STATISTIQUE Statistique à une variable. Decamp Mauricette. Niveau : 4 ème G Prérequis : définitions des paramètres d une série statistique Objectifs : Etudier une série statistique Interprétation des valeurs centrales et des paramètres de dispersion. TI 84+ : Utilisation des menus Stat List Stat Plot Graph Vars Window Référence : Rémy Coste et Patrice Jacquinot (T 3 France) Enseigner les mathématiques au lycée avec les TI 83-80 Daniel Vagost (I.U.T. Metz) Statistiques (TI 83 plus) T 3 WALLONIE http://www.t3wallonie.be/ 1
1) Un contrôle catastrophique. Voici en vrac, les notes sur 20 obtenues par les élèves d une classe lors d un contrôle de mathématique : 1 7 4 2 2 9 6 6 8 7 3 7 5 7 8 1 0 3 4 6 7 10 7 2 3 4 6 5 3 7 A) Résolution (cas discret). 1. Présenter ces données en tableau, où figureront, pour chaque note de 0 à 10, les effectifs, les effectifs cumulés, les fréquences, les fréquences cumulées en %. 2. Calculer les valeurs centrales : moyenne, médiane, mode, quartiles à 25% et à 75%. 3. Calculer les valeurs de dispersion : étendue, écart-type. 4. Calculer l intervalle [ x σ, x + σ ] et donner le pourcentage d élèves dont la note est comprise dans celui-ci. 5. Représenter à l aide d un diagramme les effectifs et les effectifs cumulés. B) Le gentil professeur! Le test étant manifestement raté (évident même sans les calculs précédents), le gentil professeur (ou le prof «réprimandé» par sa hiérarchie), décide de réagir (positivement )! Deux solutions lui viennent à l esprit : 1. Augmenter toutes les cotes de 5 points 2. Multiplier par 2 toutes les cotes. Chaque élève, réjoui de la bonne nouvelle, y va de son commentaire et choisit la solution qui lui est la plus favorable. Comparer ces deux propositions en retraitant le problème comme ci-dessus et donner bien sur votre avis. (Conseil pédagogique : comparer la courbe de Gauss de chacun des cas est très parlant). C) Résolution en groupant les observations en classe. Reprendre le problème en groupant les cotes en classes. Comparer les diverses valeurs avec celles de la première résolution et observer la perte d information due à ce groupement. T³ WALLONIE http://www.t3wallonie.be/ Statistique à une variable 2
1 )Répartition des données. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 3 2 4 7 2 1 1 2 )Entrées des données. Les données sont entrées dans des listes en utilisant le menu ou en utilisant des accolades. Taper, le menu ci-contre apparaît: Appuyer sur Í Les listes L 1 à L 6 apparaissent. Si elles ne sont pas vides, se placer à l aide des flèches sur la tête de la liste, et appuyer sur. Les six variables de liste tuv se trouvent en bleu au-dessus des touches de À à. On peut aussi effacer le contenu de toutes les listes en utilisant la commande ClrAllLists qui se trouve dans le menu [MEM]. On peut aussi créer des noms de listes : une lettre suivie de zéro à quatre lettres ou chiffres(ex : TEST, A007, ). Pour se faire, on se place sur la tête d une liste et on tape : y [INS] Une nouvelle colonne apparaît et on lui donne un nom. Elle sera alors reprise en tant que variable dans le menu [LIST] Entrons les données. On se place sur la tête de la liste et on introduit la suite des 10 premiers naturels comme suit : seq(i,i,0,10) La commande seq( se trouvant dans [LIST] OPS T³ WALLONIE http://www.t3wallonie.be/ Statistique à une variable 3
Puis remplir L 2 comme ci-contre. 3 )Utilisation du «tableur» La TI 84+ permet d effectuer des calculs entre listes. Calcul des effectifs cumulés : se placer en tête de L 3, et entrer : cumsum([l 2 ]) La commande cumsum( se trouve dans [List] OPS Calcul des fréquences: se placer sur la tête de la liste L 4 et taper : [L 2 ] / sum( [L 2 ])* 100 La commande sum( se trouve en [LIST] MATH T³ WALLONIE http://www.t3wallonie.be/ Statistique à une variable 4
Calcul des fréquences cumulées: se placer sur la tête de la liste L 5, et taper: cumsum([l 4 ]). 4 )Calcul des valeurs centrales et de dispersion. Nous allons maintenant demander à la machine d effectuer tous les calculs. Les x i se trouvant dans L 1 et les effectifs dans L 2. Taper sur CALC 1-Var Stats [L 1 ],[L 2 ] Les résultats s affichent, la flèche devant n signifiant qu il reste des résultats cachés, que l on peut obtenir en utilisant. Remarque 1 : toutes ses valeurs sont stockées dans des variables qu il est possible de récupérer pour affichage ou calcul, dans la rubrique 5 (Statistics) du menu Remarque 2 : notons la présence de deux valeurs de l écart-type Sx et σx ; (σx) 2 est la variance et (Sx) 2 est le quotient des carrés des écarts à la moyenne par n-1 (c est une estimation de la variance de la population de laquelle est issu l échantillon). On peut donc conclure que la cote moyenne des contrôles est de 5 sur 20 pour un écart-type de 2,54 ; que 50% des élèves ont moins de 5,5 et que l étendue est de 10. T³ WALLONIE http://www.t3wallonie.be/ Statistique à une variable 5
5 )Calcul de l intervalle [ x σ, x + σ ] Taper Taper ü-σx Í Par économie de touches, on peut alors taper y [ENTRY] et transformer le moins en un plus à l aide des flèches. En observant cet intervalle et le tableau des données, on peut remarquer que 20 élèves ont une cote comprise entre 2,5 et 7,5 ; ce qui équivaut à 67% de la classe. 6 ) Graphique des effectifs. Les effectifs : taper [STAT PLOT], choisir Plot 1 et remplir comme cicontre : Taper p et remplir comme cicontre : X [-1,12] et Y [-2,10] T³ WALLONIE http://www.t3wallonie.be/ Statistique à une variable 6
Ensuite s. Et à l aide de r, on obtient les coordonnées des points. 7 )On change les cotes. On augmente les cotes de 5 points. Se replacer dans l éditeur de listes : Edit. Se placer sur la tête de la liste L 1 et taper [L 1 ] + 5 Pour obtenir les valeurs moyennes et de dispersion : CALC 1-Var Stats [L 1 ],[L 2 ] On peut donc conclure que la cote moyenne des contrôles est de 10 sur 20 pour un écart-type de 2,54 ; que 50% des élèves ont moins de 10,5 et que l étendue est de 10. On multiplie les cotes par 2 Se placer dans l éditeur de listes, et sur la case de tête de L 1 et taper : [L 1 ] 5 Í suivi de [L 1 ] *2 Puis CALC 1-Var Stats [L 1 ],[L 2 ] On peut donc conclure que la cote moyenne des contrôles est de 10 sur 20 pour un écart-type de 5,08 ; que 50% des élèves ont moins de 11 et que l étendue est de 20. T³ WALLONIE http://www.t3wallonie.be/ Statistique à une variable 7
2) Atelier : les perces-oreilles. Voici la longueur des pinces de 580 perce-oreilles. Après avoir fait une étude statistique de cette série, expliquez pourquoi on peut considérer que cohabitent deux variétés de perce-oreilles. Longueur en mm [2,3[ [3,4[ [4,5[ [5,6[ [6,7[ [7,8[ [8,9[ [9,10[ nombre 6 189 69 18 88 156 52 2 Pour se faire : 1) Entrée des données 2) Calcul des valeurs centrales et de dispersion 3) Histogramme : choisir la fenêtre comme ceci Conclusion : L observation de l histogramme (le «trou» autour de 5,5) permet de faire l hypothèse qu il existe probablement deux types de perce-oreilles : ceux dont la pince mesure moins de 6 mm et les autres ; la moyenne générale n a donc que peu de signification et il serait intéressant de faire l étude des deux sous-populations séparément et de vérifier la linéarité de la moyenne. On observe aussi des écarts-types plus petits que celui de l échantillon complet. T³ WALLONIE http://www.t3wallonie.be/ Statistique à une variable 8