Terminale STG Chapitre 4 : taux d'évolution page n La presse quotidienne ou hebdomadaire et les journaux télévisés contiennent souvent dans leurs sujets économiques des informations sous la forme de pourcentages, de taux ou d'indices Il est important de savoir les lire et les interpréter pour éviter des contresens ou des fausses interprétations Lorsque nous faisons nos courses nous sommes sans cesse confrontés à des diminutions de prix ou à des graphiques donnant l'indice du prix d'un chariot type Dans ce chapitre, nous allons aborder les notions de taux d'évolution et d'indice E Activité avec des puissances N Si l'aire d'un carré de côté a est égale à 6 cm² alors a vérifie a² = 6 Et pour calculer a on écrit a² = 6 a = 6 car a > 0 Mais on pourrait aussi écrire a² = 6 a = 6 Ce qui se lit a est égal à 6 exposant un demi Ecrire sur votre calculatrice 6 et constater que cela fait bien 4 Si le volume d'un cube de côté a est égal à 8 cm 3 alors a vérifie a 3 = 8 Et pour calculer a on écrit a 3 = 8 a = 3 8 = car 3 = 8 et car a > 0 Mais on pourrait aussi écrire a 3 = 8 a = 83 Ce qui se lit a est égal à 8 exposant un tiers Ecrire sur votre calculatrice 83 et constater que cela fait bien Exposants fractionnaires Soient a et b deux nombres réels positifs Soit n un entier naturel supérieur à Alors a n = b a = b n Ce qui se lit " a puissance n égal b équivaut à a égal b exposant un sur n " On dit que a est la racine n-ième de b Pour calculer b n, on tape sur la calculatrice b ^ ( / n ) = Exemple : cherchons t tel que t = 0,98 Sur la CASIO graph 5 taper 098 ^ ( / ) La calculatrice répond - 0,006843 Sur la copie, on arrondi à - 0,7 % c'est à dire une baisse de 0,7 %
Terminale STG Chapitre 4 : taux d'évolution page n E Critique d'une déclaration N Le chiffre d'affaires de l'entreprise de Monsieur Taux a augmenté de 5 % en 3 ans Monsieur taux affirme que la croissance annuelle de son entreprise est d'environ 5 % Etes vous d'accord? Justifiez votre réponse Taux d'évolution moyen Soient y et y deux nombres réels strictement positifs On appelle variation relative de y à y ( ou bien taux d'évolution de y à y ) le nombre t = y y y Soient y et y deux nombres réels strictement positifs Soit t le taux d'évolution de y à y Alors le coefficient multiplicateur de y à y est le nombre + t Et on a y = ( + t ) y Si une quantité subit deux évolutions successives à des taux respectifs t et t, Alors le taux global est T et T vérifie + T = ( + t ) ( + t ) On appelle taux moyen d'évolution le taux unique t qui répété deux fois fournit le même résultat que les deux évolutions successives c'est à dire + T = ( + t )² Autrement dit ( + t )² = ( + t ) ( + t ) Le taux global d'évolution correspondant à n évolutions successives de taux respectifs t, t,, t n est le réel T tel que + T = ( + t ) ( + t ) ( + t n ) Le taux d'évolution moyen correspondant à n évolutions successives de taux respectifs t, t,, t n est le réel t qui répété plusieurs fois fournit le même résultat que les n évolutions successives précédentes t vérifie + T = ( + t ) n = ( + t ) ( + t ) ( + t n ) Schéma explicatif : voir feuille annexe Exemple : le nombre de chômeurs du pays Imaginaire a baissé de % en un an Calculer le taux d'évolution mensuel moyen du nombre de chômeurs Voir feuille annexe
Terminale STG Chapitre 4 : taux d'évolution page n 3 E3 Savoir trouver le taux moyen connaissant le taux global N 3 Le prix d'une calculatrice a successivement baissé de 0 %, augmenté de 0 % puis baissé de 0 % et augmenté de 0 % Calculer le taux d'évolution moyen des quatre évolutions successives du prix de cette calculatrice N 4 Le SMIC horaire a augmenté de 5, % en 00 par rapport à l'année 000, de 3, % en 00 puis de 3,8 % en 003 Déterminer le taux moyen annuel d'augmentation du SMIC horaire N 5 Le premier janvier 006 un employé de l'entreprise de Monsieur Taux gagne 00 par mois Le premier mai son salaire est augmenté de 5 % Le premier août il est augmenté de 0 % Quel sera le salaire de cet employé en décembre 006? Quel est le taux d'augmentation de ce salaire entre les mois de janvier et de décembre? Si le salaire avait été augmenté tous les mois de t %, quelle serait la valeur de t pour obtenir le même salaire au mois de décembre? 3 Moyenne géométrique On appelle moyenne géométrique de n nombres réels x, x,, x n strictement positifs le nombre n x xn ) ( x Exemple : voir feuille annexe Remarque : lien avec le taux d'évolution moyen Le taux d'évolution moyen correspondant à n évolutions successives de taux respectifs t, t,, t n est le réel t qui répété plusieurs fois fournit le même résultat que les n évolutions successives précédentes ( + t + )(+ t)( tn) t vérifie donc ( + t ) n = ( + t ) ( + t ) ( + t n ) + t = [ ] n Autrement dit le coefficient multiplicateur moyen + t est la moyenne géométrique des coefficients multiplicateurs successifs E4 Savoir calculer la moyenne géométrique de plusieurs nombres réels positifs N 6 Déterminer les moyennes géométriques des réels suivants : a 40 et 0,4 b 5 ; 3 et 5 c ; 7 ; 0 et 5 d 0, ; 0,7 ; 0,5 ; 4 et
Terminale STG Chapitre 4 : taux d'évolution page n 4 E5 Savoir calculer le taux moyen de n évolutions successives N 7 Au cours de l'année 005, le prix d'un cartable a successivement augmenté de 0 % puis de 5 % et enfin baissé de 7 % Calculer le taux d'évolution moyen des trois évolutions successives du prix N 8 Un commerçant a pour habitude de baisser ses prix de 0 % une heure avant la fermeture de la braderie puis encore de 50 % une demi-heure avant la fermeture Calculer le taux d'évolution moyen des deux évolutions successives des prix Donner une valeur arrondie à 0, % près du résultat N 9 Monsieur Taux consulte les cours de la bourse Il constate que le cours de l'action sur le sucre a augmenté successivement de,4 % et 0,5 % puis a baissé de 0,8 % et de 0, % Calculer le taux d'évolution moyen des quatre évolutions successives et en donner une valeur arrondie à 0,0 % E6 Vers la notion d'indice N 0 Gwendoline a placé 5 00 Le capital au bout d'un an s'élève à 5980 Sans calculer le taux d'intérêt annuel, calculer le capital qu'aurait acquis sa petite sœur si elle avait placé 00 dans les mêmes conditions Gwaennael a placé 500 Le capital au bout d'un an s'élève à 875 Sans calculer le taux d'intérêt annuel, calculer le capital qu'aurait acquis sa petite sœur si elle avait placé 00 dans les mêmes conditions 3 Lequel de ces deux placements est le plus avantageux? 4 Indice Soient y et y deux nombres réels strictement positifs On appelle indice simple de y par rapport à y le nombre I = 00 y y Remarques On dira indice au lieu de indice simple Un indice est un nombre réel strictement positif Un indice supérieur à 00 correspond à une hausse ( y > y ) Un indice inférieur à 00 correspond à une baisse ( y < y ) Un indice égal à 00 correspond à une stabilité ( y = y ) Un indice traduit une évolution par rapport à une quantité prise comme référence
Terminale STG Chapitre 4 : taux d'évolution page n 5 Tableau pour retenir : voir feuille annexe Passage de l'indice au taux d'évolution et réciproquement L'indice I de y par rapport à y et le taux d'évolution t de y à y sont reliés par les égalités : I = 00 ( + t ) et t = I 00 00 Démonstration : voir feuille annexe E7 Savoir calculer l'indice de y par rapport à y N Considérons l'entreprise de Monsieur Taux Son chiffre d'affaires après trois ans d'activité est égal à y = 9, millions d'euros Son chiffre d'affaires après 4 ans d'activité est égal à y = 8,5 millions d'euros Calculer l'indice de y par rapport à y N Voici en millions de tonnes, la consommation de pétrole pour la France 978 000 00 00 France 9 97 97 94 On choisit l'année 978 comme année de référence ( indice 00 ) Calculer l'indice de consommation pour les autres années N 3 Monsieur Taux possède une voiture qui consomme 8 litres de super sans plomb aux 00 km En 003, il a parcouru 0 000 km et l'essence valait,08 le litre En 004, il a parcouru 5 000 km et l'essence valait,0 le litre En prenant comme année de référence 003, calculer : A ) l'indice du prix d'un litre d'essence en 004 B ) l'indice du nombre de kilomètres parcourus par Monsieur Taux en 004 C ) l'indice de la dépense de carburant de Monsieur taux E8 Savoir passer de l'indice au taux d'évolution et réciproquement N 4 Considérons l'entreprise de Monsieur Taux et ses chiffres d'affaires en millions d'euros 00 00 003 004 Chiffre d'affaires y = 6,8 y = 8,364 y 3 = 9, y 4 = 8,5 A ) Sachant que l'indice de y par rapport à y est égal à 3, calculer le taux d'évolution t de y à y B ) Sachant que le taux d'évolution de y 3 à y 4 est égal à 7,5 %, calculer l'indice de y 4 par rapport à y 3
Terminale STG Chapitre 4 : taux d'évolution page n 6 N 5 En 973, la consommation française de carburant automobile était de 5,8 millions de tonnes On choisit 973 comme année de référence En 985, l'indice de consommation était de 4 En 00, l'indice de consommation était de 83 A ) Calculer la consommation de carburant en 985 puis en 00 B ) En utilisant les indices, calculer le taux d'évolution de 985 à 00 N 6 L'indice du nombre d'élèves du lycée Saint Antoine en septembre 006 par rapport au nombre d'élèves en septembre 005 est égal à 95,3 S'agit il d'une augmentation ou d'une diminution du nombre d'élèves entre septembre 005 et septembre 006? Quel est le taux d'évolution du nombre d'élèves entre la rentrée 005 et la rentrée 006? E9 Activité pour approcher des taux N 7 Taux réciproque Soient deux nombres réels strictement positifs y et y Soit t le taux d'évolution de y à y Soit t ' le taux d'évolution de y à y On passe de y à y par une évolution puis on revient à y par l'évolution réciproque Cette situation peut être visualisée par le schéma suivant : ( + t ) ( + t ' ) y y y Alors le coefficient multiplicateur réciproque de y à y est l'inverse du coefficient multiplicateur de y à y Autrement dit + t ' = + t Le taux d'évolution réciproque de y à y est donc t ' = + t A ) Recopier et compléter le tableau suivant : Taux t 0 % 5 % 0 % 5% % % Calcul de +t Calcul de t Calcul de la différence B ) Que pouvez vous conclure de ce tableau?
Terminale STG Chapitre 4 : taux d'évolution page n 7 N 8 Evolutions successives A ) Sur votre calculatrice rentrer la fonction f ( x ) = ( + x )² et g ( x ) = + x B ) Aller dans TABLE et demander les tableaux de valeurs pour x = 0 jusqu'à x = 0, avec un pas de 0,0 C ) Comparer les résultats des deux fonctions D ) Que pouvez vous en conclure si l'on applique un taux x deux fois de suite? 5 Approximation d'un taux d'évolution Soit t un petit taux d'évolution ( autrement dit t est proche de 0 ) Alors le taux d'évolution global T de deux évolutions successives de taux t peut être approché par t Schéma et exemple : voir feuille annexe Soit t un petit taux d'évolution ( autrement dit t est proche de 0 ) Alors le taux d'évolution réciproque t ' de l'évolution de taux t peut être approchée par t Schéma et exemple : voir feuille annexe E0 Savoir déterminer une valeur approchée du taux d'évolution global de deux évolutions successives N 9 En 005, la prix de la calculatrice a subi deux évolutions successives de même taux - 0,7 % En justifiant votre démarche, déterminer une valeur approchée du taux d'évolutions global du prix de cette calculatrice au cours de l'année 005 N 0 Un étudiant loue un appartement proche de son école Son loyer augmente de 0,4 % par an En justifiant votre démarche, déterminer une valeur approchée du taux d'évolution global du montant de son loyer sur ses deux années d'études pour obtenir son diplôme E Savoir déterminer une valeur approchée du taux d'une évolution réciproque N Le taux d'évolution du prix d'un graveur au mois d'août 006 est de t = -0,7 % En justifiant votre démarche, déterminer une valeur approchée du taux t ' de l'évolution réciproque N En Espagne, le taux d'évolution du prix HT au prix TTC est t = 0,4 % En justifiant votre démarche, déterminer une valeur approchée du taux d'évolution du prix TTC au prix HT