[MONTAGE 17 : OSCILLATIONS FORCEES EN ELECTRICITE]

2012-2013 Master 2 MEF PC Université Versailles-Saint Quentin BAILLET Yohann [MONTAGE 17 : OSCILLATIONS FORCEES EN ELECTRICITE]

Table des matières Introduction... 2 I. Mise en évidence d une résonance... 3 II. Résonance en intensité : LCR... 4 1) Tracé de u R (f) et de φ(f)... 4 2) Mesure de la fréquence de résonance... 6 3) Influence de la résistance... 8 4) Application : mesure d une capacité... 11 III. Résonance en tension : LRC... 12 1) Tracé de u c (f) :... 12 2) Fréquence de résonance... 13 3) Influence de la résistance... 15 IV. Mise en évidence d une antirésonance... 16 Conclusion... 18 Annexe : Utilisation d un amplificateur opérationnel (AO)... 19 Bibliographie... 20

Introduction Un oscillateur est un système physique manifestant une variation périodique dans le temps. Il est dit harmonique si son évolution décrit une fonction sinusoïdale au cours du temps. Sa fréquence ne dépend que des caractéristiques du système. Un oscillateur forcé est un système que l'on soumet à une force oscillante extérieure (l'excitateur). Soumis à une excitation dont la fréquence est proche de sa fréquence propre, l'oscillateur va être entraîné, dans une oscillation sinusoïdale qui s'amplifie de plus en plus, jusqu'à une limite qui dépend de l'amortissement et de la dissipation : c'est ce qu'on appelle la résonance. Sommairement, on peut dire que le système réagit d'autant plus facilement, qu'on lui fournit de l'énergie à une fréquence proche de sa fréquence propre. Un oscillateur forcé aura une équation différentielle de la forme : ( ) Dans le montage, nous allons nous intéresser à un montage RLC. Dans une première partie, nous allons étudier une résonance en intensité, c'est-à-dire relever la tension aux bornes de la résistance en fonction de la fréquence. Nous comparerons par la suite cette résonance en intensité avec une résonance en tension en relevant la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps et exprimer les différences entre ces deux résonances. Puis pour terminer, nous allons mettre en évidence le phénomène inverse d une résonance : l antirésonance.

I. Mise en évidence d une résonance Afin de mettre en évidence une résonance, nous allons utiliser le montage suivant : En utilisant ce montage, nous allons visualiser une résonance en intensité puisque nous mesurons la tension aux bornes de la résistance qui est proportionnelle à la valeur de l intensité dans le circuit. La présence de l amplificateur opérationnel en montage suiveur sera étudiée ultérieurement. On utilisera le GBF en mode wobulation de façon à faire varier la fréquence en fonction du temps de façon linéaire. Les paramètres de la wobulation ont été les suivants : - Durée : 5 secondes - Fréquence de départ : 100 Hz - Fréquence de fin : 5,00 khz Les 2 valeurs de fréquence ont été choisies de telle sorte que la fréquence de résonance soit comprise entre les deux : A l oscilloscope, nous visualisons la courbe suivante :

On observe que la tension aux bornes de la résistance (donc par proportionnalité l intensité dans le circuit) passe par un maximum à une fréquence donnée. Ce passage par un maximum est le signe d une résonance en tension. II. Résonance en intensité : LCR Dans la partie qui suit, on mesurera la tension aux bornes de la résistance. Il s agit néanmoins d une résistance en intensité puisque d après la loi d Ohm, l intensité est proportionnelle à la tension aux bornes des résistances. C est pour cela que les graphiques suivants correspondront (sauf pour la phase) à la tension aux bornes de la résistance en fonction de la fréquence imposée par le GBF (principe des oscillations forcées). circuit. 1) Tracé de ur(f) et de φ(f) Dans l étude suivante, la résistance interne de la bobine sera négligée devant celle dans le Afin de tracer les deux courbes en fonction de la fréquence, le montage suivant a été réalisé :

On trouve la relation suivante : ( ) ( ) Il y a résonance en intensité lorsque l intensité dans le circuit est maximale, c'est-à-dire lorsque le dénominateur est minimal donc égal à R : Voici la courbe de la tension aux bornes de la résistance en fonction de la fréquence obtenue : On remarque que la tension aux bornes de la résistance passe bien par un maximum ce qui correspond bien à une résonance (en intensité ici). L étude de la fréquence de résonance sera étudiée dans la partie suivante. Le traçage du déphasage entre la tension et le courant a également été obtenue grâce à la mesure de différence de temps de passage par le maximum entre la tension aux bornes de la résistance et celle délivrée par le GBF. Le calcul théorique correspond à :

On constate que lors de la résonance ( ) et donc ϕ est nul, à fréquence «nulle», le déphasage est égal à π/2 alors qu en fréquence «infinie» le déphasage doit tendre vers π/2. Le tracé obtenu est le suivant : On constate que les deux valeurs extrêmes sont retrouvées aux incertitudes de mesures près. outils. 2) Mesure de la fréquence de résonance Dans cette partie, nous allons déterminer la fréquence de résonance à l aide de différents Dans ce genre de circuit, il y a résonance, lorsque la fréquence est égale à la fréquence propre du circuit : Avec les composants utilisés (cf schéma du II), la fréquence de résonance est égale à 1047 Hz. Nous allons retrouver cette fréquence de résonance en utilisant les méthodes suivantes : - Modélisation - Valeur de la fréquence pour l intensité maximale - Valeur de la fréquence lorsque le déphasage est nul.

Afin d effectuer une modélisation de la tension aux bornes de la résistance en fonction de la fréquence, nous allons utiliser le modèle prédéfini d un filtre passe-bande (qui correspond à la même équation que la fonction de transfert de notre circuit) : f0). Grâce à la modélisation, on trouve une fréquence de résonance égale à 1073 Hz (trouvée en L autre méthode possible correspond à la définition de la fréquence de résonance, c'est-àdire la fréquence pour laquelle l intensité (ici tension aux bornes de la résistance) est maximale. Avec la courbe lissée, on observe que la fréquence de résonance est égale à 1072 Hz.

Enfin, on peut déterminer la fréquence pour laquelle le déphasage tension/courant est nul : Avec la courbe lissée, on trouve une fréquence de résonance de 1072 Hz. On constate que la fréquence de résonance trouvée à l aide des trois méthodes est identique. Cette fréquence est voisine de la fréquence de résonance théorique (1047 Hz) puisque les composants utilisés ont des valeurs définies avec des incertitudes (par exemple la bobine a une valeur de 70 mh ±2mH. ( ) Avec le calcul des incertitudes, on remarque que les valeurs trouvées à l aide du tracé de la tension aux bornes de la résistance en fonction de la fréquence pour retrouver la fréquence de résonance sont compatibles car en plus de cette incertitude sur le calcul de la fréquence de résonance, d autres incertitudes portent sur la prise de mesure de la tension, de la fréquence et du pointage à l aide de régressi. 3) Influence de la résistance Dans cette partie, nous allons étudier l influence de la résistance sur la résonance et plus particulièrement sur la fréquence de résonance.

Pour cela, nous allons utiliser le montage suivant en prenant 3 valeurs de résistance différentes : Voici les trois courbes de la tension aux bornes de la résistance en fonction de la fréquence pour trois résistances différentes :

On constate que lorsque la résistance varie, la fréquence de résonance en intensité reste constante aux incertitudes de mesure près. En revanche, une grandeur est modifiée et peut-être importante suivant l utilisation du circuit : le facteur de qualité. Plus le facteur de qualité sera important, plus la résonance sera marquée. Or on remarque que lorsque la résistance augmente, le facteur de qualité diminue (Q dans la modélisation). Cela indique que pour avoir une meilleure résonance, il faut se placer avec une résistance la plus faible possible et compatible avec l utilisation souhaitée. Ainsi, le but est de limiter les résistances dans le circuit. En utilisant un AO en «montage suiveur», cela permet d obtenir à la sortie la même tension que celle à l entrée mais avec un intérêt supplémentaire qui est de supprimer

dans le système LCR la résistance interne du GBF qui est de l ordre de 50Ω et donc qui n est pas négligeable dans le cas où l on souhaitera avoir un facteur de qualité optimal. 4) Application : mesure d une capacité A l aide de la fréquence de résonance obtenue ainsi qu avec la valeur de l inductance prise, il est alors possible de remonter à la valeur de la capacité utilisée dans le circuit. Comme il a été dit précédemment, la fréquence de résonance de ce circuit est : Calculons maintenant l incertitude afin de vérifier si la valeur calculée correspond à la valeur indiquée par le constructeur : ( ) D où : La valeur indiquée par le constructeur est de 0,33µF, ce qui signifie que la valeur calculée à l aide de la fréquence de résonance est compatible avec la valeur donnée par le constructeur.

III. Résonance en tension : LRC Dans la partie qui suit, on mesurera la tension aux bornes du condensateur en fonction de la fréquence. 1) Tracé de uc(f) : Dans l étude suivante, la résistance interne de la bobine sera négligée devant celle dans le circuit. Afin de tracer la tension aux bornes du condensateur en fonction de la fréquence, le montage suivant a été réalisé : Avant de passer à l étude expérimentale, étudions la valeur théorique de la tension aux bornes du condensateur : ( ) Il y a résonance en intensité lorsque la tension aux bornes du condensateur est maximale, c'est-à-dire lorsque le dénominateur est minimal. On obtient alors que : Voici la courbe de la tension aux bornes du condensateur en fonction de la fréquence obtenue :

On observe des différences avec la résonance en intensité : - On remarque que lorsque la fréquence est «nulle», la tension aux bornes du condensateur est différente de 0 alors qu en résonance en intensité cette dernière est nulle. En effet, en regardant l expression théorique de la tension aux bornes du condensateur en fonction de la pulsation, lorsque celle-ci est nulle, la tension est non nulle. - On remarque également que la fréquence de résonance est inférieure à celle obtenue lors de la résonance en intensité. Cette étude sera étudiée dans les parties suivantes. Par contre, le comportement lorsque la fréquence tend vers l infini est identique puisque dans les 2 cas, la grandeur mesurée en fonction de la fréquence tend vers 0. 2) Fréquence de résonance Dans cette partie, nous allons déterminer la fréquence de résonance à l aide de différents outils. Dans ce genre de circuit, il y a résonance, lorsque la fréquence est égale à la fréquence propre du circuit : Hz. Avec les composants utilisés (cf schéma du III), la fréquence de résonance est égale à 1044 Nous allons vérifier que la fréquence de résonance est bien inférieure à la fréquence propre du circuit qui correspond également à la fréquence de résonance étudiée dans la partie précédente.

Pour cela, nous allons retrouver cette fréquence de résonance en utilisant les méthodes suivantes : - Valeur de la fréquence pour la tension maximale - Valeur de la fréquence où la dérivée de la tension en fonction de la fréquence est nulle. Commençons par la fréquence où la tension aux bornes du condensateur est maximale : On constate que la fréquence de résonance est égale à 1050 Hz. On remarque que la fréquence trouvée lors de la résonance en tension est inférieure à celle obtenue lors de la résonance en intensité (1072 Hz), ce qui est cohérent avec l expression de la fréquence de résonance. Utilisons maintenant la fréquence où la dérivée de la tension est nulle :

On constate que la fréquence de résonance est égale à 1050 Hz. On remarque que la fréquence trouvée lors de la résonance en tension est inférieure à celle obtenue lors de la résonance en intensité (1072 Hz), ce qui est cohérent avec l expression de la fréquence de résonance. 3) Influence de la résistance Dans cette partie, nous allons étudier l influence de la résistance sur différentes grandeurs de la résonance que sont la fréquence de résonance ainsi que sur la résonance elle-même, c'est-à-dire si la résonance est plus ou moins aigüe. Pour cela, nous avons réalisé le montage suivant : Nous avons réalisé la même étude que précédemment, c'est-à-dire relever la tension aux bornes du condensateur en fonction de la fréquence. Pour faire l étude de l influence de la résistance, nous avons utilisé 3 valeurs de résistance différentes : 50Ω, 100Ω et 200Ω.

On constate que la valeur de la fréquence de résonance est modifiée lorsque la valeur de la résistance change. De plus, on peut dire que lorsque la valeur de la résistance augmente, la fréquence de résonance diminue comme ce que la valeur théorique nous prédit. De plus, il est observable que le facteur de qualité est modifié. En effet, d après la formule théorique, lorsque la résistance augmente, le facteur de qualité diminue ce qui est cohérent avec les observations possibles à l aide du graphique précédent. Il est alors possible de dire que la présence de l AO utilisé dans un montage «suiveur» est indispensable si l on souhaite obtenir une bonne résonance (c'est-à-dire avec un bon facteur de qualité) car ce montage permet de «supprimer» la résistance interne du générateur est donc d abaisser la valeur de la résistance totale présente dans notre circuit. Il est donc possible de travailler avec une faible résistance, ce qui n aurait pas été le cas si la résistance interne du GBF n était pas négligeable devant celle dans le circuit. IV. Mise en évidence d une antirésonance Comme son nom peut l indique, l antirésonance est la situation inverse de la résonance, c'est-à-dire lorsque la puissance cédée par l excitateur est minimale. Pour mettre en évidence ce phénomène, nous avons réalisé une antirésonance en intensité en réalisant le montage suivant :

Pour cela, nous avons réalisé une wobulation avec les paramètres suivants : - Durée : 5s - Fréquence de départ : 100 Hz - Fréquence d arrivée : 5,00 khz La fréquence de d antirésonance est identique la tension de résonance d un circuit LCR pour la résonance en intensité (vu dans le II). Pour la même raison que pour le II, on étudiera seulement la tension aux bornes de la résistance puisque d après la loi d Ohm, la tension aux bornes d une résistance est proportionnelle à l intensité la traversant. Voici la courbe obtenue sur l oscilloscope : On constate bien que la tension aux bornes de la résistance passe par un minimum lorsque la fréquence imposée par l excitateur est égale à la fréquence d antirésonance.

Conclusion Les oscillations forcées sont notamment utilisées lors de filtrage. En effet, pour effectuer un filtrage, il faut imposer un signal au circuit. Prenons l exemple d un signal créneau de 1kHz associé à un circuit du type de celui que l on a étudié durant cet exposé avec une fréquence de résonance de 3kHz. Un signal créneau étant composé de la somme de signaux sinusoïdaux de 1kHz, 3 khz, 5 khz, 7 khz, avec pour chaque un certain coefficient. Avec un tel circuit, nous allons récupérer un signal sinusoïdal de fréquence 3kHz. Ce type de circuit est par exemple utilisé dans un récepteur radio pour lequel on souhaitera que la fréquence de résonance corresponde à la fréquence du signal que l on souhaite entendre. La résonance n est pas utilisée qu en électricité. Par exemple, cette résonance est utilisée en acoustique : pour un instrument à cordes frottées ou à vent, la production du son consiste la plupart du temps en l'excitation d'un système oscillant (corde, colonne d'air) jusqu'à l'apparition d'un phénomène de résonance. La résonance est également utilisée dans le domaine du magnétisme avec la RMN (Résonance Magnétique Nucléaire) qui permet d identifier certaines molécules chimiques. Par contre, la résonance (et donc les oscillations forcées) n a pas que des points positifs. Par exemple dans les années 1850, des soldats passant sur un pont à Angers ont provoqué par la marche au pas de ceux-ci la rupture du pont par résonance. Ce même phénomène s est produit au pont de Tacoma qui s est rompu suite à des rafales de vents, provoquant également la rupture de celui-ci.

Annexe : Utilisation d un amplificateur opérationnel (AO) L'amplificateur opérationnel est un circuit intégré qui permet d'amplifier (de multiplier ou de diviser) une tension, de faire d'autres opérations mathématiques sur des tensions (addition, soustraction, dérivation, intégration). Il peut comparer deux tensions et se placer, selon leur valeur relative, dans 2 états uniques et bien distincts (état haut ou état bas). Il est constitué de 8 bornes réparties de la façon suivante : - Entrée non inverseuse - Entrée inverseuse - Alimentation +15V - Alimentation -15V - Masse - Entrée non connectée - 2 réglages internes de l AO actif. L alimentation en +15/-15V est indispensable pour l utilisation car l AO est un composant Les différentes bornes sont repérées grâce à un «rond» situé sur l AO qui permet de reconnaître la borne 1 de l AO. La correspondance entre les bornes et le rôle de chacune sont notés dans les «datasheets». Voici un exemple de repérage pour un AO du type AD 620 : Dans un montage avec un GBF, il est très important de suivre la marche à suivre suivante pour l allumage et l extinction des différentes sources : - Allumage de l alimentation symétrique +15/-15V pour l AO - Allumage du GBF - Extinction du GBF - Extinction de l alimentation symétrique +15/-15V de l AO. Si cette procédure n est respectée, l AO pourra être détérioré.

Bibliographie [1] : Roger DUFFAIT, Expériences de Physique CAPES de sciences physiques, 2008, Bréal [2] : Jean-Paul BELLIER, Montages de physique : Electricité, électromagnétisme, électronique, acoustique 2 ème édition, 2004, Dunod [3] : Lucien QUARANTA, Dictionnaire de physique expérimentale Tome IV, 1996, Pierron [4] Nicolas BILLY, CAPES de sciences physiques Tome I, 2008, Belin