FONCTION AFFINE Nous avons vu qu'une fonction linéaire est une "calculatrice" qui n'effectue qu'une seule opération : elle multiplie toujours par un même nombre. Nous allons maintenant utiliser une "calculatrice" un peu plus perfectionnée : elle multiplie toujours par un nombre fixé, puis elle ajoute toujours un autre nombre fixé. Cette "calculatrice" correspond à une fonction affine. Sur le cahier de leçons : I Définition d'une fonction affine Définition : soient a et b deux nombres relatifs fixés. Une fonction affine est une fonction qui multiplie un nombre par a, puis qui ajoute b. On note f : x ax + b ou f (x) = ax + b. Exemple : On considère la fonction h : x -6x + 4. Cette fonction multiplie un nombre x par -6, puis ajoute 4; donc h est une fonction affine. h (3) = 6 3 + 4 = 18 + 4 = 14 d'où l'image de 3 par h est 14. Remarque : f (0) = a x 0 + b = b. Donc b est l'image de 0 par f. Cas particuliers : Si b = 0 alors la fonction x ax + b devient x ax ; ainsi une fonction linéaire est une fonction affine particulière. Si a = 0 alors la fonction x ax + b devient x b ; par cette fonction, tous les nombres ont la même image b; on dit que c'est une fonction constante. Une fonction constante est elle-aussi une fonction affine particulière. Sur le cahier d'exercices : Exercice 1 p 166.
Sur le cahier de leçons : Propriété : Soit f une fonction affine non constante (donc a 0), alors tout nombre admet un seul antécédent par cette fonction. Exemple : soit la fonction affine j : x 9x 5. Pour chercher un antécédent de 31, je résous l'équation j (x) = 31, ce qui donne 9x 5 = 31 d'où 9 x=31 5 9 x=36 x= 36. 9 =4 Donc l'antécédent de 31 par j est 4. Remarque : si f est une fonction constante définie par f : x b, alors le nombre b admet tous les nombres comme antécédents, mais tout nombre différent de b n'a pas d'antécédent. Sur le cahier d'exercices : Exercice 6 p 166. Exercice 22 p 167.
II Proportionnalité des accroissements Sur le cahier d'exercices : Activité. Soit la fonction affine j : x 9x 5. Calculer les quotients suivants : j 2 j 1 2 1 Que constate-t-on? ; j 3 j 1 3 1 ; j 1 j 2 1 2 ; j 2 j 5 2 5 ; j 3 j 2 3 2 Vocabulaire : Le calcul j(2) j(1) s'appelle l'accroissement de j(1) à j(2). Le calcul 2 1 s'appelle l'accroissement de 1 à 2. Les cinq quotients sont égaux, on peut donc penser que l'accroissement des valeurs de j(x) est proportionnel à l'accroissement des valeurs de x, et tous ces quotients sont égaux à a (ici a = 9). On généralise ce résultat. Sur le cahier de leçons : Propriété : soient a et b deux nombres relatifs et f la fonction affine f (x) = ax + b. Pour tous nombres distincts x 1 et x 2, on a f x 2 f x 1 x 2 x 1 = a. Remarques : Pour une fonction affine f : x ax + b, les accroissements des valeurs de f (x) sont proportionnelles aux accroissements des valeurs de x. Cette propriété permet de calculer le nombre a connaissant deux nombres et leurs images. Exemple : g est une fonction affine telle que g (4) = 7 et g (9) = 22, alors a = g 9 g 4 = 22 7 = 15 9 4 5 5 =3.
Sur le cahier d'exercices : Exercice 26 p 168. Exercice 31 p 168. Exercice 33 p 168. Exercice 34 p 168.
Sur le cahier de leçons : III Représentation graphique Propriété : soient a et b deux nombres relatifs et f la fonction affine f (x) = ax + b. La représentation graphique de la fonction affine f dans un repère orthogonal, est une droite. On se souvient que la représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite (d). Pour construire cette droite, il faut connaître deux points et comme (d) passe par l'origine, on a déjà le point de coordonnées (0 ; 0). Pour déterminer les coordonnées d'un second point, il faut donner une valeur à x et calculer son image. On utilise la même démarche pour construire la droite correspondant à une fonction affine. On a vu dans le chapitre I que l'image de 0 par f est b, donc la droite passe cette fois par le point de coordonnées (0 ; b). Pour déterminer les coordonnées d'un second point, il faut donner une valeur à x et calculer son image. Soit (d) la droite représentant graphiquement la fonction affine f : x ax + b. Propriété : la droite (d) coupe l'axe des ordonnées au point B de coordonnées (0 ; b). Définitions : le nombre b s'appelle l'ordonnée à l'origine de la droite (d). (cela signifie que b est l'ordonnée du point de la droite (d) d'abscisse 0) Le nombre a s'appelle le coefficient directeur de la droite (d). (cela signifie que a donne une indication sur la façon dont est "penchée" la droite (d), c'est-à-dire la direction de la droite(d)) Exemple : soit la fonction affine j : x 1 2 x 2. On sait que la représentation graphique de j est une droite (d). Pour construire cette droite, il faut connaître deux points. (d) coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; b), donc on a déjà le point B de coordonnées (0 ; 2). Pour déterminer les coordonnées d'un second point, il faut donner une valeur à x et calculer son image. Prenons par exemple x = 6, alors j ( 6) = point A ( 6 ; 1). Remarque : le coefficient directeur 1 2 1 2 6 2= 6 2 2=3 2=1. La droite (d) passe alors par le de la droite (d) est négatif, donc (d) "descend". Si M x M ; y M est sur la droite (d), cela signifie que y M est l'image de x M donc y M = a x M + b. Si y M = a x M + b alors le point M x M ; y M est sur la droite (d).
Remarque : dans le cas d'une fonction constante, la droite (d) est parallèle à l'axe des abscisses (donc horizontale), car tous ses points ont la même ordonnée b. Déterminer graphiquement une fonction affine : Soit (d) la représentation graphique d'une fonction affine f. pour lire graphiquement la valeur de l'ordonnée à l'origine b, il suffit de regarder où la droite coupe l'axe des ordonnées et de prendre l'ordonnée du point d'intersection. Sur le graphique ci-dessus, la droite (d) coupe l'axe des ordonnées au point B d'ordonnée 3, donc b = 3. pour lire graphiquement la valeur du coefficient directeur a, on utilise le quotient des accroissements avec deux points de la droite. On prend deux points au hasard sur la droite, par exemple B et C. Quand on passe du point B au point C (on se déplace de la gauche vers la droite), l'accroissement des x est de 5 unités et l'accroissement des f (x) est de 3 unités donc a = Ainsi, la fonction affine f est définie par f : x 3 5 x 3. 3 5.
Sur le cahier d'exercices : Exercice 8 p 166. Exercice 9 p 166. Exercice 10 p 166. Exercice 12 p 166. Exercice 36 p 169.
Exercice 41 p 169. Exercice 43 p 169. Exercice 53 p 170.
Exercice 75 p 174.