[Scilab] Loi binomiale S. ANDRES Lycée des Eaux Claires 2015-2016 S. ANDRES, Lycée des Eaux Claires 1/16
Plan du cours 2) Loi binomiale 3) La fonction grand() S. ANDRES, Lycée des Eaux Claires 2/16
Plan du cours 2) Loi binomiale 3) La fonction grand() S. ANDRES, Lycée des Eaux Claires 3/16
Généralités Une épreuve de Bernoulli de paramètre p est une expérience aléatoire qui possède exactement deux issues. Ces deux issues sont notée S (pour Succès) et S (pour Echec). Un succès est (souvent) associé au nombre 1. Un échec est associé au nombre 0. La probabilité d obtenir un succès (donc le nombre 1) est égale à p P(S) = p La probabilité d obtenir un échec (donc le nombre 0) est égale à 1 p P(E) = 1 p S. ANDRES, Lycée des Eaux Claires 4/16
Simulation avec Scilab Pour simuler une épreuve de Bernoulli de paramètre p avec Scilab, on utilise la fonction rand() Si le nombre aléatoire obtenu est inférieur à p, il y a succès Sinon, il y a échec. Script a = rand(); if a < p then disp('s') else disp('e') end S. ANDRES, Lycée des Eaux Claires 5/16
Utilisation d une fonction Il peut être utile de construire une fonction Bernoulli(p). Cette fonction renvoie 1 en cas de succès (avec une probabilité égale à p) et 0 en cas d échec Script function r = Bernoulli(p) \\... \\... à compléter... \\... endfunction S. ANDRES, Lycée des Eaux Claires 6/16
2) Loi binomiale Plan du cours 2) Loi binomiale 3) La fonction grand() S. ANDRES, Lycée des Eaux Claires 7/16
2) Loi binomiale Généralités Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et independantes de paramètre p. On utilise un arbre pour représenter un schéma de Bernoulli. La loi binomiale est la loi du nombre de succès lors de ces n répétitions. S. ANDRES, Lycée des Eaux Claires 8/16
2) Loi binomiale Simulation avec Scilab La fonction Bernoulli(p) est exécutée n fois. Un compteur permet de stocker le nombre de succès Script function v = Binomiale(n,p) v = 0 // compteur du nombre de succès for k = 1:n a = Bernoulli(p) if a == 1 then // en cas de succès, le v = v + 1 // compteur est incrémenté end endfunction S. ANDRES, Lycée des Eaux Claires 9/16
3) La fonction grand() Plan du cours 2) Loi binomiale 3) La fonction grand() S. ANDRES, Lycée des Eaux Claires 10/16
3) La fonction grand() Généralités La fonction grand() est un générateur de nombre aléatoires. Elle généralise la fonction déja utilisée rand() Cette fonction permet de simuler un grand nombre de lois utilisées fréquemment en probabilités, dont la loi binomiale. La syntaxe pour obtenir une matrice de nbligne lignes et de nbcolonne colonnes contanant des nombres aléatoires selon la loi binomiale de paramètres n et p est la suivante : Syntaxe grand(nbligne,nbcolonne,'bin',n,p) S. ANDRES, Lycée des Eaux Claires 11/16
3) La fonction grand() Exemple Pour obtenir une matrice (appelée ici X) de dimension (3,7) contenant des nombres aléatoires selon la loi binomiale B(5, 0.2), on écrit : a Console -->X = grand(3, 7, 'bin', 5, 0.2) X = 0. 0. 1. 2. 0. 3. 1. 2. 2. 0. 1. 0. 0. 4. 1. 1. 1. 1. 5. 2. 0. S. ANDRES, Lycée des Eaux Claires 12/16
Plan du cours 2) Loi binomiale 3) La fonction grand() S. ANDRES, Lycée des Eaux Claires 13/16
Généralités La loi géométrique est la loi du premier succès : une épreuve de Bernoulli de paramètre p est répétée jusqu à obtenir un succès. Le nombre de répétitions est donc un nombre entier au minimum égal à 1. S. ANDRES, Lycée des Eaux Claires 14/16
Simulation avec Scilab La fonction Bernoulli(p) est exécutée tant qu un succès n est pas otenu. On utilise donc une boucle Un compteur permet de stocker le nombre de succès Script function w = Geometrique(p) w = 0 // compteur du nombre de répétitions resultat = 0 while resultat == 0... à compléter... w = w + 1 end endfunction S. ANDRES, Lycée des Eaux Claires 15/16
Avec la fonction grand() La syntaxe pour obtenir une matrice de nombres aléatoires selon la loi géométrique de paramètre p est la suivante : Syntaxe grand(nbligne,nbcolonne,'geom',p) S. ANDRES, Lycée des Eaux Claires 16/16
Exemple Pour obtenir une matrice (appelée ici Z) de dimension (2,6) contenant des nombres aléatoires selon la loi géométrique G(0.4), on écrit : a Console -->Z = grand(2, 6, 'geom', 0.4) Z = 1. 4. 6. 3. 3. 3. 2. 1. 3. 1. 3. 2. S. ANDRES, Lycée des Eaux Claires 17/16