STATIQUE DU SOLIDE LES LOIS DU FROTTEMENT On s'intéresse dans ce cours à la tribologie, qui est la science des frottements. Un "frottement" intervient lorsque deux surfaces en contact sont mises en mouvement l'une par rapport à l'autre, produisant une force qui s'oppose au mouvement. La notion même de frottement est intuitive : frottement des mains pour les réchauffer, frottement de l'archet sur les cordes du violon, glissade sur une patinoire, freinage à vélo, crissement des freins du TGV, celui des gonds d'une porte mal huilée, déplacement d'une armoire lourde sur un sol dur (effort différent au départ puis lors du mouvement), bruit de stick-slip des essuies-glaces sur la vitre qui sèche d'une voiture La recherche en tribologie se focalise dans deux directions : - soit l'optimisation d'un contact pour réduire les frottements, réduire donc la consommation d'énergie et augmenter la durée de vie des pièces en contact, - soit l'optimisation d'un contact pour augmenter le plus possible le frottement avec une durée de vie importante (freins composites...). Les phénomènes associés au frottement ont été formulés mathématiquement au 18ème siècle seulement, notamment par Coulomb, alors que Léonard de Vinci avait fait certaines expériences 200 ans auparavant, mettant en évidence les phénomènes, voir figure ci-dessous. Dans ce cours, nous proposons dans un premier temps, d'analyser quelques expériences simples afin de retrouver les lois empiriques énoncées par Coulomb. Puis nous utiliserons ces lois pour étudier des systèmes mécaniques usuels. 1
1 Énoncé des lois de Coulomb - aspects théoriques 1.1 Expériences Dans le cas d'un contact entre deux pièces, par exemple une caisse parallélépipédique notée 0 sur une plaque inclinée 1, il y a équilibre statique si la réaction globale R de 0 sur 1 équilibre le poids P de 1, suivant le principe de l'inertie (un corps au repos dans un repère Galiléen n'est soumis à aucune force), soit R + P = 0. Figure 2 Analyse des lois de Coulomb Expérimentalement, on distingue quatre étapes essentielles lorsqu'on incline la plaque en partant d'un angle α 1 petit (gure 2.1) : 1. La caisse est en équilibre tant que l'angle α 1 reste inférieur à un angle φ, même si on "aide" la caisse à bouger. 2. En "aidant" la caisse à bouger, pour un angle donné φ, la caisse initie un glissement et son mouvement est conservé si le lancement est susant. C'est le glissement naissant (ou équilibre strict). 3. Sans aider la caisse, son mouvement de glissement commence naturellement dès que la plaque est inclinée d'un angle φ 0. 4. À partir de l'angle φ 0, la caisse glisse et ne s'arrête plus. L'équilibre statique est impossible et la somme vectorielle R + P correspond à la quantité d'accélération 2
de la caisse (m. γ). Interprétation : l'angle φ 0 correspond à l'angle d'adhérence ; il est plus grand que l'angle φ qui se nomme l'angle de frottement (de glissement). Cette diérence est importante car elle est à la source des phénomènes de stick-slip (déplacement d'une armoire, essuie-glace, tremblement de terre, bruit de grincement, de crissement, etc.). 1.2 Cas du glissement naissant Dans la pratique, on prendra l'angle le plus restrictif pour les calculs, généralement ce sera φ. On pourra alors dénir un "cône de frottement" plutôt à partir de l'angle φ. Tant que la force globale résultante R est contenue dans ce cône, il peut y avoir équilibre statique, voir gure 3. PSfrag replacements α Figure 3 Cas du glissement naissant La réaction R se décompose en une composante tangentielle T = T. x liée au frottement et une réaction normale notée N = N. y. Les lois de Coulomb peuvent s'énoncer ainsi : 1. La réaction normale N est positive ; 2. La composante tangentielle s'oppose à la tendance au mouvement, dans le cas présent T > 0 ; 3. T et N sont liées par la relation : T = f.n ; 4. le facteur f est le facteur de frottement de glissement, il est lié à l'angle de frottement par la relation f = tanφ. Attention : le facteur de frottement est : indépendant de la surface de contact, peu sensible à la force normale de contact. Donc, question ouverte : pourquoi des pneus larges plutôt que ns sur des voitures de sport, si la force tangentielle T transmissible au sol ne dépend que de l'eort de contact N? 3
APPLICATIONS Polygone de sustentation Étude d'un double-decker : Les normes britanniques imposent que les autobus à deux étages ne doivent pas verser, si, à l'arrêt, ils sont inclinés de moins de 28. Le poids du double-decker est fixé à 15 000 dan. Question : position limite du centre de gravité du double-decker (sachant que le bus est supposé symétrique)? Échelle posée sur un mur On considère une échelle simple de longueur L, de masse m, de centre de gravité G, en appui sur un mur en A et sur le sol en B. Le problème est supposé plan. On étudie les trois cas d'équilibre suivant : - aucun frottement aux points de contact A et B, - frottement au contact échelle/sol en B (facteur de frottement noté fa), - frottement en B (comme précédemment) et frottement en A (facteur de frottement noté fb). 4
Voiture garée dans une pente On considère une voiture garée, frein à main serré dans une montée ; seules les roues arrières du véhicule sont bloquées. On souhaite déterminer l'angle β maximal, à partir duquel la voiture glisse. Données : h =80cm, a =1m et b =1,5m. Facteur de frottement de glissement sur route sèche : 0,8 Reprendre le problème lorsque la voiture est garée en descente, roues arrières bloquées. Quel est le cas le plus défavorable? 5