P filtres électriques Objectif : Étudier les caractéristiques de gain et de phase de quelques filtres classiques 1 Introduction oute cette partie est informative : la non compréhension de certains paragraphes n empêche pas la réalisation du P. 1.1 Décomposition en série de Fourier d un signal périodique 1.1.1 Définitions Un signal s(t) quelconque mais périodique de période ( de fréquence f ou de pulsation 2π ) est décomposable en une somme infinie de fonctions sinusoïdales : s(t) = a 0 + a n cos(nωt) + b n sin(nωt) (1) n=1 avec : 1 a 0 = s(t)dt 0 (2) qui représente la valeur moyenne donc la composante continue du signal et 2 a n = s(t) cos (nωt) dt 0 2 b n = s(t) sin (nωt) dt 0 (3) (4) qui sont les coefficients réels de la série de Fourier. 1.1.2 Fondamental et harmoniques Lorsque n = 1, on a la composante fondamentale du signal caractérisée par a 1 et b 1. Pour tout autre valeur de n, on parle d harmonique de rang les valeurs de a n et b n. 1.1.3 Amplitude et phase n caractérisée par
L harmonique de rang n (ceci est valable pour le fondamental, n = 1) peut s écrire de deux façons différentes, en mode sinus-cosinus ou en mode amplitudephase : a n cos (nωt) + b n sin (nωt) A n cos (nωt + ϕ n ) (5) avec A n = a 2 n + b 2 b n n et tan ϕ n = si a n 0. A n est l amplitude, ϕ la phase. a n n Ainsi la décomposition en série de Fourier de s(t) peut être : a 0 s(t) = A 0 + A cos(nωt + ϕ) avec = n A 0 n=0 2 (6) Ceci nous intéresse particulièrement car une tension ou un courant sinusoïdal est représenté par leur amplitude et leur phase. 1.1.4 Cas des fonctions paires et impaires Fonction paire Si s(t) est une fonction paire alors s(t) cos (nωt) est paire. On a : 4 2 2 2 a n = s(t) cos (nωt) dt pour n 0 et a = s(t) dt. 0 0 0 La fonction s(t) sin (nωt) étant impaire, b n = 0. Fonction impaire Si s(t) est une fonction impaire alors s(t) cos (nωt) est impaire et a n = 0, n. 4 La fonction s(t) sin (nωt) est paire. On a donc : b n = s(t) sin(nωt) dt. 0 1.1.5 Spectres 2 Lorsque l on représente sur un graphique l amplitude de chacun des termes de la décomposition en série de Fourier en fonction de la fréquence, on trace le spectre d amplitude du signal. De la même manière, on peut représenter la phase de chaque terme en fonction de la fréquence, on obtient alors le spectre de phase du signal 1.2 Exemple du signal carré Regardons ce que donne la décomposition en série de Fourier d un signal carré de ce type :
Figure 1 - Décomposition en série de Fourier d un signal carré b n = 4 0 4 = A = 2 s(t) sin(nωt)dt cos(nωt) [ nω ] 4A nω 4A Les b n sont nuls si n est pair et lorsque n est impair, on a b n =. nπ 2 0 ( cos ( nω 2 ) + 1 ) avec ω = 2A = ( cos(nπ) + 1) nπ 2π (7) Le développement en série de Fourier du signal carré est donc: s(t) = 2A π n=0 sin((2n + 1)ωt) 2n + 1 (2n + 1 représente un nombre impair) (8) Le signal carré ne comporte que des harmoniques impaires, leurs amplitudes 1 décroissent en n. Voici le spectre en amplitude obtenu :
Figure 2 - Spectre en amplitude des harmoniques On pourrait, en transformant la décomposition de Fourier en mode amplitudephase, tracer le spectre de phase donnant la phase pour chaque harmonique (cette phase est égale à π 2 pour chacun des harmoniques : par exemple pour n = 1, sin ωt = cos ωt π 2 ). On peut montrer que plus on sommera d harmoniques pour reconstituer le signal carré, plus on sera proche d un "joli" signal carré : Figure 3 - Somme d'harmoniques et signal carré 1.3 Rôle et caractéristiques des filtres 1.3.1 Généralités
Le rôle d un filtre électrique consiste à modifier le spectre des signaux qui vont y transiter afin d obtenir des caractéristiques particulières. Un filtre peut permettre d amplifier les basses fréquences et laisser passer les hautes fréquences sans modification : dans le domaine du son, ce filtre permettrait par exemple de palier à la déficience des hauts-parleurs en basses fréquences. Mais attention, les filtres agissent aussi sur la phase des signaux, et cela peut avoir de l importance même si on concentre généralement sur leur action vis à vis de l amplitude. On caractérise donc un filtre électrique par deux courbes qui caractérisent l action du filtre en amplitude et en phase. 1.3.2 Importance du déphasage Soit un filtre qui fournit en sortie un signal du type. On peut écrire cette expression comme étant v s (t) = V s sin ω(t τ) avec τ = ϕ un ω temps de retard introduit par le filtre. Imaginons faire transiter par ce filtre deux signaux de pulsations différentes ω 1 et ω 2 (un instrument de musique qui fournirait un accord de deux notes), nous ϕ 1 obtiendrons en sortie deux signaux avec des temps de retard égaux à τ 1 = ω 1 ϕ 2 et τ 2 =. ω 2 v s (t) = V s sin(ωt ϕ) Si ces temps de retard sont différents, l accord de deux notes qui transiterait par le filtre serait retranscrit en deux notes indépendantes, entendues successivement : ce n est pas très intéressant musicalement parlant! Ainsi, dans le domaine de la Hi-fi, on souhaite avoir des filtres à phase linéaire, ϕ c est à dire qui impose le rapport = cste quelle que soit la fréquence. ω
1.3.3 Diagramme de Bode Soit un filtre électrique qui reçoit un signal d entrée noté sortie un signal v s (t). Gains v e (t) et qui fournit en On s intéresse aux rapports des amplitudes de ces signaux. On définit alors le gain en tension, grandeur sans unité, par G = V s où V e et V s sont V e respectivement les amplitudes des signaux d entrée et de sortie. On peut aussi définir le gain en décibel (db), noté G db et égal à 20 log V s. V e Ces gains dépendent de la fréquence. Phase On définit la phase ϕ, en degré ou en radian, comme la différence de phase entre le signal de sortie et le signal d entrée : ϕ = ϕ s ϕ e. Diagramme racer le diagramme de Bode d un filtre consiste à représenter les courbes G db = f (ω) et ϕ = f (ω) (on travaille indifféremment en fréquence ou en pulsation). Les filtres agissant sur de grandes gammes de fréquence, on utilisera une échelle logarithmique pour l axe des abscisses. Généralement ces courbes présentent une forme particulière qui dépend d un ou plusieurs points de fréquences précises. Les fréquences de ces points sont appelées fréquences de coupure et permettent de caractériser un filtre. Enfin on pourra remarquer que les courbes suivent des asymptotes particulières. On peut obtenir l équation de ces asymptotes par un traitement théorique et alors tracer un diagramme de Bode asymptotique. 1.3.4 rois types de filtres classiques On rencontre souvent trois types de filtres, facile à reconnaître : les filtres "passe-haut" pour lesquels le gain n est pas faible pour les grandes fréquences ; les filtres "passe-bas" pour lesquels le gain n est pas faible pour les petites fréquences ; les filtres "passe-bande" pour lesquels le gain n est pas faible dans une certaine bande de fréquences.
2 Notion de déphasage Soit un filtre qui accepte en entrée un signal v e (t) = V e cos(ωt + ϕ e ) et qui fournit en sortie un signal v s (t) = V s cos(ωt + ϕ s ). ϕ = ϕ s ϕ e représente le déphasage de v s par rapport à v e : il est proportionnel au décalage temporel des sinusoïdes ; il est compris entre π et π ; il est positif si le signal v s est en avance (à gauche) par rapport à v e. Figure 4 - Déphasage entre deux signaux sinusoïdaux Si, sur un écran d oscilloscope, on obtient les courbes ci-contre : On note D le nombre de divisions correspondant à une période donc à un déphasage de 2π ; On note d le nombrs de divisions correspondant au décalage des sinusoïdes donc au déphasage de ϕ en radians. On a alors, par une règle de trois : ϕ = 2π d. D 3 Méthodes de mesures Dans ce P, nous allons tracer le diagramme de Bode de deux types de filtres. On travaillera en fréquence, les mesures s étaleront de f = 20 Hz à f = 10 khz. On rappelle que le diagramme de Bode est logarithmique, il faudra y penser pour étaler les mesures dans la gamme de fréquence. On réalisera une vingtaine de mesure dans cette gamme pour chaque manipulation. 3.1 Mesure de la fréquence Pour tracer le diagramme de Bode du déphasage, il faut connaître précisément la fréquence. Celle-ci sera lue directement sur le GBF qui impose la tension d entrée au filtre. 3.2 Mesure du déphasage L oscilloscope possède une mesure automatique de déphasage. Pour l utiliser : En appuyant sur CURS, régler la chaîne sur CH2 ; Appuyer sur la touche MEAS puis sur la touche MORE par deux fois, et enfin
sur la touche au dessus de laquelle apparait un ϕ minuscule ; Le déphasage qui apparaît en degré est celui de la voie 2 sur la voie 1. Rappelons ici que le déphasage varie entre π et π ( 180 et 180 ), si l oscilloscope indique un déphasage supérieur à 180, le véritable déphasage à noter est égal à 360 ϕ. Pour une bonne mesure, il faut que les signaux soient bien visibles à l écran, utiliser tout l écran verticalement (régler la sensibilité verticale des deux voies) et régler la base de temps afin d observer plusieurs périodes à l écran. Vous pouvez également vérifier que la mesure automatique donnée par l oscilloscope est bonne en utilisant les curseurs et la règle de trois énoncée plus haut dans ce texte ; ou encore en utilisant la méthode des neufs carreaux vue au premier semestre. 3.3 Mesure du gain en tension Nous nous contenterons dans ce P de tracer l évolution du gain en tension en fonction de la fréquence. Il nous faut donc les amplitudes des deux voies afin de calculer G = V s. V e Pour plus de précision, on préfèrera relever les tensions crête à crête sur chaque voie ( V pp ) et on pourra effectuer le rapport de ces deux tensions. En effet, V s 2V s V s pp G = = =. V e 2V e V e pp Rappelons que pour passer d une voie à l autre, il faut appuyer sur CURS puis choisir la chaîne CH1 ou CH2. Une nouvelle fois on optimisera les signaux à l écran en réglant la sensibilité verticale des voies avant la mesure. 3.4 Étalement des mesures Pour réaliser de bonnes courbes, dont on peut se servir par la suite, il faut choisir où prendre les mesures (à quelles fréquences). Dans ce P : L échelle de fréquence en abscisse sera logarithmique : il ne faut donc pas espacer vos prises de mesures de manière régulière comme on a l habitude de le faire (ne pas prendre des mesures tous les 500 Hz par exemple) ; Il faudra relever certains points sur les courbes: il faut alors que la courbe soit "précise" autour de ces points. Il faut donc prendre beaucoup de mesures autour des points caractéristiques de chaque courbe. Ces informations doivent vous permettre d effectuer les mesures adéquates.
3.5 Résistance interne du GBF Attention, le GBF possède une résistance interne de 50 Ω, il faudra la prendre en compte : la résistance totale des circuits vaudra donc : R = R + 50 Ω. 4 Manipulations 4.1 Étude d un filtre RC On utilisera la résistance et le condensateur qui appartiennent au même boîtier. Noter les valeur de R et de C. On appelle v e (t) la tension d entrée fournit par le GBF et v s (t) la tension de sortie du filtre. 4.1.1 Réalisation du montage Câbler les différents composants (GBF, conducteur ohmique, condensateur et oscilloscope) afin de réaliser le montage ci-contre. 4.1.2 Mesures du gain en tension et du déphasage de v s (t) par rapport à v e (t) 1. Régler le GBF (avec le bouton "level") de façon à ce qu il délivre une tension v e (t) d amplitude 6V. Régler sa fréquence à 500 Hz. 2. Régler l oscilloscope afin d observer correctement les signaux v e (t) et v s (t) des deux voies. Figure 5 - Montage d'étude d'un filtre RC
3. Se placer sur la gamme en fréquence 10 khz du GBF. Partir d une fréquence très basse ( 25 Hz) puis l augmenter progressivement (jusqu à 10 khz ) tout en observant l évolution des signaux à l écran de l oscilloscope : Observer l évolution des amplitudes de v e (t) et v s (t) ; Observer l évolution du déphasage de v s (t) par rapport à v e (t) (on sait théoriquement que celui-ci varie entre 0 et 90 ). Faire trois phrases qui décrivent ces évolutions : de V e, de V s et de ϕ. 4. Pour des fréquences allant de 25 Hz à 10 khz, effectuer une vingtaine de mesures de V e pp, V s pp et de ϕ : attention à bien répartir cellesci, sachant que l échelle des abscisses sera logarithmique. Remplir un tableau de mesures (sous Regressi) faisant apparaître f, V e pp, V s pp et ϕ. Remarque On ne prendra pas la mesure de V e pp pour chaque fréquence car celle-ci ne varie quasiment pas. On pourra seulement prendre sa valeur tous les 4-5 points. 5. Compléter le tableau en ajoutant une ligne permettant le calcul du gain en tension G.(on peut aussi utiliser directement Regressi pour effectuer ce calcul (fournir le tableau de mesures)) 4.1.3 Exploitation 1. racer sous Regressi le graphique représentant le gain en tension en fonction de la fréquence avec une échelle logarithmique : pour cela, aller dans Graphe > Coordonnées puis dans "Graduations" de l axe des abscisses choisir "log" pour logarithmique. 2. Mesurer et noter la fréquence de coupure f c de ce filtre sachant que f = f c pour G = G max. 2 1 3. Comparer f c à la fréquence propre du filtre définie par f c,th = 2πRC (calculer l incertitude sur cette fréquence f c,th sachant que les tolérances constructeur sur la valeur de la résistance et du condensateur sont de 1% ). 4. D après le paragraphe 1.3.4, à quel type appartient ce filtre? 5. racer sous Regressi le graphique représentant le déphasage en fonction de la fréquence avec une échelle logarithmique. 6. La fréquence de coupure est la fréquence pour laquelle ϕ = 45. Lire et noter f c à partir de la courbe de déphasage. Comparer une nouvelle fois f c à f c,th, la fréquence propre du filtre. Ne pas oublier de déposer sur le site des P les deux courbes obtenues sous Regressi ainsi que les tableaux de mesures (captures d'écran) 4.2 Étude d un filtre RLC Dans certaines configurations, le circuit RLC série peut jouer le rôle de filtre
électrique. On envoie le signal d entrée aux bornes de l association des trois dipôles et on recueille le signal de sortie aux bornes d un des dipôles judicieusement choisi.dans le cas que nous allons étudier, on met en lumière que le phénomène de résonance (en intensité) du circuit RLC série soumis à une excitation sinusoïdale conduit à un filtrage particulier.
4.2.1 héorie Si on soumet un circuit RLC série à une excitation sinusoïdale, et qu on relève la tension aux bornes du conducteur ohmique en fonction de la fréquence (Figure), il y a résonance sans condition : La tension u R (t) prend des valeurs importantes pour un intervalle de fréquence bien déterminé. Aux bornes de la résistance, le gain en tension théorique est donné par : Figure 6 - Montage d'étude d'un filtre RLC G = 1 2 1 + Q 2 ( x 1 x ) (9) avec x = ω, ω 2 1 0 =, ω = 2πf et = 2π. est appelé facteur de qualité. ω 0 LC ω 0 f 0 Q Questions théoriques 1. Exprimer la fréquence propre théorique f 0 en fonction de L et de C ; 2. Vérifier, en justifiant, que G(x 0) = 0, G(x 1) = 1 et que G(x ) 0. Remarque Le gain maximum est obtenu pour x = 1 et est théoriquement égal à 1. Ceci est vrai si la bobine ne possède pas de résistance interne. Dans le montage étudié, la résistance interne de la bobine a une valeur plutôt importante (de l ordre 140 Ω ). Le gain n est donc pas égal à 1 à la résonance, il est plus faible. 4.2.2 Réalisation du montage On utilisera les boites à décades blanches de résistance, condensateur et bobine. Régler ces boîtiers pour avoir R = 500 Ω, C = 0.1 μf et L = 0.2 H. On appelle v e (t) la tension d entrée fournit par le GBF et v s (t) la tension de sortie du filtre. Câbler les différents composants afin de réaliser le montage de la figure 6. 4.2.3 Recherche de la fréquence de résonance et de la bande passante à partir du gain 1. Régler le GBF (avec le bouton "level") de façon à ce qu il délivre une tension v e (t) d amplitude 6V. Régler sa fréquence à 500 Hz. 2. Régler l oscilloscope afin d observer correctement les signaux v e (t) et v s (t)
des deux voies. 3. Se placer sur la gamme en fréquence 10 khz du GBF. Partir d une fréquence très basse ( 25 Hz) puis l augmenter progressivement jusqu à 10 khz environ. Écrire une phrase qui explique le comportement du gain en tension. ( G = V s V e ) En déduire, d après le paragraphe 1.3.4, à quel type appartient ce filtre. 4. oujours en faisant varier la fréquence du signal d entrée (GBF), rechercher la fréquence pour laquelle la tension de sortie est maximum. Noter cette fréquence notée f rés. 5. Il est possible de montrer théoriquement que f rés,th = f 0. Comparer alors f rés à la valeur attendue f 0. 6. Les fréquences de coupure sont les fréquences pour lesquelles le gain est G max égal à. Ces fréquences sont au nombre de deux. 2 1. Mesurer le gain maximum, c est à dire à la résonance, la valeur de V s max G max =. Le noter (on rappelle que V e = cste) ; V e 2. rouver, à l aide de l oscilloscope et du GBF, les deux fréquences de coupure. Les noter ; 3. La bande passante est égale à la différence entre les deux fréquences de coupure. Donner la valeur de la bande passante ( Δf exp ) expérimentale ; 4. Comparer la valeur de celle-ci à la bande passante théorique ( Δf th ). On ω 0 1 L donne : Δω = et Q = Q R + r C Remarque Attention, une fois encore, il faut tenir compte de la résistance interne de la bobine qui est loin d être négligeable dans le cas présent r 140 Ω. 4.2.4 Recherche de la fréquence de résonance et de la bande passante à partir du déphasage 1. Régler l oscilloscope pour qu il affiche le déphasage de la tension de sortie V s du filtre par rapport à la tension d entrée V e. 2. Se placer sur la gamme en fréquence 10 khz du GBF. Partir d une fréquence très basse ( 25 Hz ) puis l augmenter progressivement jusqu à 10 khz environ. Écrire une phrase qui explique le comportement du déphasage. 3. La fréquence de résonance est obtenue lorsque le déphasage est nul. rouver et noter cette fréquence, la comparer avec f 0. 4. Les fréquences de coupure sont les fréquences pour lesquelles le déphasage est égal à 45 et 45. rouver de nouvelles valeurs des fréquences de coupure de ce filtre puis une nouvelle valeur de sa bande passante. Comparer cette nouvelle bande passante à la bande passante théorique.
4.2.5 Influence du facteur de qualité sur la fréquence de résonance et la bande passante On rappelle que le facteur de qualité a pour expression : Q = 1 L. Ainsi, R + r C en augmentant la résistance, on diminue le facteur de qualité et inversement. 1. Sur internet, se rendre à l adresse suivante : https://www.circuitlab.com/circuit/5z2775/rlc-passe-bande/. 2. Cliquer sur Open in Editor (une nouvelle fenêtre apparait) puis sur Simulate (en bas à gauche, une boîte apparaît) et enfin Run frequency-domain simulation. 3. On observe alors la courbe de réponse Gain = f (fréq) et la courbe de déphasage. 4. Retrouver avec le réticule la valeur de la fréquence de résonance et de la bande passante de ce filtre. 5. Cacher la fenêtre de simulation (Hide en haut à droite), double cliquer sur la résistance pour changer sa valeur et la régler à 1000 Ω. 6. Relancer alors la simulation : Simulate et enfin Run frequency-domain simulation. 7. rouver approximativement la nouvelle valeur de la bande passante et la nouvelle fréquence de résonance. 8. Rédiger une phrase qui explique la relation entre facteur de qualité et fréquence de résonance ainsi que la relation entre facteur de qualité et bande passante. La bande passante permet de caractériser la sélectivité du filtre : plus elle est petite, plus le filtre est sélectif. 5 Simulation (facultatif (à faire à la maison)) L étude du rôle des filtres avec des signaux non sinusoïdaux est plus complexe. De plus pour le moment nous n avons pas évoqué la relation filtres-spectres. Pour faire "d une pierre deux coups" nous allons utiliser une applet du site Webphysique. Rendez-vous à cette adresse : http://www.webphysique.fr/filtrage-lineaire-d-un-signal.html sur l ordinateur avec le navigateur Internet Explorer. Lire l introduction de la page web et manipuler les différents boutons (ne pas utiliser le curseur d offset ni le curseur d amplification A) pour comprendre ce qu il se passe. 5.1 Filtre passe-bas 1. Choisir un signal d entrée créneau, choisir un filtre passe-bas du premier ordre ; 2. Définir la fréquence propre du filtre qui permet de ne conserver que le fondamental de la tension créneau injectée. f P log ( )
f P Noter la valeur de log. ( f ) Que peut-on dire du signal temporel en sortie? Quelle forme devrait-il avoir sachant que l on a filtré pour ne garder qu une fréquence? 3. Sans changer les réglages, passer sur un filtre passe-bas d ordre 2 : Que s est-il passé? 4. Utiliser le curseur permettant de régler le facteur de qualité pour indiquer Q = 3. Observer le signal temporel de sortie. Que peut-on en dire? Conclure quant à l utilisation d un filtre d ordre 1 ou d ordre 2. 5.2 Filtre passe-bande Manipuler l applet pour filtrer le mieux possible le signal créneau afin de ne garder que l harmonique de rang 5. f P Noter les valeurs de log et de Q choisies. ( f )