I- Définition d'un état turbulent ; Transition vers la turbulence expérience de Osborne Reynolds (1842-1912)

I- Définition d'un état turbulent ; Transition vers la turbulence expérience de Osborne Reynolds (1842-1912) R e = UD/ν Re>2000 Re>4000 M1 fluides : turbulence 1

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I- Définition d'un état turbulent ; Transition vers la turbulence couche limite turbulente R ex = Ux/ν laminaire, équation de Blasius ondes de Tollmien Schlichting (instabilités) instabilités secondaires R ex = R ex = 10 5 5 10 5 turbulence M1 fluides : turbulence 3

I- Définition d'un état turbulent ; Transition vers la turbulence Seuil d instabilité Equation d Orr- Sommerfeld kδ 1 M1 fluides : turbulence 4

I- Définition d'un état turbulent ; par les conséquences Balayages et éjections M1 fluides : turbulence 5

I- Définition d'un état turbulent ; diffusion turbulente u l u figure 1.1 de Tennekes et Lumley M1 fluides : turbulence 6

I- Définition d'un état turbulent ; Petit bilan intermédiaire... TURBULENCE : pas de définition rigoureuse... D'où une description phénoménologique... - Irregularité : La turbulence est un état de mouvement irregulier, (en apparence) aléatoire - Diffusivité : Intensification des échanges de masse, q.mvt et energie - Fluctuations 3D de la vorticité : Un ecoulement turbulent est toujours rotationnel Tourbillons cohérents (eddies), mais localisés de façon aléatoire L énergie est transférée des grandes aux petites échelles de l écoulements par effet des interactions entre structures tourbillonnaires (mécanisme de cascade) M1 fluides : turbulence 7

II- caractérisation d'un état turbulent ; approche temporelle u(t) cms -1 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 t en s u =18 cms -1 ±? u rms =5.8 cms -1 ±? Signal temporel acquis à 50 Hz en rivière avec un vélocimètre acoustique doppler (ADV) M1 fluides : turbulence 8

II- caractérisation d'un état turbulent ; approche temporelle R u'u' (τ) /R u'u' (0) 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Temps intégral de la turbulence : T int 0.42 s τ en s M1 fluides : turbulence 9

II- caractérisation d'un état turbulent ; approche spatiale Vélocimétrie par Images de Particules (PIV) dans une couche limite turbulente au-dessus de coquillages écoulement couche de coquillages M1 fluides : turbulence 10

II- caractérisation d'un état turbulent ; approche spatiale champ fluctuations de vitesse (tourbillons...) moyen instantanné (temps) 1 cm Résolution spatiale : pas de la grille de calcul PIV = 0.7 mm M1 fluides : turbulence 11

II- caractérisation d'un état turbulent ; approche spatiale 1 cm Résolution spatiale : pas de la grille de calcul PIV = 0.7 mm Fréquence d'acquisition : 1 H z M1 fluides : turbulence 12

II- caractérisation d'un état turbulent ; approche spatiale Turbulence de grille, autocorrelation longitudinale R u'u' ( x) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 Echelle Intégrale Spatiale L int ~1.75 cm 0.4 Micro-échelle de Taylor (dissipation) λ=0.7 cm 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 M1 fluides : turbulence 13

II- caractérisation d'un état turbulent ; approche spectrale Retour au temporel : signal temporel acquis à 50 Hz en rivière avec un vélocimètre acoustique doppler (ADV) fonction d'autocorrélation R w'w' longitudinale R w'w' (τ) /R w'w' (0) 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 M1 fluides : turbulence 14

II- caractérisation d'un état turbulent ; approche spectrale Retour au temporel : signal temporel acquis à 50 Hz en rivière avec un vélocimètre acoustique doppler (ADV). Acquisition de 80s. Spectre avec moyenne sur des échantillons de 5s de durée log 10 (S est (ω)) on s'approche de la "vraie" densité spectrale S(ω) 1.5 1 0.5 0-0.5-1 pente -5/3 T int λ -1.5-1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 log 10 (ωλ) M1 fluides : turbulence 15

III- modèle de turbulence homogène isotrope (THI); la cascade... Vision SPECTRALE de la cascade CASCADE E t k L int échelle intégrale ENERGIE INJECTEE λ microéchelle de Taylor DISSIPATION M1 fluides : turbulence 16

III- modèle de turbulence homogène isotrope (THI); la cascade... Interprétation dans l'espace physique du spectre d'énergie : on définit l'energie E(l) (et leur vitesse u(l)=(2e(l)/3) 1/2 ) des "tourbillons" à l'échelle spatiale l=2π/k. On parle de "eddies" en anglais. ( "vortices")... - Les gros tourbillons ("eddies") sont instables et "explosent", transférant leur énergie vers les tourbillons plus petits. - ce processus se produit à toutes les échelles, jusqu'à ce que le nombre de Reynolds à l'échelle l considérée (Re(l)=u(l)l/ν), devienne de l'ordre de l'unité, auquel cas les tourbillons se stabilisent et dissipent l'énergie (conversion en chaleur) M1 fluides : turbulence 17

III- modèle de turbulence homogène isotrope (THI); la cascade... La dissipation se produit à la fin de la cascade... Et donc, le taux de dissipation ε (même dimension que de t /dt) est déterminé par le premier processus dans la séquence, à savoir, le transfert depuis les "grands" tourbillons d'échelle L int qui contiennent l'essentiel de l'énergie E t (et une vitesse turbulente associée u rms (2E t /3) 1/2 ). Injection identique, donc grandes échelles identiques... Viscosité différente, donc petites échelles différentes... Du coup ε u rms3 /L int indépendemment de la viscosité dynamique ν (à haut nombre de Reynolds). Source: Tennekes & Lumley. Page 22. M1 fluides : turbulence 18

III- modèle de turbulence homogène isotrope (THI); la cascade... Vision SPECTRALE de la cascade CASCADE E t L int échelle intégrale ENERGIE INJECTEE M1 fluides : turbulence λ microéchelle de Taylor DISSIPATION Première hypothèse de similarité de Kolmogorov s : dans tous les écoulements turbulents à nombre de Reynolds suffisamment élevé, les statistiques des mouvements à petite échelle ont une forme universelle qui ne dépend que de ε et ν. k 19

III- modèle THI ; Echelles de Kolmogorov Nombre de Reynolds turbulent, associé aux grands tourbillons : Re Lint =E t 1/2 L int /ν (A ne pas confondre avec le nombre de Reynolds de l écoulement, même si: Re=LU/ ν E t 1/2 L int /ν à un facteur multiplicatif près ) Echelles de Kolmogorov (échelles dissipatives) construites à partir de ε et ν? Longueur de Kolmogorov l η =(ν 3 /ε) 1/4 Vitesse de Kolmogorov u η =(νε) 1/4 Temps de Kolmogorov τ η =(ν/ε) 1/2 On trouve : l η /L int =(Re Lint ) -3/4 Pour Re Lint assez grand, il existe des échelles spatiales intermédiaire l qui peuvent vérifier L int >> l >> l η Limitation intrinsèque d une DNS (Simulation Directe Numérique)!!! Ne dépendent pas de la viscosité ν non plus!!! M1 fluides : turbulence 20

III- modèle THI ; loi en k -5/3 Seconde hypothèse de similarité de Kolmogorov s : dans tous les écoulements turbulents à nombre de Reynolds suffisamment élevé, les statistiques des mouvements àux échelles intermédiaires l telles que L int >> l >> l η ne dépendent que de ε (et plus de ν). Energy containing range Universal equilibrium range Inertial subrange Dissipation range E(k)=Cε 2/3 k -5/3 avec C 1.5 E(k)=Cε 2/3 k -5/3 F(kl η ) κ 0 κ EI κ DI κ η = 2π/l 0 = 2π/l EI = 2π/l DI = 2π/l η Non dimensional form l η κ 0 = 2πl η /l 0 l η κ EI = 2πl η /l EI l η κ DI = 2πl η /l DI l η κ η = 2π M1 fluides : turbulence 21

III- modèle THI ; localisation de la dissipation E u u (k x ) L intégration du spectre de la dissipation permet de montrer que 90% de la dissipation a lieu pour des échelles spatiales l vérifiant l DI /l η = 60 >l/l η > 8 Inertiel E u u (k x )=(18/55) Cε 2/3 E t -5/3 M1 fluides : turbulence 22