UNIVERSITE PARIS X - NANTERRE U.F.R. de Sciences Economiques, Gestion, Mathématiques et Informatique Deuxième année de Master : Mention Economie Appliquée Mention Monnaie, Banque, Finance, Assurance Année universitaire 2008 2009 Février 2009 Cours de S. LARDIC et V. MIGNON Examen de séries temporelles avancées Durée : 2 heures L'usage des calculatrices est interdit Aucun document n'est autorisé On considère la série du taux de change Dollar/Couronne suédoise à fréquence mensuelle sur la période mai 1989 à mai 2004. Cette série, en logarithme, est notée LSEK. La série en différence première est notée D(LSEK). 1. Commenter de façon détaillée les figures 1 à 4. 2.4 Figure 1. Evolution de LSEK 2.3 2.2 2.1 2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 LSEK 1
Figure 2. Corrélogramme de LSEK.20 Figure 3. Evolution de D(LSEK).15.10.05.00 -.05 -.10 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 D(LSEK) 2
Figure 4. Corrélogramme de D(LSEK) 2. Commenter de façon détaillée la figure 5. Figure 5. Histogramme et statistiques descriptives de la série D(LSEK) 32 28 24 20 16 12 8 4 0-0.10-0.05-0.00 0.05 0.10 0.15 Series: D(LSEK) Sample 1989M05 2004M05 Observations 180 Mean 0.000748 Median -0.000752 Maximum 0.174319 Minimum -0.093430 Std. Dev. 0.032585 Skewness 0.894239 Kurtosis 6.975612 Jarque-Bera 142.5311 Probability 0.000000 3. On s intéresse à l étude la stationnarité de la série LSEK. A cette fin, des tests de Dickey- Fuller Augmenté (ADF) ont été appliqués. 3.1. Rappeler brièvement le principe des tests ADF. 3
3.2. Commenter de façon détaillée les résultats figurant dans les tableaux 1 à 3. On n omettra pas de justifier le choix des différents paramètres. Tableau 1. Test ADF Null Hypothesis: LSEK has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=13) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.987661 0.6037 Test critical values: 1% level -4.010143 5% level -3.435125 10% level -3.141565 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(LSEK) Date: 12/05/04 Time: 14:40 Sample(adjusted): 1989:07 2004:05 Included observations: 179 after adjusting endpoints LSEK(-1) -0.044640 0.022459-1.987661 0.0484 D(LSEK(-1)) 0.169863 0.075224 2.258113 0.0252 C 0.082068 0.040367 2.033078 0.0436 @TREND(1989:05) 9.88E-05 7.55E-05 1.309575 0.1921 R-squared 0.043212 Mean dependent var 0.000790 Adjusted R-squared 0.026810 S.D. dependent var 0.032672 S.E. of regression 0.032231 Akaike info criterion -4.009705 Sum squared resid 0.181792 Schwarz criterion -3.938479 Log likelihood 362.8686 F-statistic 2.634519 Durbin-Watson stat 1.984806 Prob(F-statistic) 0.051420 4
Tableau 2. Test ADF Null Hypothesis: LSEK has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=13) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.350808 0.6053 Test critical values: 1% level -3.466786 5% level -2.877453 10% level -2.575332 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(LSEK) Date: 12/05/04 Time: 14:40 Sample(adjusted): 1989:06 2004:05 Included observations: 180 after adjusting endpoints LSEK(-1) -0.018823 0.013934-1.350808 0.1785 C 0.038849 0.028310 1.372269 0.1717 R-squared 0.010147 Mean dependent var 0.000748 Adjusted R-squared 0.004586 S.D. dependent var 0.032585 S.E. of regression 0.032510 Akaike info criterion -4.003476 Sum squared resid 0.188131 Schwarz criterion -3.967999 Log likelihood 362.3129 F-statistic 1.824683 Durbin-Watson stat 1.697212 Prob(F-statistic) 0.178471 Tableau 3. Test ADF Null Hypothesis: LSEK has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=13) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic 0.191422 0.7407 Test critical values: 1% level -2.577872 5% level -1.942604 10% level -1.615528 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(LSEK) Date: 12/05/04 Time: 14:41 Sample(adjusted): 1989:06 2004:05 Included observations: 180 after adjusting endpoints LSEK(-1) 0.000229 0.001196 0.191422 0.8484 R-squared -0.000325 Mean dependent var 0.000748 Adjusted R-squared -0.000325 S.D. dependent var 0.032585 S.E. of regression 0.032590 Akaike info criterion -4.004063 Sum squared resid 0.190121 Schwarz criterion -3.986325 Log likelihood 361.3657 Durbin-Watson stat 1.711693 5
4. Les tests ADF ont également été appliqués à la série D(LSEK). Les résultats finalement retenus figurent dans le tableau 4. Commenter ces résultats et conclure sur la nature des séries LSEK et D(LSEK). Tableau 4. Test ADF Null Hypothesis: D(LSEK) has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=13) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -11.53698 0.0000 Test critical values: 1% level -2.577945 5% level -1.942614 10% level -1.615522 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(LSEK,2) Date: 12/05/04 Time: 14:41 Sample(adjusted): 1989:07 2004:05 Included observations: 179 after adjusting endpoints D(LSEK(-1)) -0.855678 0.074168-11.53698 0.0000 R-squared 0.427839 Mean dependent var 7.48E-05 Adjusted R-squared 0.427839 S.D. dependent var 0.042753 S.E. of regression 0.032339 Akaike info criterion -4.019514 Sum squared resid 0.186155 Schwarz criterion -4.001707 Log likelihood 360.7465 Durbin-Watson stat 1.978285 5. On cherche à estimer la série D(LSEK) par un processus de type ARMA. 5.1. Rappeler brièvement la méthodologie de Box et Jenkins. 5.2. Trois processus ont été estimés : AR(1), MA(1) et ARMA(1,1). Les résultats obtenus concernant l estimation des modèles et les tests sur les résidus estimés figurent ci-après. Tableau 5. Estimation du processus AR(1) Dependent Variable: D(LSEK) Date: 12/05/04 Time: 15:03 Sample(adjusted): 1989:07 2004:05 Included observations: 179 after adjusting endpoints Convergence achieved after 3 iterations C 0.000802 0.002831 0.283434 0.7772 AR(1) 0.143860 0.074378 1.934161 0.0547 R-squared 0.020698 Mean dependent var 0.000790 Adjusted R-squared 0.015165 S.D. dependent var 0.032672 S.E. of regression 0.032423 Akaike info criterion -4.008794 Sum squared resid 0.186070 Schwarz criterion -3.973181 Log likelihood 360.7871 F-statistic 3.740980 Durbin-Watson stat 1.978309 Prob(F-statistic) 0.054688 6
Tableau 6. Test ARCH sur les résidus du processus AR(1) ARCH Test: F-statistic 2.468328 Probability 0.117957 Obs*R-squared 2.461851 Probability 0.116641 Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Date: 12/05/04 Time: 15:03 Sample(adjusted): 1989:08 2004:05 Included observations: 178 after adjusting endpoints C 0.000914 0.000191 4.775695 0.0000 RESID^2(-1) 0.117651 0.074885 1.571091 0.1180 R-squared 0.013831 Mean dependent var 0.001037 Adjusted R-squared 0.008227 S.D. dependent var 0.002339 S.E. of regression 0.002329 Akaike info criterion -9.275394 Sum squared resid 0.000955 Schwarz criterion -9.239644 Log likelihood 827.5101 F-statistic 2.468328 Durbin-Watson stat 1.995639 Prob(F-statistic) 0.117957 Figure 6. Corrélogramme des résidus du processus AR(1) 7
Tableau 7. Estimation du processus MA(1) Dependent Variable: D(LSEK) Date: 12/05/04 Time: 15:04 Sample(adjusted): 1989:06 2004:05 Included observations: 180 after adjusting endpoints Convergence achieved after 7 iterations Backcast: 1989:05 C 0.000753 0.002805 0.268418 0.7887 MA(1) 0.166502 0.073912 2.252706 0.0255 R-squared 0.023560 Mean dependent var 0.000748 Adjusted R-squared 0.018074 S.D. dependent var 0.032585 S.E. of regression 0.032289 Akaike info criterion -4.017119 Sum squared resid 0.185581 Schwarz criterion -3.981642 Log likelihood 363.5407 F-statistic 4.294875 Durbin-Watson stat 2.021105 Prob(F-statistic) 0.039669 Tableau 8. Test ARCH sur les résidus du processus MA(1) ARCH Test: F-statistic 2.386927 Probability 0.124140 Obs*R-squared 2.381779 Probability 0.122758 Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Date: 12/05/04 Time: 15:04 Sample(adjusted): 1989:07 2004:05 Included observations: 179 after adjusting endpoints C 0.000917 0.000188 4.865247 0.0000 RESID^2(-1) 0.115355 0.074665 1.544968 0.1241 R-squared 0.013306 Mean dependent var 0.001036 Adjusted R-squared 0.007731 S.D. dependent var 0.002308 S.E. of regression 0.002299 Akaike info criterion -9.301678 Sum squared resid 0.000935 Schwarz criterion -9.266065 Log likelihood 834.5002 F-statistic 2.386927 Durbin-Watson stat 1.995169 Prob(F-statistic) 0.124140 8
Figure 7. Corrélogramme des résidus du processus MA(1) Tableau 9. Estimation du processus ARMA(1,1) Dependent Variable: D(LSEK) Date: 12/05/04 Time: 15:05 Sample(adjusted): 1989:07 2004:05 Included observations: 179 after adjusting endpoints Convergence achieved after 96 iterations Backcast: 1989:06 C 0.000811 0.002640 0.307146 0.7591 AR(1) -0.555547 0.207666-2.675198 0.0082 MA(1) 0.713315 0.174843 4.079745 0.0001 R-squared 0.045738 Mean dependent var 0.000790 Adjusted R-squared 0.034894 S.D. dependent var 0.032672 S.E. of regression 0.032096 Akaike info criterion -4.023523 Sum squared resid 0.181312 Schwarz criterion -3.970103 Log likelihood 363.1053 F-statistic 4.217896 Durbin-Watson stat 1.968032 Prob(F-statistic) 0.016246 9
Tableau 10. Test ARCH sur les résidus du processus ARMA(1,1) ARCH Test: F-statistic 1.763747 Probability 0.185877 Obs*R-squared 1.766091 Probability 0.183867 Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Date: 12/05/04 Time: 15:05 Sample(adjusted): 1989:08 2004:05 Included observations: 178 after adjusting endpoints C 0.000915 0.000196 4.658482 0.0000 RESID^2(-1) 0.099632 0.075020 1.328062 0.1859 R-squared 0.009922 Mean dependent var 0.001017 Adjusted R-squared 0.004296 S.D. dependent var 0.002420 S.E. of regression 0.002415 Akaike info criterion -9.203208 Sum squared resid 0.001026 Schwarz criterion -9.167458 Log likelihood 821.0855 F-statistic 1.763747 Durbin-Watson stat 2.004832 Prob(F-statistic) 0.185877 Figure 8. Corrélogramme des résidus du processus ARMA(1,1) Commenter de façon détaillée tous ces résultats à la lumière de la méthodologie de Box et Jenkins. Quel modèle retiendra-t-on finalement pour modéliser la série D(LSEK)? 6. On s intéresse désormais à l évolution conjointe des séries LSEK et LEUR où LEUR désigne le change Dollar/Euro en logarithme. 6.1. Commenter la figure 9. 10
Figure 9. Evolution conjointe de LSEK et LEUR 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0-0.5 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 LSEK LEUR 6.2. Les résultats relatifs à l étude de la stationnarité des séries LEUR et D(LEUR) sont reportés dans les tableaux ci-après. Commenter ces résultats et conclure sur la nature des séries. Tableau 11. Test ADF Null Hypothesis: LEUR has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=13) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -0.889722 0.3294 Test critical values: 1% level -2.577872 5% level -1.942604 10% level -1.615528 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(LEUR) Date: 12/05/04 Time: 14:42 Sample(adjusted): 1989:06 2004:05 Included observations: 180 after adjusting endpoints LEUR(-1) -0.010987 0.012349-0.889722 0.3748 R-squared 0.003727 Mean dependent var -0.000751 Adjusted R-squared 0.003727 S.D. dependent var 0.028930 S.E. of regression 0.028876 Akaike info criterion -4.246082 Sum squared resid 0.149253 Schwarz criterion -4.228343 Log likelihood 383.1474 Durbin-Watson stat 1.717102 11
Tableau 12. Test ADF Null Hypothesis: D(LEUR) has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=13) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -11.65283 0.0000 Test critical values: 1% level -2.577945 5% level -1.942614 10% level -1.615522 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(LEUR,2) Date: 12/05/04 Time: 14:42 Sample(adjusted): 1989:07 2004:05 Included observations: 179 after adjusting endpoints D(LEUR(-1)) -0.864899 0.074222-11.65283 0.0000 R-squared 0.432735 Mean dependent var 0.000102 Adjusted R-squared 0.432735 S.D. dependent var 0.038153 S.E. of regression 0.028736 Akaike info criterion -4.255762 Sum squared resid 0.146985 Schwarz criterion -4.237955 Log likelihood 381.8907 Durbin-Watson stat 1.979904 6.3. Les résultats issus de la régression de LSEK sur LEUR sont reportés dans le tableau ciaprès. Tableau 13. Régression de LSEK sur LEUR Dependent Variable: LSEK Date: 12/05/04 Time: 14:43 Sample: 1989:05 2004:05 Included observations: 181 C 2.172939 0.008677 250.4127 0.0000 LEUR 1.220637 0.049782 24.51986 0.0000 R-squared 0.770579 Mean dependent var 2.024291 Adjusted R-squared 0.769297 S.D. dependent var 0.173901 S.E. of regression 0.083527 Akaike info criterion -2.116301 Sum squared resid 1.248845 Schwarz criterion -2.080959 Log likelihood 193.5253 F-statistic 601.2236 Durbin-Watson stat 0.057704 Prob(F-statistic) 0.000000 Que représente cette relation? 6.4. La figure 10 reporte le corrélogramme des résidus estimés. Le tableau 14 donne les résultats du test ADF appliqué sur les résidus estimés. Commenter de façon détaillée cette figure et ces résultats. En déduire la nature du modèle qu il convient d estimer entre D(LSEK) et D(LEUR). 12
Figure 10. Corrélogramme des résidus estimés Tableau 14. Test ADF sur les résidus estimés Null Hypothesis: RESIDUS has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=13) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -2.585983 0.0098 Test critical values: 1% level -2.577872 5% level -1.942604 10% level -1.615528 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(RESIDUS) Date: 12/05/04 Time: 14:44 Sample(adjusted): 1989:06 2004:05 Included observations: 180 after adjusting endpoints RESIDUS(-1) -0.045706 0.017674-2.585983 0.0105 R-squared 0.029291 Mean dependent var 0.001665 Adjusted R-squared 0.029291 S.D. dependent var 0.019995 S.E. of regression 0.019700 Akaike info criterion -5.010853 Sum squared resid 0.069468 Schwarz criterion -4.993114 Log likelihood 451.9768 Durbin-Watson stat 1.715377 6.5. Le modèle estimé ci-après vous semble-t-il correct? Justifiez votre réponse. 13
Tableau 15. Modèle estimé entre D(LSEK) et D(LEUR) Error Correction: D(LSEK) D(LEUR) RESIDUS(-1) -0.013991 0.028009 [-0.47608] [ 1.07967] D(LSEK(-1)) 0.044289-0.097484 [ 0.32617] [-0.81329] D(LSEK(-2)) -0.018846-0.099610 [-0.13862] [-0.82998] D(LEUR(-1)) 0.143296 0.229026 [ 0.93680] [ 1.69615] D(LEUR(-2)) -0.044411 0.052554 [-0.28917] [ 0.38764] C 0.001057-6.24E-05 [ 0.42989] [-0.02876] R-squared 0.030287 0.034281 Adj. R-squared 0.002098 0.006208 Sum sq. resids 0.182662 0.142334 S.E. equation 0.032588 0.028767 F-statistic 1.074422 1.221125 Log likelihood 359.9181 382.1201 Akaike AIC -3.976608-4.226069 Schwarz SC -3.869357-4.118818 Mean dependent 0.001016-0.000412 S.D. dependent 0.032622 0.028856 Note : Les termes entre crochets sont les t de Student des coefficients estimés. 14
Annexe : tables de valeurs critiques Valeurs critiques du test de Dickey-Fuller Valeurs critiques des t de Student pour ρ = 1 Nombre Seuil de probabilité d'observations 1 % 5 % 10 % Modèle sans constante ni tendance 100-2,60-1,95-1,61 250-2,58-1,95-1,62 500-2,58-1,95-1,62-2,58-1,95-1,62 Modèle avec constante sans tendance 100-3,51-2,89-2,58 250-3,46-2,88-2,57 500-3,44-2,87-2,57-3,43-2,86-2,57 Modèle avec constante et tendance 100-4,04-3,45-3,15 250-3,99-3,43-3,13 500-3,98-3,42-3,13-3,96-3,41-3,12 Valeurs critiques de la constante et de la tendance Modèle avec constante Modèle avec constante et tendance sans tendance t constante = 0 t constante = 0 t trend = 0 N obs. 1 % 5 % 10 % 1 % 5 % 10 % 1 % 5 % 10 % 100 3,22 2,54 2,17 3,78 3,11 2,73 3,53 2,79 2,38 250 3,19 2,53 2,16 3,74 3,09 2,73 3,49 2,79 2,38 500 3,18 2,52 2,16 3,72 3,08 2,72 3,48 2,78 2,38 3,18 2,52 2,16 3,71 3,08 2,72 3,46 2,78 2,38 15
Valeurs critiques de Engle et Yoo (1987) Cette annexe reporte les tables de Engle et Yoo (1987) pour un nombre de variables égal à deux. Valeurs critiques pour le test d'absence de cointégration de Dickey Fuller (p = 0) (cas de deux variables) Taille de l'échantillon Niveau de significativité 1% 5% 10% 50-4,32-3,67-3,28 100-4,07-3,37-3,03 200-4,00-3,37-3,02 Valeurs critiques pour le test d'absence de cointégration de Dickey - Fuller Augmenté (p = 4) (cas de deux variables) Taille de l'échantillon Niveau de significativité 1% 5% 10% 50-4,12-3,29-2,90 100-3,73-3,17-2,91 200-3,78-3,25-2,98 16