5 pour chacun des suivants. Le prix de vente du roman est fixé à 28,50. Quel est le nombre minimum d exemplaires à vendre avant de réaliser des bénéfices? 10) Un hôpital remplace régulièrement son petit matériel. Lors d une première commande, 15 thermomètres et 10 tensiomètres ont été acheté pour 1 265. Il fait une deuxième commande de 10 thermomètres et 15 tensiomètres. Le montant de la commande s élève à 1 335. Quel est le prix d un thermomètre et quel le prix d un tensiomètre? Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 6/27
Aide générale Bien lire les énoncés, repérer toutes les informations. Qu est-ce qu on cherche? Combien y a-t-il d inconnues? Transcrire toutes les informations. Repérer la ou les phrases permettant d écrire la ou les équations Résoudre l équation ou le système. Répondre avec précision aux questions posées. Vérifier les résultats. Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 7/27
Corrigés Exercice1 Dans un service de gériatrie qui compte 24 personnes, il y a 2 fois plus de femmes que d hommes. Quel est le nombre d hommes dans ce service? Mise en équation du problème : On cherche le nombre d hommes : soit x le nombre d hommes. Il y a deux fois plus de femmes que d hommes : Le nombre de femmes est 2x Au total il y a 24 personnes : x + 2x = 24 Résolution de l équation : x + 2x = 24 3x = 24 x = 8 Solution : Dans le service de gériatrie, il y a 8 hommes (et 16 femmes) Vérification : Nombre de femmes : 2 x 8 = 16 Au total 8 + 16 = 24 Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 8/27
Exercice 2 Un gâteau nécessite les ingrédients suivants : 3 fois plus de farine que de sucre, trois fois plus de sucre que de beurre, et deux fois plus de chocolat que de sucre. Calculer le poids de chaque ingrédient pour un gâteau de 750 g. Mise en équation du problème : On cherche le poids de chaque ingrédients farine, sucre, beurre et chocolat : le problème ne comporte en réalité qu une seule inconnue le poids de sucre car le poids des autres ingrédients est fonction du poids de sucres On cherche le poids de sucre soit x ce poids Il y a trois fois plus de farine que de sucre Il y a trois fois plus de sucre que de beurre donc il y a trois fois moins de beurre que de sucre Il y a deux fois plus de chocolat que de sucre Au total le gâteau pèse 750g Le poids de farine est 3 x x Le poids de beurre est 3 Le poids de chocolat est x x + 3 x + + 2x = 750 3 2 x Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 9/27
Résolution de l équation : x x + 3x + + 2x = 750 3 3x 9x x 6x + + + = 750 3 3 3 3 19x = 750 3 750 3 x = = 118,4 19 Solution : Le poids de sucre est d environ 118,4g Le poids de farine est d environ 355,2 g (118,4 x 3) Le poids de beurre est d environ 39,5g (118,4 / 3) Le poids de chocolat est d environ 236,8 g (118,4 x 2) Vérification Le poids du gâteau est de : 118,4 + 335,5 + 39,5 + 236,8 749,9 Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 10/27
Exercice 3 Dans une assemblée, quarante personnes ont plus de 40 ans, un quart a entre 30 et 40 ans et un tiers a moins de 30 ans. Quel est le nombre de personnes de cette assemblée? Mise en équation du problème : On cherche le nombre de personnes de l assemblée soit x ce nombre Nombre de personnes de plus de 40 ans Nombre de personnes entre 30 et 40 ans Nombre de personnes de moins de 30 ans 40 le quart du nombre de personnes de l assemblée : 4 x le tiers du nombre de personnes de l assemblée : 3 x Egalité du nombre des personnes x x 40 + + 4 3 = x Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 11/27
Résolution de l équation : x x 40 + + = x 4 3 3x 4x 12x 40 + + = 12 12 12 7x 12x 40 + = 12 12 12x 7x 5x 40 = = 10 12 40 12 x = = 96 5 Solution : Le nombre de personnes de cette assemblée est 96 Vérification : Nombre de personnes de plus de 40 ans : 40 Nombre de personnes entre 30 et 40 ans : 96 = 4 24 Nombre de personnes de moins de 30 ans : 96 = 3 32 40 + 24 + 32 = 96 Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 12/27
Exercice 4 Deux nombres sont tels que le plus grand est le triple du plus petit. Si on ajoute six à chacun, on obtient deux nouveaux nombres tels que le plus grand est le double du plus petit. Quels sont ces deux nombres? Mise en équation du problème : On cherche deux nombres, mais le plus grand est fonction du plus petit, si on trouve la valeur du plus petit on connaîtra celle du plus grand. On cherche le plus petit nombre soit x ce nombre Le plus grand est le triple du plus petit 3x On ajoute 6 au plus petit nouveau plus petit x + 6 On ajoute 6 au plus grand nouveau plus grand 3x + 6 Le nouveau plus grand est le double du nouveau plus petit 3 x + 6 = 2( x + 6) Résolution de l équation : 3x + 6 = 2( x + 6) 3x + 6 = 2x + 12 3x 2x = 12 6 x = 6 Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 13/27
Solution : Le plus petit nombre est 6 Le plus grand nombre est 18 (3 x 6) Vérification : Nouveau plus petit : 6 + 6 = 12 Nouveau plus grand : 18 + 6 = 24 24 = 2 x 12 Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 14/27
Exercice 5 Au café des amis consomment la même chose. S ils paient 2,2 chacun il manque 6 au total. S ils paient 2,6 chacun, il manque encore 3,6. Combien sont-ils et quel est le prix de leur consommation? Mise en équation du problème : Le problème semble être à plusieurs inconnues : le nombre d amis, la somme due et le prix de leur consommation. Si on connaît le nombre d amis et la somme due, on pourra calculer le prix de leur consommation. On cherche le nombre d amis soit x ce nombre On cherche la somme due soit S cette somme S ils paient 2,2 chacun ils donnent ensemble Il manque 6 à la somme due 2,2x la somme due est de 2,2x + 6 S = 2,2x + 6 S ils paient 2,6 chacun ils donnent ensemble Il manque encore 3,6 à la somme due D où l égalité : 2,6x la somme due est de 2,6x + 3, 6 S = 2,6x + 3, 6 2,2x + 6 = 2,6x + 3,6 Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 15/27
En fait on est ramené à une équation à une inconnue Résolution de l équation : 2,2x + 6 = 2,6x + 3,6 6 3,6 = 2,6x 2,2x 2,4 = 0,4x x = 2,4 0,4 = 6 Solution : Ils sont 6 amis La somme due est de 19,2 (2,2 x 6 + 6) ou (2,6 x 6 +3,6) Le prix des consommations est de 3,2 Vérification : S ils paient 2,2 chacun ils donnent ensemble 13,2 il manque bien 6. S ils paient 2,6 chacun ils donnent ensemble 15,6 il manque bien 3,6. Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 16/27
Exercice 6 Dans un service administratif il y a 32 personnes. 5 hommes et 3 femmes partent en retraite et ne seront pas remplacés. Il y aura alors 2 fois plus de femmes que d hommes dans ce service. Combien y a-t-il d hommes et de femmes actuellement dans ce service? Mise en équation du problème : On cherche le nombre d hommes et le nombre de femmes actuellement dans le service : Soit H le nombre d hommes et F le nombre de femmes. Il y a 32 personnes dans le service : H + F = 32 Nombre d hommes après départ en retraite H 5 Nombre de femmes après départ en retraite F-3 Egalité traduisant la phrase : Il y aura 2 fois plus de femmes que d hommes 2(H 5) = F -3 On est ramené à un système de 2 équations à 2 inconnues H + F = 32 2( H 5) = F 3 Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 17/27
On résout ce système par substitution : Avec la première équation : H + F = 32, on exprime H en fonction de F! H = 32 F On remplace H par 32 F dans la deuxième équation 2(32 F 5) = F 3 54 + 3 = F + 2F H = 32 F 2(27 F) = F 3 57 = 3F H = 32 19 54 2F = F 3 F = 19 H = 13 Solution : Actuellement le nombre d hommes est de 13 et le nombre de femmes est de 19. Vérification : Nombre d hommes après le départ en retraite : 13 5 = 8 Nombre de femmes après le départ en retraite : 19 3 = 16 Il y aura bien 2 fois plus de femmes que d hommes Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 18/27
Autre mise en équation plus simple que la précédente : On appelle x le nombre d hommes dans le service après le départ en retraite. Il y a 8 départ en retraite, il restera 24 personnes dans le service et le problème est alors le même que le n 1. La solution est nombre d hommes : 8 nombre de femmes : 16 Actuellement il y a 8 + 5 = 13 hommes Et 16 + 3 = 19 femmes Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 19/27
Exercice 7 Un troupeau est composé de dromadaires et de chameaux. On compte 90 têtes et 152 bosses. Sachant qu un dromadaire a une bosse et un chameau 2, combien y a-t-il d animaux de chaque espèce? Mise en équation du problème : On cherche le nombre de dromadaires et le nombre de chameaux: soit x le nombre de dromadaire et y le nombre de chameaux On compte 90 têtes, il y a x têtes de dromadaires et y têtes de chameaux x + y = 90 On compte 152 bosses : il y a x bosses de dromadaires et 2y bosses de chameaux x + 2y = 152 On est ramené à résoudre un système de 2 équations (A) et (B) à 2 inconnues x et y x + y = 90 (A) x + 2y = 152 (B) Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 20/27
Résolution du système d équations : Par substitution y = 90 x x + 2(90 x) = 152 x + 180 2x = 152 x = 28 y = 90 28 = 62 Par combinaison linéaire ( B) ( A) (x + 2y) ( x + y) = 152 90 y = 62 On remplace y par 62 dans l'équation (A) x + 62 = 90 x = 28 : Solution Il y a 28 dromadaires et 62 chameaux Vérification : 28 + 62 = 90 28 + 2 x 62 = 152 Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 21/27
Exercice 8 On dispose de 34 pièces, les unes de 50 centimes d euro, les autres de 20 centimes d euro Au total elles représentent une somme de 11,60. Combien y a-t-il de pièces de chaque sorte? Mise en équation du problème : On cherche le nombre de pièces de 50 centimes et le nombre de pièces de 20 centimes Attention il faut penser à utiliser les mêmes unités et ne pas mélanger centimes et euros soit x de pièces de 0,50 et y le nombre de pièces de 0,20 Il y a 34 pièces x + y = 34 Pour un total de 11,60 0,50x + 0,20y = 11,60 Résolution : Il faut résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues x + y = 34 0,5x + 0,2 y = 11,6 (A) (B) 0,5x + 0,5y = 34 0,5 = 17 0, 5x + 0, 2y = 116, (0,5A) (B) Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 22/27
0,5 y 0,2y = 17 11,6 0,3y = 5,4 y = 18 x = 34-18 = 16 ( 0,5A - B) Solution : il y a 16 pièces de 50 centimes et 18 pièces de 20 centimes Vérification : 16 + 18 = 34 0,5 x 16 + 0,20 x 18 = 11,6 Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 23/27
Exercice 9 Un éditeur vient de publier un nouveau roman. Les frais s élèvent à 60 pour chacun des 450 premiers exemplaires et 5 pour chacun des suivants. Le prix de vente du roman est fixé à 28,50. Quel est le nombre minimum d exemplaires à vendre avant de réaliser des bénéfices? Mise en équation du problème : On cherche le nombre minimum de roman soit x ce nombre Recettes 28,50 x Frais des 450 premiers 450 x 60 = 27 000 Frais des suivants 5(x 450) Total des frais 27 000 +5(x 450) = 27 000 + 5x - 2250 Il faut que les recettes soient supérieures aux frais pour faire des bénéfices : 28,5x 5x + 24750 Il s agit d une inéquation Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 24/27
Résolution 28,5x 5x 24750 23,5x 24750 x 1053,19 Solution : Le nombre minimum d exemplaires à vendre pour faire des bénéfices est de 1 054 Vérification : Recettes : 1054 x 28,50 =30 039 Frais : 27 000 + 5 x (1 054 450) =27 000 + 5 x 604 = 30 020 Pour 1054 exemplaires vendus les recettes sont légèrement supérieures aux frais Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 25/27
Exercice 10 Un hôpital remplace régulièrement son petit matériel. Lors d une première commande, 15 thermomètres et 10 tensiomètres ont été acheté pour 1 265. Il fait une deuxième commande de 10 thermomètres et 15 tensiomètres. Le montant de la commande s élève à 1 335. Quel est le prix d un thermomètre et le prix d un tensiomètre? Mise en équation du problème : On cherche le prix d un thermomètre et le prix d un tensiomètre soit x le prix d un thermomètre et y le prix d un tensiomètre Montant de la première commande Montant de la deuxième commande 15 x + 10y = 1265 10 x + 15y = 1335 Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 26/27
Résolution Le problème se réduit à la résolution d un système de deux équations à deux inconnues, on utilisera de préférence la méthode par combinaison linéaire en essayant d avoir les plus petits coefficients possibles. 15x + 10y = 1265 10x + 15y = 1335 En multipliant la première équation par 3 et la deuxième par 2 on obtient un nouveau système où il y a le même nombre de «y» dans les deux équations, par différence on a une équation à une inconnue en x 45x + 30y = 3795 20x + 30y = 2670 25x = 1125 x = 45 15 45 + 10y = 1265 10y = 1265 675 = 590 y = 59 Solution : Les thermomètres coûtent 45 et les tensiomètres coûtent 59 Vérification : 15 x 45 +10 x 59 = 1 265 10 x 45 + 15 x 59 = 1 335 Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 27/27