Algèbre Leçon N 1 : Les Suites Arithmétiques Introduction Au cours de cette leçon, nous allons présenter les suites arithmétiques. Ainsi nous aborderons tout d abord leur définition et les calculs des premiers termes au moyen de l exemple bien connu du château de carte. Puis nous étudierons les formules permettant à la fois de calculer le n ième terme mais aussi la raison d une suite arithmétique. Nous résoudrons enfin quelques problèmes simples. Les pré-requis de cette leçon sont basés sur les acquis divers des élèves Les objectifs sont les suivants : - connaître la définition d une suite arithmétique - connaître le vocabulaire relatif aux suites arithmétiques - organiser et effectuer des calculs permettant de déterminer le nième terme d une suite arithmétique - savoir calculer la raison d une suite arithmétique. Document N 1 : Approche Malika est cliente chez un opérateur téléphonique. Lors de son engagement le 04 mars 2016, elle a reçu 50 points de fidélité en cadeau de bienvenue, puis chaque mois, avec son abonnement, elle gagne le même nombre de points supplémentaires. Voici le récapitulatif des points de fidélité obtenus les 6 premiers mois de son abonnement. Mois Mars Avril Mai Juin Juillet Août Septembre Octobre Nombre de mois 1 2 3 4 5 6 7 8 Nombre total de points de fidélité acquis 50 80 110 140 170 200 230 260 Malika souhaite savoir quand elle aura assez de points pour pouvoir avoir le «IPhone 7» sachant qu il «coûte» 1590 points. Partie Professeur : Questions pour démarrer : 1) Que reconnaissez-vous? Quel est cet objet mathématique? Idée pour résoudre ce problème? 2) Quels outils utiliser? 3) Résolution graphique? Résolution algébrique? Avantage inconvénient? Discussion autour des suites : notions à aborder : - Suites - Suites arithmétiques - Suites géométriques (exemple et différence) - Microsoft Excel 213.01 : Les Suites arithmétiques Cours 1.5
Résolution algébrique : U52 = 1580 U53 = 1610 On les laisse faire tous les calculs : c est long et c est une source d erreur vu le nombre de calculs : Nécessité de : - Utilisation d un tableur plus précis - Utilisation d un graphique plus facile Document N 2 : 1600 1500 Nombre de points 1400 1300 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 O Nombre de mois 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 Définition Vocabulaire : On appelle SUITE ARITHMETIQUE de raison r toute suite de nombre de la forme : Un = Un-1 + r avec r la raison 213.01 : Les Suites arithmétiques Cours 2.5
Document N 3 : Exemples de suites La suite de nombre la plus connue 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Une autre suite : 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, A l aide de la définition donnez les termes U 1, U 2 U 3 et U 4. Une autre suite : 2, 5, 8, 11, 14, Sur le dernier exemple comment passer d un terme à l autre? U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 2 5 8 11 14 donc on a U 2 = U 1 + 3 U 3 = U 2 + 3 = U 1 + 3 + 3 = U 1 +2 3 U 4 = U 1 + 3 3 Plus généralement, on a U n = U 1 + (n-1) 3 Propriété : Calcul du n ième terme Le n ième terme d une suite arithmétique de raison r est donné par la formule : Un = U1 + (n-1) r avec r la raison Sur notre exemple : U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 2 5 8 11 14 Il faut maintenant calculer le 43 ième niveau : Si on applique directement la formule on en arrive à : U 43 = U 1 + (43 1) r = 2 + 42 3 = 128 On le vérifie alors par la méthode directe Exercices 1: Soit une suite arithmétique U n définie par U 1 = 3 et r = 4 1. Ecrire les 6 premiers termes 2. Calculer le 27 ième terme 1. les 6 premiers termes sont : U 1 = 3, U 2 = 7, U 3 = 11, U 4 = 15, U 5 = 19, U 6 = 23 2. le 27 ième terme : U 27 = U 1 + (27-1) r = 3 + 26 4 =107 Exercices 2: Les nombres suivants sont-ils les termes consécutifs d une suite arithmétique? Justifiez votre réponse. a. 3,1 ; 1,6 ; 0,1 ; 1,4 ; 2,9 b. 3 ; 5 ; 8 ; 10 ; 15 c. 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 a. oui r = 1,5 b. non c. oui r = 2 213.01 : Les Suites arithmétiques Cours 3.5
Document N 4 : reconnaitre une suite Voici deux représentations graphiques présentant l évolution du budget des deux clubs de baseball au cours des années : Budget de club 390 380 370 360 350 340 330 320 310 300 290 280 270 260 250 240 230 220 210 200 190 180 170 160 150 140 Club A Club B 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016 2018 Quelle est la courbe qui représente une suite arithmétique? Pourquoi? Quelle est alors la représentation d une suite arithmétique? Propriété : représentation graphique Une suite arithmétique est toujours représentée par une droite. La modélisation mathématique qui s en approche le plus est soit : a) Une fonction Linéaire b) Une fonction affine (attention les suites ne sont pas des fonctions continues.) 213.01 : Les Suites arithmétiques Cours 4.5
Exercices 3: Soit une suite arithmétique de premier terme u 1 = 1 et de raison r = 7. 1. Ecrire les quatre premiers termes de la suite. 2. Calculez le terme de rang 100. 1- u 1 = 1 ; u 2 = 8 ; u 3 = 15 ; u 4 = 22. 2- u 100 = u 1 + (100 1). r = 694 Exercices 4: Application de la relation u n = u 1 + (n 1) r 1. Calculer la raison d une suite arithmétique de premier terme 2 et dont le quinzième terme est égal à 33. 2. Une suite arithmétique a pour premier terme 40 et pour septième terme 20. Déterminer sa raison. Exercices 5: Soit une suite arithmétique U n définie par U 6 = 32 et U 9 = 50 Quelle est la raison d une telle suite et quelle est la valeur de son premier terme? Avec les données de l énoncé on peut écrire 32 = x + 5 y (1) 50 = x + 8 y (2) Soit aussi 32 = x + 31 y (1) 18 = 3 y (2-1) On trouve alors x = 2 y = 6 Le premier terme de la suite est U 1 = 2 et la raison de cette suite est r = 6. Exercices 6: Pierre souhaite acheter un caméscope d une valeur de 1 200 euros. Fin janvier, il ne dispose que de 870 euros, mais en faisant des économies, cette somme évolue régulièrement à la fin de chaque mois selon le tableau ci-dessous. On note u 1 la somme disponible fin janvier. 1. Reportez la valeur de u 1 dans le tableau ci-dessous. Mois Janvier Février Mars Avril Mai Juin Somme disponible (euros) 870 940 1 010 1 080 1150 1220 un u1 u2 u3 u4 u5 u6 n (rang) 1 2 3 4 5 6 2. Calculez : u 2 u 1, u 3 u 2 et u 4 u 3. Que remarquez-vous? 3. Quelle est la nature de cette suite? Précisez son premier terme et sa raison. 4. Calculez la valeur de u 5 et complétez l avant-dernière colonne du tableau. 5. Compléter la dernière colonne du tableau en détaillant votre calcul de u 6. Cette somme est-elle suffisante pour acheter le caméscope? 6. A partir de sa prise de décision (fin janvier), combien de mois Pierre devra-t-il attendre pour pouvoir réaliser son achat? 213.01 : Les Suites arithmétiques Cours 5.5