Statique des systèmes de solides. 1 Deux exemples d illustration Système de freinage du TGV Micro-compresseur...

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1 Statique des systèmes de solides Table des matières 1 Deux exemples d illustration Système de freinage du TGV Micro-compresseur Résolution commentée de l exemple du compresseur Modélisation du système Modélisation des efforts (actions mécaniques) Étude de l équilibre de la bielle Étude de l équilibre de l arbre Action de 2/ Action de 0/ Action du moteur sur Équations du PFS Étude de l équilibre du piston Résolution du problème Retour sur les efforts dans les roulements Action mécanique et Principe Fondamental de la Statique (PFS) Le torseur d action mécanique (torseur statique) Énoncé du Principe Fondamental de la Statique (PFS) Théorème des actions réciproques Méthodes de résolution Méthode systèmatique (mais longue) Méthode intelligente Méthode intuitive Exemple : Système de freinage du TGV Modélisation plane en statique Modélisation des actions mécaniques Action mécanique volumique Action mécanique surfacique Modélisation d un contact ponctuel entre deux solides Lois de Coulomb Contact sans frottement Contact avec frottement : Modèle de Coulomb Contact ponctuelle avec résistance au roulement ou au pivotement Exemple : Système de freinage du TGV Contact surfacique entre deux solides Contact surfacique sans frottement Contact surfacique avec frottement : modèle de Coulomb Le problème de la répartition de pression normale Exemple : Système de freinage du TGV Support du sujet du concours Centrale-Supélec 2006 filière PSI. Marc Dérumaux LLG page 1

2 5 Modélisation des liaisons réelles Illustration : Guindeau Lewmar Fonction du guindeau Fonctionnement du guindeau Problématique Influence de la taille relative de la zone de contact Cas d école Application au contact roue-vis Application au guidage par surfaces coniques Influence du jeu sur les actions transmissibles Cas d école Application à l arbre Influence du frottement dans les liaisons Quand tenir compte du frottement Application au barbotin Liaisons par éléments d interface Roulements Les roulements Application au guindeau Statique graphique Cas d un solides soumis à 2 forces Cas d un solide soumis à 3 forces non parallèles Deux exemples d illustration 1.1 Système de freinage du TGV 2 Le TVG est l une des technologies de pointe sur laquelle la France est leader mondial. Il représente une vitrine du savoir-faire français et devrait pouvoir conquérir les marchés du train grande vitesse dans le monde. Le 3 avril 2007, le TGV battait pour la troisième fois son propre record mondial à km/h. Au-delà de ce record, la technologie française permet des trajets commerciaux à plus de 320 km/h avec un niveau de confort optimal. Plusieurs verrous technologiques ont dû être levés pour atteindre ces performances. L innovation consistant à construire une rame dont les bogies sont placés à l interface entre les voitures est un élément clé des performances du TGV. Le freinage est lui aussi un élément clé, puisque l énergie cinétique à dissiper évolue avec le carré de la vitesse. Le TGV est actuellement limité à 320 km/h par son système de freinage. Celui-ci est constitué d un freinage rhéostatique (les moteurs sont utilisés en génératrice et débitent dans des résistances placées sur le toit) et d un freinage par frottement (freins à disques sur les voitures et à semelles sur les motrices). Pour passer à 350 km/h en vitesse commerciale, Alstom prévoit d ajouter un frein à courant de Foucault, dissipant l énergie directement dans les rails. Nous nous intéressons dans cette partie aux freins à disques. Le TGV Duplex (377 passagers) comporte 10 voitures (dont deux motrices en tête et en queue, contenant l équipement 2 Support du sujet du concours Centrale-Supélec 2006 filière PSI. page 2

3 FIG. 1 Rame du TGV modifiée pour le record de vitesse. FIG. 2 Bogie porteur, contenant les freins à disques. FIG. 3 Essieu d un bogie moteur. électrique) pour une longueur totale de 200 m et une masse en charge normale de 425 tonnes. Entre les voitures, 13 bogies supportent le train. 4 bogies sont moteurs (et assurent le freinage rhéostatique figure 3) tandis que 9 bogies sont porteurs (et contiennent les freins à disque figure 2). Chaque bogie est constitué de deux essieux, ayant chacun deux roues de diamètre 900 mm. Sur les bogies porteurs, chaque essieu comporte 4 disques de frein en acier de diamètre 640 mm (figure 4). Ce système est capable de développer un effort de freinage de plus de N par bogie. Deux garnitures sont pressées contre le disque de frein, à l aide d un vérin à air comprimé (alimentation maxi 9 bars). Un système articulé guide les garnitures et encaisse les efforts. La figure 5 détaille les pièces du système articulé et montre le schéma de principe. Un schéma cinématique, donné dans deux points de vue différents est fourni figure 6. Le dimensionnement du mécanisme de freinage passe par le calcul de grandeurs clé : la pression de commande du vérin, les efforts supportés par les biellettes pour assurer leur résistance, les pressions aux contacts pour éviter la dégradation des matériaux, etc... Ces grandeurs nécessitent une modélisation pointue des efforts transmis par les pièces Marc Dérumaux LLG page 3

4 FIG. 4 Bogie porteur vue sur les freins à disques. FIG. 5 Schéma de principe du système de freinage. et les liaisons. Ce cours propose des outils d analyse d un système complexe dans le point de vue des efforts. Pour introduire ces outils, nous allons tout d abord considérer un problème plus simple : un compresseur. 1.2 Micro-compresseur Certaines machines utilisent de l énergie pneumatique pour ses actionneurs (le TGV en est un exemple). Un micro-compresseur permet de fournir de l air sous pression sous 5 à page 4

5 FIG. 6 Schéma cinématique du système de freinage. 8 bar. Il fonctionne généralement de façon intermitante : l air sous pression est stocké dans une bonbonne. Le compresseur est lui même entrainé par un moteur électrique. FIG. 7 Vue extérieure du compresseur. FIG. 8 Vue en écorché de l intérieur du compresseur. Marc Dérumaux LLG page 5

6 La figure 7 présente une vue extérieure du compresseur 3. On distingue l arbre moteur, lié au moteur électrique, et les orifices d admission et de refoulement d air. Le principe de fonctionnement est basé sur un système bielle-manivelle. Le mouvement d aller-retour du piston permet d augmenter puis diminuer alternativement le volume d une chambre. Deux clapets anti-retour assurent la distribution du gaz : un clapet autorise l air extérieur à rentrer dans la chambre lorsque le piston descend et l empèche de ressortir. Le second clapet autorise l air à sortir vers la bombonne lorsque sa pression est suffisante pour pousser la bille. La compression d un gaz s accompagnant d une élévation de sa température, des ailettes de refroidissement sont disposées autour de la chambre de compression. FIG. 9 Vue extérieure du compresseur. FIG. 10 Vue en écorché de l intérieur du compresseur. 2 Résolution commentée de l exemple du compresseur L exemple que nous allons développer est essentiel : il va illustrer toute la démarche de résolution d un problème de statique et nous introduirons au fur et à mesure les outils théoriques nécessaires. Si vous comprenez bien l exemple, vous serez immédiatement opérationnels sur les problématiques proposées en exercices ou en concours. On souhaite déterminer le couple moteur nécessaire pour atteindre 10 bars, ainsi que les efforts dans les liaisons entre solides, et en particulier les efforts dans les deux roulements guidant l arbre moteur en rotation. On supposera que le moteur ne tourne pas très vite et que les effets dynamiques sont négligeables devant les efforts statiques dûs à la pression de l air. Pour répondre à cet objectif, nous chercherons successivement à : Modéliser le système pour faire apparaître ses propriétés en termes d efforts, Modéliser les efforts extérieurs et ceux entre solides, Traduire l équilibre des pièces afin de trouver les lois liant les forces s exerçant dans le système. 3 Maquette numérique et plans réalisés par Raymond BAROUX, professeur au LP Sauxmarais page 6

7 2.1 Modélisation du système Le mécanisme est constitué d un assemblage de pièces rigides (la géométrie des pièces peut être considérée comme invariante). On recherche les efforts s exerçant entre les pièces. Il est donc logique de se rapprocher des modèles déjà utilisés en cinématique, qui présentent le mécanisme comme un assemblage de solides liés par des liaisons. FIG. 11 Graphe de structure du compresseur. Nous utiliserons donc le graphe de structure et le schéma cinématique pour modéliser le système. Attention toutefois car le point de vue adopté est l étude des efforts : le choix des liaisons peut être différent de celui envisagé pour l étude des mouvements. On propose le graphe de structure de la figure 11 et le schéma cinématique (paramétré) figure 12. FIG. 12 Schémas cinématiques 3D et 2D du compresseur. La liaison du piston avec le bâti est réalisée par un contact cylindre-cylindre et se modélise naturellement par une liaison pivot glissant. Les deux liaisons de part et d autre de la bielle sont réalisées par des contact cylindrecylindre relativement courts par rapport au diamètre, ce qui nous conduit à les modéliser par des liaisons rotules. Nous reviendrons plus tard sur les raisons de ce choix (paragraphe 5.3 page 32). Pour le guidage de l arbre par rapport au bâti, nous ne sommes pas rentrés dans le détail des deux roulements et nous avons modélisé la liaison globale comme une pivot, bloquant tous les mouvements hormis la rotations suivant z. Ces choix de liaisons vont nous guider pour traduire les efforts transmis par ces liaisons. Marc Dérumaux LLG page 7

8 2.2 Modélisation des efforts (actions mécaniques) Effort extérieur de l air sur le piston 3 : L air exerce sur la surface S du piston une pression p uniforme, qui peut être représentée par une force appliquée au centre C de la surface : F air/3 = p.s. y 0. Effort de la bielle 2 sur le piston 3 : La liaison rotule ne bloquant aucune rotation, elle ne peut transmettre qu une force appliquée en son centre : F 2/3. Effort de l arbre 1 sur la bielle 2 : De même, la liaison rotule transmet une force : F 1/2. Effort extérieur du moteur sur l arbre 1 : L action du moteur est un couple (ou un moment) car elle tend à faire tourner l arbre suivant l axe z 0. Elle se modélise sous la forme d un vecteur colinéaire à z 0 : MM,mot/1 = C m. z 0 (C m s exprime en N.m). Action mécanique du bâti 0 sur l arbre 1 : La liaison pivot entre le bâti 0 et l arbre 1 bloque beaucoup de mouvements : les trois translations et deux rotations. Lorsqu un mouvement est bloqué, cela sous-entend que la liaison est susceptible de transmettre une action qui empêche le mouvement. La liaison est donc capable de transmettre une force F 0/1 suivant les trois directions pour bloquer les translations, et un moments M D,0/1 suivant les deux directions x 0 et y 0 pour bloquer les rotations : F 0/1 = X 01. x 0 + Y 01. y 0 + Z 01. z 0 MD,0/1 = L 01. x 0 + M 01. y 0 Action mécanique du bâti 0 sur le piston 3 : De même, la liaison pivot-glissant du bâti 0 sur le piston 3 est capable de transmettre une force F 0/3 suivant les deux directions de translation bloquées x 0 et z 0, ainsi qu un moment M C,0/3 suivant les deux directions de rotation bloquées x 0 et z 0 : F 0/3 = X 03. x 0 + Z 03. z 0 MD,0/3 = L 03. x 0 + N 03. z 0 Pour être le plus clair possible sur la terminologie, on réserve le terme de Force lorsqu il s agit d une force appliquée en un point, le terme de Couple pour une action qui tend uniquement à faire tourner (pas de force associée) et le terme d Action Mécanique dans le cas général, lorsqu il y a association d une force et d un moment. Le terme effort est utilisé de façon plus vague pour désigner soit une force, soit une action mécanique. 2.3 Étude de l équilibre de la bielle Chacun connait le principe fondamental de la dynamique appliqué au point matériel : Fext = m. a. Si le mouvement est lent ou si il n y a pas mouvement (hypothèse de système quasi-statique ou statique), l accélération est nulle et on parle alors de principe fondamental de la statique : Fext = 0. Appliqué à la bielle 2, soumise à deux forces extérieures, le PFS s écrit : Fext/2 = 0 = F 1/2 + F 3/2 = 0 page 8

9 FIG. 13 La somme des forces égale à 0 n est pas suffisant pour assurer l équilibre. FIG. 14 Bielle 2 à l équilibre (forces et moments). Cette équation est suffisante en mécanique du point pour assurer l équilibre. Pourtant elle n est pas suffisante en mécanique des solides car on comprend vite sur la figure 13 que l équilibre en rotation n est pas assuré. Pour éviter que la bielle ne tourne, les deux forces doivent non seulement être opposées et de même normes, mais doivent aussi être collinéaires à AB (figure 14). L équilibre en rotation s écrit comme la somme des moments extérieurs (en un point quelconque A) nulle : MA,ext = 0. Appliquée à la bielle, l équilibre des moments s écrit : M A,1/2 + M A,3/2 = 0 Le moment en A de F 1/2 est nul (force appliquée en A) et le moment en A de F 3/2 est nul ssi F 3/2 est collinéaire à AB. 2.4 Étude de l équilibre de l arbre L arbre est soumis à trois actions mécaniques : l action de 2/1, de 0/1 et de mot/1. L équilibre du solide 1 s écrit comme la somme des forces extérieures nulles et la somme des moments extérieurs (en un point P ) nuls : { Fext = 0 MP,ext = 0 La somme des forces ne pose pas de difficultés. La somme des moments par contre doit s écrire en un même point. La rotation principale de l arbre étant autour de l axe (O, z), on va choisir le point O Action de 2/1 La force F 2/1 tend à faire tourner l arbre 1 autour de l axe (O, z). Son moment en O n est donc pas nul. Pour comprendre comment calculer le moment de cette force, décomposons-la en deux composantes radiale et tangentielle : F 2/1 = F r + F t (figure 15). La force radiale F r ne tend pas à faire tourner l arbre 1 autour de (O, z) donc son moment est nul. Par contre, la force tangentielle F t tend pleinement à faire tourner l arbre. Cette action sera d autant plus importante que la norme de F t est grande, et que la distance OA est grande. Marc Dérumaux LLG page 9

10 FIG. 15 Moment de la force F 2/1 au point O. Ne gardons pas le secret plus longtemps : la relation générale permettant de calculer le moment d une action mécanique est la suivante : M O,2/1 = M A,2/1 + F } {{ } 2/1 AO = 0 Cette relation montre bien la proportionnalité de M O,2/1 à F t et OA. Elle montre aussi et surtout que la force et le moment forment un torseur car il s agit d une relation de changement de point! On définit le torseur statique : { } T 2/1 = A Le calcul du moment de F 2/1 conduit à : { F2/1 } = M A,2/1 A { F2/1 M O,2/1 = M A,2/1 + F 2/1 AO = 0 + F 21. y 2 ( R. x 1 ) = R.F 21. cos(β θ). z 0 { } Le torseur s écrit donc en O : T 2/1 = O Action de 0/1 { F2/1 0 } } { } F = 21. y 2 M O,2/1 R.F O 21. cos(β θ). z 0 La liaison entre 0 et 1 est susceptible de transmettre une force et un moment comme décrit page 8, qui peuvent se traduire par un torseur d action mécanique. Ce torseur peut s écrire en ligne ou en colonne : { } { } { } F0/1 X T X01. x 0/1 = = 0 + Y 01. y 0 + Z 01. z 01 L 01 0 = Y D M D,0/1 L D 01. x 0 + M 01. y 01 M 01 0 D 0 B0 Z 01 La réduction en O du torseur s écrit : M O,0/1 = M D,0/1 + F 0/1 DO = B 0 { } D où le torseur en O : T 0/1 = O L 01 M 01 0 X 01 Y 01 Z 01 X 01 + Y 01 B 0 Z 01 B 0 L 01 + d.y 01 M 01 d.x 01 0 B0 0 0 d = B 0 L 01 + d.y 01 M 01 d.x 01 0 page 10

11 2.4.3 Action du moteur sur 1 L action du moteur est un couple, c est à dire un moment sans force associée : { } { } { } T 0 0 mot/1 = = C M m. z 0 C O m. z 0 Le moment de ce torseur est invariant, quel que soit le point : Équations du PFS M O,mot/1 = M M,mot/1 + 0 MO = C m. z 0 Le principe fondamental de la statique appliqué au solide {1} s écrit sous forme torsorielle (qui rassemble les équations de force et de moment) : { } { } { } T 0/1 + T mot/1 + T 2/1 = { 0} D où les deux équations vectorielles (les moments sont réduits en O) : { F0/1 + F mot/1 + F 2/1 = 0 M O,0/1 + M O,mot/1 + M O,2/1 = 0 D où les six équations, par projection des équations vectorielles sur la base B 0 : X F 21. sin β = 0 Y F 21. cosβ = 0 Z = 0 L 01 + d.y = 0 M 01 d.x = 0 0 +C m +R.F 21. cos(β θ)= Étude de l équilibre du piston 3 { } { } { } Le PFS appliqué au piston {3} s écrit : T 0/3 + T air/3 + T 2/3 = { 0} Chacun des torseurs s écrit : { } X 03 L 03 { } { } T 0/3 = 0 0 T p.s. y0 { } { } air/3 = 0 T F23. y 2 2/3 = 0 C B0 C B Z 03 N 03 La réduction en C s écrit : MC,2/3 = 0 + F 23. y 2 BC = F23. y 2 λ. y 0 = λ.f 23. sin β. z 0 D où les six équation du PFS par projection sur la base B 0 : X F 23. sin β = 0 0 p.s+f 23. cosβ = 0 Z = 0 L = = 0 N λ.f 23. sin β= 0 Marc Dérumaux LLG page 11

12 2.6 Résolution du problème Nous avions au total 16 inconnues (5 inconnues pour la pivot, 4 inconnues pour la pivotglissant, 2 3 inconnues pour les deux rotules et une inconnue C m ). Nous avons isolé au total 3 solides, appliqué trois fois le PFS et obtenu 3 6 = 18 équations, même si les équations de l isolement de la bielle 2 n ont pas été écrites explicitement. Sur ces 18 équations, seules 16 sont exploitables : deux équations sont dégénérées 0 = 0 du fait des mobilités internes. On voit que la 5ème équation de l isolement du piston 3 est dégénérée (aucun moments suivant y 0 car mobilité en rotation autour de (C, y 0 )) et l isolement de 2 comporte aussi une équation dégénérée (mobilité en rotation de la bielle suivant (AB)). La résolution du système à 16 équations et 16 inconnue (qui peut effayer par sa taille) est triviale car le système est creux (c est à dire que les inconnues ne sont pas dans toutes les équations). On trouve : C m = R.F 21. cos(β θ) et : F 21 = F 12 = F 32 = F 23 = p.s cos β d où : C m = R.p.S.cos(β θ) cos β Les efforts dans la liaison pivot s écrivent : X 01 = F 21. sin β = p.s. tan β Y 01 = F 21. cosβ = p.s Z 01 = 0 L 01 = d.p.s M 01 = d.p.s. tan β 0 = 0 On peut remarquer que l expression Y 01 = p.s est évidente si on considère qu en isolant {1+2+3}, c est bien la liaison pivot qui encaisse la force verticale de l air sur le piston. Ces efforts dans la liaison pivot ne sont cependant pas directement utilisable pour le dimensionnement des roulements. Il faut auparavant décomposer cette action globale en deux actions propres à chaque roulement. 2.7 Retour sur les efforts dans les roulements La solution constructive de la liaison pivot, constituée de deux roulements, est modélisée par deux liaisons rotules sur le schéma cinématique figure 16. Nous reviendrons plus tard sur les raisons de ce choix (paragraphe 5.5 page 36). FIG. 16 Modélisation du montage de roulements réalisant la liaison pivot 0-1. La somme des actions mécaniques des deux roulements est égale à l action globale de la liaison pivot, ce qui s écrit : { } { } { } T 0-E/1 + T 0-F/1 = T 0/1 page 12

13 Chaque roulement étant considéré comme une rotule (en E et F ), les torseurs d actions mécaniques s écrivent : { } T 0-E/1 = E X E Y E Z E 0 { } 0 T 0-F/1 = 0 B0 F X F Y F Z F B0 Réduction des torseurs en D : M D,0 E/1 = 0+ B 0 X E Y E Z E B µ = B 0 µ.y E µ.x E 0 et MD,0 F/1 = 0+ B 0 X F Y F Z F B µ = B 0 µ.y F µ.x F 0 Les six équations scalaires s écrivent alors dans la base B 0 : X E +X F = p.s. tan β Y E Y F = p.s Z E Z F = 0 µ.y E µ.y F = d.p.s µ.x E +µ.x F = d.p.s. tan β 0 +0 = 0 La résolution du système conduit à : Y E = p.s µ Y F = p.s µ X E = p.s µ X F = p.s µ.(µ d).( µ d).( µ + d). tanβ.( µ d). tanβ Par contre, on s aperçoit que pour Z E et Z F, il y a une infinité de solutions... La résolution n est pas possible pour ces deux inconnues car le système est hyperstatique, c est à dire surcontraint. En effet, les deux roulements bloquent le même mouvement de translation suivant z 0! Il n est donc pas possible de savoir dans quelle proportion chacun supporte la charge suivant z 0 sans considérer la déformation de l arbre et des roulements. Il est en général souhaitable d identifier ce type de difficulté avant de se lancer dans la résolution du problème. C est possible en faisant un bilan du nombre d équations, d inconnues et de mobilités du système. Le chapitre de théorie des mécanismes approfondira cet aspect en 2ème année. Dans notre cas, on écrit 1 équation de torseurs, soit 6 équations scalaires, dont 1 dégénérée (mobilité en rotation autour de (O, z 0 )) et 2 3 inconnues pour le deux rotules. On obtient donc un système de 5 équations à 6 inconnues. Le degré d hyperstatisme vaut h = 1. L exemple que nous venons de terminer résume l essentiel des méthodes, outils et difficultés d un problème de statique. Si vous avez bien compris cet exemple, vous êtes armés pour la majeur partie des problèmes de statique. La suite du cours vise à structurer les informations introduites au cours de l exemple. Marc Dérumaux LLG page 13

14 3 Action mécanique et Principe Fondamental de la Statique (PFS) 3.1 Le torseur d action mécanique (torseur statique) Une action mécanique s exerçant sur un solide rigide (ou entre deux solides rigides) est complètement caractérisée par le torseur statique : { } T S1 /S 2 = A { F1/2 M A,1/2 } Force F 1/2 : action qui tend à translater le solide 2. Moment en A M A,1/2 : action qui tend à faire tourner le solide 2 autour de A. Relation de changement de point du torseur : M B,1/2 = M A,1/2 + F 1/2 AB Le moment en B est l action qui tend à faire tourner autour de B. Cas particuliers : Force F { } { F en un point A : T F = 0} A Couple C { } { } : T C 0 =, M. C M Torseur d action mécanique transmissible par une liaison Exemple d une liaison pivot : la liaison autorise une rotation suivant (A, z) et bloque les autres mouvements, ce qui conduit à des efforts suivant toutes les composantes sauf les moments autour de (A, z). Les torseurs cinématiques et statiques s écrivent : { } { } ω. z { } { } V2/1 = 0 T X. x + Y. y + Z. z 1/2 = L. x + M. y A A Une liaison parfaite, par définition, ne dissipe pas d énergie, ce qui { conduit } { systématiquement les torseurs cinématiques et statiques à vérifier la propriété : T 2/1 V1/2 = } 0 La feuille de liaison distribuée lors du cours de cinématique précise les torseurs statiques des différentes liaisons. Exemple d une liaison Appui-Plan : la liaison autorise une rotation suivant (A, z) et deux translations suivant x et y, ce qui conduit à des efforts suivant les mouvements bloqués. Les torseurs cinématiques et statiques s écrivent : { } { } { } { } ω. z V2/1 = U. x + V. y T Z. z 1/2 = L. x + M. y A A page 14

15 FIG. 17 Système matériel Σ à l équilibre dans R g. 3.2 Énoncé du Principe Fondamental de la Statique (PFS) Principe Fondamental de la Statique Soit Σ un système matériel. Il existe un repère R g dit Galiléen tel que si Σ est au repos dans R g, alors la somme des actions mécaniques de l extérieur à Σ sur Σ est nulle : { T Σ Σ } = {0} 3.3 Théorème des actions réciproques FIG. 18 Deux systèmes matériels Σ 1 et Σ 2 à l équilibre. Soit Σ l union de deux systèmes matériels Σ 1 et Σ 2. En appliquant le PFS à Σ 1 et Σ 2, on obtient : { } T Σ1 Σ 1 = {0} { } T Σ2 Σ 2 = {0} En additionnant les deux équations : ({ } { }) ({ } { }) T Σ Σ1 + T Σ2 Σ 1 + T Σ Σ2 + T Σ1 Σ 2 = {0} Marc Dérumaux LLG page 15

16 { } { } { } = T Σ Σ + T Σ2 Σ 1 + T Σ1 Σ 2 = {0} { } Sachant que le PFS appliqué à σ conduit à T Σ Σ = {0} { } { } On en déduit : T Σ2 Σ 1 = T Σ1 Σ 2 { } Si un système matériel Σ 2 applique une action mécanique T Σ2 Σ 1 réciproquement Σ 1 applique l action opposée sur Σ 2. sur Σ 1, alors 3.4 Méthodes de résolution Soit un système constitué de plusieurs solides en liaison et soumis à des actions mécaniques extérieures. L objectif d une étude de statique des solides est de déterminer les équations liant les actions mécaniques s exerçant sur chaques solides. FIG. 19 Graphe de structure type d un système dont on recherche certaines informations d efforts dans les liaisons Méthode systèmatique (mais longue) 1. On isole chaque solide individuellement. Isoler signifie définir une frontière entre un système et l extérieur à ce système en vu de faire le bilan des actions mécaniques extérieures s exerçant sur le système et d appliquer le PFS. 2. Pour chaque isolement, faire le bilan des actions mécaniques extérieures. 3. Écrire le PFS pour chaque solide. 4. Réduire en un point quelconque chaque PFS. 5. Projeter sur une base quelconque pour obtenir un système d équations à résoudre. Remarque : Si toutes les actions mécaniques extérieures au système de solides sont connues, on peut prévoir : 6 S équations (S : nombre de solides), I s inconnues (I s : nombre d inconnues dans les torseurs statiques), page 16

17 m équations trivialement vérifiées (m : mobilité du système). Soit un système de I s inconnues, de rang 6 S m. Ce système peut être résolu ssi h = I s (6 S m) vaut h = 0 (système dit isostatique). Sinon, le système est dit hyperstatique d ordre h et ne peut être entièrement résolu Méthode intelligente FIG. 20 Construction d une stratégie de résolution efficace. 1. Dresser un bilan des actions mécaniques données et des actions mécaniques recherchées. 2. Déterminer un isolement coupant la liaison aux inconnues recherchées et coupant le moins de liaisons non recherchées possible pour éviter les inconnues. Appliquer le PFS. 3. Choisir le point de réduction et les équations vectorielles ne sollicitant pas les inconnues non recherchées : éviter de déplacer un torseur contenant beaucoup d inconnues non recherchées. 4. Choisir une base de projection permettant d isoler les inconnues non recherchées. 5. Écrire le système d équations. S il ne peut être résolu, identifier les inconnues à rechercher et proposer un nouvel isolement intelligent Méthode intuitive Une dernière méthode, plus intuitive, peut être très efficace pour celui qui a un peu de sens mécanique (ou qui l auront bientôt...). Il s agit de décrypter les efforts dans le mécanisme à partir des mouvements permis par les liaisons. Voir quels efforts travaillent, voir quelles mobilités annulent certaines composantes d efforts dans les liaisons. Il n y a rien de systèmatique par cette méthode. On peut seulement retenir les grandes lignes suivantes : Marc Dérumaux LLG page 17

18 Repérer rapidement les solides soumis à deux actions mécaniques (deux liaisons avec d autres solides) : leur isolement doit pouvoir conduire à des simplifications utiles sur les actions mécaniques, identifiables sans même écrire le PFS. Dans le cas des liaisons avec le bâti, écrire les équations de PFS sur les mobilités de ces liaisons permet de déterminer comment les efforts se transmettent dans le mécanisme. Cette méthode peut être appliquée à l exemple du compresseur : On a tout de suite isolé la bielle 2 car elle est soumise à deux actions mécaniques (deux forces dans ce cas). Cette isolement (qui n a pas été réellement détaillé car le résultat apparaissait immédiatement) a permis de définir la direction (AB) des forces et d affirmer qu elles sont de normes identiques et de directions opposées. Pour déterminer comment d effort de l air sur le piston est transmis jusqu au moteur, il faut isoler le piston et appliquer le PFS en résultante suivant y 0 pour déterminer l effort en B (car la liaison pivot-glissant autorise une translation suivant y 0 et parce que la force travaille dans ce mouvement). L isolement de 2 donne l effort en A. On termine en isolant 1, PFS en moment suivant (O, z 0 ) pour déterminer le couple moteur (car la liaison pivot autorise une rotation suivant (O, z 0 )) Exemple : Système de freinage du TGV On cherche à déterminer l effort exercé par le vérin, en supposant connus les efforts du disque D sur les garnitures G 1 et G 2 appliqués aux points I1 et I2 (ces efforts seront déterminés par la suite) : F D/G1 = N. z T. x FD/G1 = N. z T. x Proposer un graphe de structure du système de freinage. Proposer une démarche de résolution en précisant pour chaque isolement l équation scalaire écrite. Développer les calculs et en déduire l action mécanique exercée par le vérin. Pour les plus bes... d entre vous, vous pouvez essayer de faire un bilan des équations disponibles, des inconnues et des mobilités (utiles et internes) pour déterminer le degré d hyperstatisme, voire de retrouver quelles inconnues ne pourront pas être déterminées. Bonne chance Modélisation plane en statique Un problème de statique est dit plan si : Tous les efforts sont dans le plan, Tous les moments sont normaux au plan. Pour qu un problème de statique soit plan, il faut que la géométrie soit symétrique par rapport à un plan ou invariante dans la direction normale au plan, et que le chargement soit plan. page 18

19 4 Modélisation des actions mécaniques La matière (liquide, solide ou gazeuse) est constituée d atomes. Mais à l échelle où la matière est considérée comme liquide, solide ou gazeuse, les atomes sont suffisamment petits pour modéliser la matière comme une répartition continue. Les actions mécaniques s appliquent sur cette matière continue. La plupart peuvent se modéliser mathématiquement sous la forme d un champ de vecteur F(M) volumique ou surfacique. Dans le point de vue des solides rigides, l expression du PFD nécessite de connaître les actions mécaniques s exerçant globalement sur le système. Le calcul de l action globale à partir de la répartition locale d effort est une simple somme (ou intégration) des actions locales. 4.1 Action mécanique volumique Soit Σ un système matériel. Une action mécanique volumique f(m) est un champ de vecteurs associé à une mesure dµ, qui à tout point M de Σ associe une action mécanique f(m).dµ s exerçant sur la mesure dµ au voisinage de M (figure 21). FIG. 21 Action volumique f(m) s exerçant sur un système matériel Σ. Exemple : la pesanteur L action volumique s écrit f poids = g, associée à dm l élément de masse. L action mécanique élémentaire s exerçant sur dm s écrit dp poids = g.dm. L action globale du poids sur Σ peut s écrire sous la forme d un torseur : { } T poids/σ = A { Ppoids M A,poids } Chacune des composantes du torseur est la somme des actions élémentaires : P poids = g. z.dm et MA,poids = AM g. z.dm La masse m totale du solide s écrit : m = P poids = m.g. z. Σ Marc Dérumaux LLG page 19 Σ Σ dm, d où l expression de la résultante :

20 Soit G le centre de gravité de solide : AG = 1 m moment : M A,poids = Σ Σ AM g. z.dm = m. AG g. z AM.dm. On en déduit l expression du. { } { } On remarque que si A = G, MA,poids = 0, d où T m.g. z poids/σ =. Ce torseur 0 G est un glisseur de support (G, z). 4.2 Action mécanique surfacique Soit Σ un système matériel. Une action mécanique surfacique F(M) est un champ de vecteurs associé à une mesure dµ, qui à tout point M de la surface Σ de Σ associe une action mécanique F(M).dµ s exerçant sur la mesure dµ au voisinage de M (figure 22). FIG. 22 Action surfacique F(M) s exerçant sur le bord Σ d un système matériel Σ. Exemple : pression d un fluide parfait (ou au repos) sur un solide L action surfacique s écrit F pression (M) = p(m). n, associée à l élément de surface ds. p(m) est la pression du fluide en M et n la normale à la surface en M (figure 22). L effort de pression élémentaire est alors dp pression = p. n.ds. L action globale se calcule par intégration, de façon similaire à l action volumique. Théorème d Archimède L action d un fluide au repos sur un solide immergé est égale à l opposé du poids des fluides déplacés. Soit G le centre de gravité du volume d eau contenu dans S, l action de l eau sur S est équivalente à une force F eau/s = ρ eau.v.g. z appliquée en G, où ρ eau est la masse volumique de l eau, V le volume de S, g l accélération de la pesanteur et z la verticale ascendante. 4.3 Modélisation d un contact ponctuel entre deux solides Lois de Coulomb Le contact entre deux solide n est jamais ponctuel : il y a toujours une surface de contact entre les deux solides. Cependant, cette surface peut être petite devant les dimenpage 20

21 sions des solides, si bien qu il est commode de considérer l action mécanique globalement transmise, en un point moyen au contact, ce qui revient à considérer l action comme ponctuelle. FIG. 23 Contact roue-rail sur un train. FIG. 24 Paramétrage du contact ponctuel. La surface d un contact roue-rail sur le TGV par exemple est de l ordre de 2 cm 2. Cette dimension est très inférieure au rayon de la roue par exemple. Il faut néanmoins garder à l esprit qu il existe toujours une petite répartition de pression au voisinage du point moyen. La pression maximale dans cette zone permet de conclure sur la dégradation des surfaces. Les forces surfaciques autour du point moyen peuvent être responsables de résistances au roulement ou au pivotement que nous chercherons à modéliser globalement par la suite. Soient 1 et 2 deux solides en contact ponctuel en I. On note Π le plan tangent au contact et n la normale orientée de 1 vers 2. Le solide 1 exerce sur 2 une force ponctuelle : F 1/2 = F N. n + F T où F N est la composante normale et F T Π la composante tangentielle. Marc Dérumaux LLG page 21

22 4.3.1 Contact sans frottement Le contact sans frottement impose : F 1/2 colinéaire à n (non frottement), F 1/2 de même sens que n (condition de contact unilatéral), V I,2/1. n = 0 (condition de contact persistant) ou V I,2/1. n 0 (condition de contact non persistant) Contact avec frottement 4 : Modèle de Coulomb Cas de l adhérence en I : Non glissement : V I,2/1 = 0 Limite sur l action tangentielle : F T f.f N (F N 0). Cas du glissement en I : Condition de contact : V I,2/1 Π Action tangentielle : F T = f.f N (F N 0), Sens de l action tangentielle : F T de même direction et de sens opposé à V I,2/1. f est le coefficient de frottement (sans unité). Il s agit d un coefficient mesuré expérimentalement, qui dépend des matériaux en contact, de la qualité des surfaces et des lubrifiants présents sur les surfaces. Un coefficient de frottement n est jamais très précisément connu. On admet généralement une précision de l ordre de 20 à 40%. Exemples de coefficients de frottement : Matériaux en contact coefficients de frottement Acier/acier (sec) 0.2 Acier/acier (lubrifié) 0.1 Bronze/bronze ou laiton (sec) 0.2 Acier/bronze ou laiton (sec) 0.2 Acier/bronze ou laiton (lubrifié) 0.08 Acier/téflon 0.05 Lubrification hydrodynamique Pneu/bitume sec 0.8 Pneu/bitume humide 0.6 Le bronze est un alliage de cuivre et d étain (et de plomb lorsqu il est utilisé pour réduire le frottement). Le laiton est un alliage de cuivre et de zinc. Ils présentent de bonnes propriétés de frottement face à l acier (en terme d usure et de grippage), et conduisent (évacuent) très bien la chaleur. Le Téflon PTFE (polytétrafluoroéthylène) est un polymère possédant de très bonnes propriétés de frottement (coefficient faible). Les lois de Coulomb représentent le modèle le plus simple permettant de tenir compte du phénomène de frottement. Il est bien évident que la réalité est plus complexe : souvent, ce coefficient dépend de beaucoup d autres paramètres comme température, la rugosité des surfaces, la vitesse de glissement, etc... 4 Pour tout savoir sur le frottement et la tribologie en général : http ://fr.wikibooks.org/wiki/tribologie page 22

23 FIG. 25 Evolution du coefficient de frottement au contact roue-rail du TGV en fonction du glissement relative Vglissement/Vtrain. A titre d exemple, pour la conception de l anti-enrayeur (asservissement du frein permettant d éviter un bloquage des roues et d optimiser le freinage), les ingénieurs de la SNCF tiennent compte de la variation du coefficient de frottement en fonction de la vitesse de glissement (figure??). Sur cet exemple, on remarque que le coefficient varie entre 0.21 (en quasi-adhérence) et 0.08 (lorsque les roues sont quasi-bloquées). L asservissement vise un freinage au niveau du pic B à 0.15 (plus facile à maintenir qu en A à 0.21). Représentation graphique des lois de Coulomb : le cône de frottement Les conditions de frottement peuvent se représenter graphiquement, sous la forme d une action tangentielle maximale proportionnelle à l action normale, c est à dire sous la forme d une inclinaison maximale de la force transmise au contact par rapport à la normale. Si on considère ϕ tel que f = tanϕ, cet angle représente l inclinaison maximale. FIG. 26 Représentation graphique (plane) du cone de frottement phase d adhérence. FIG. 27 Représentation graphique (plane) du cone de frottement phase de glissement. En phase d adhérence (figure 26), la condition de Coulomb impose que R soit dans le cone de frottement ou, à la limite du glissement, sur le cone. En phase de glissement (figure 27), la condition de Coulomb impose que R soit sur le cone et opposé à la vitesse de glissement. Marc Dérumaux LLG page 23

24 Le modèle de Coulomb interdit à la force R d être hors du cone. Ces représentations planes sont à interpréter en trois dimensions. Le secteur angulaire est alors effectivement un cone, de demi-angle au sommet ϕ (figure 28). FIG. 28 Représentation 3D du cone de frottement. On utilise parfois deux coefficients différents selon qu il y a adhérence ou glissement. On parle alors de coefficient d adhérence et de coefficient de frottement. Le coefficient d adhérence est légèrement supérieur au coefficient de frottement Contact ponctuelle avec résistance au roulement ou au pivotement Soit Ω 2/1 0 et M I,1/2 = M N. n + M T le moment transmis. On note Ω 2/1 = ω P. n + Ω R où ω P est la composante de pivotement et Ω R la composante de roulement ( Ω R Π). On peut modéliser la résistance au pivotement ou au roulement sous la forme : Si Ω P = 0, M N δ.f N, Si Ω P 0, M N = δ.f N et M N opposé à ω P, Si Ω R = 0, M T µ.f N, Si Ω R 0, M T = µ.f N et M T opposé à Ω R et de même direction. δ est le coefficient de résistance au pivotement (exprimé en mètres) et µ est le coefficient de résistance au roulement (exprimé en mètres). Exemple de coefficient de résistance au roulement : Acier sur acier (trains) : 10 5 m, Pneu sur bitume (camions) : 10 2 m. Cas du pneu de voiture : A l arrêt, la déformation symétrique du pneu conduit à une répartition de pression symétrique (figure 29) et une résultante des forces passant par l axe de rotation de la roue. Lorsque le véhicule est en mouvement, la déformation élastique du pneu présente un hystérésis qui conduit à une répartition de pression non symétrique (figure 30) : la pression est plus forte à l avant du pneu qu à l arrière. La résultante des forces passe à une distance µ de l axe de rotation, ce qui crée une résistance au roulement. page 24

25 FIG. 29 Répartition de pression pour une roue de voiture à l arrêt. FIG. 30 Répartition de pression pour une roue de voiture en mouvement. FIG. 31 Evolution du coefficient de résistance au roulement au fil des améliorations technologiques, exprimé en kg (d action tangentielle) par tonne (d action normale) source Michelin Exemple : Système de freinage du TGV On cherche à déterminer l action des garnitures sur les disques de freinage dans la situation où le TGV est à son freinage maximum, c est à dire à la limite du glissement. Déterminer la charge normale exercée sur chaque roue et en déduire l action tangentielle maximale au contact rail-roue (vous pouvez en profiter pour déterminer la décélération maximale du TGV). Quelle solide isoler et quelle équation écrire pour retrouver l action tangentielle des garnitures sur les disques? En déduire les composantes N et T des actions des garnitures sur les disques. Déterminer par la même occasion le couple de freinage C f sur l essieu (qui nous sera utile par la suite). Marc Dérumaux LLG page 25

26 4.4 Contact surfacique entre deux solides Lorsque la surface de contact n est pas petite devant la géométrie du mécanisme, il n est plus possible de faire l hypothèse de contact ponctuel. L action entre les deux solides est surfacique et les lois de Coulomb doivent être écrites localement (de façon similaire à celle du contact ponctuel). On note n(m) la normale de 1 vers 2 en M Contact surfacique sans frottement Pa). F 1/2 (M) colinéaire à n et de même sens. F 1/2 (M) est homogène à une pression (N/m 2 = Contact surfacique avec frottement : modèle de Coulomb F 1/2 = F N (M). n + F T (M) Cas de l adhérence : Non glissement : V M,2/1 = 0 Limite sur l action tangentielle : F T (M) f.f N (M), où F N (M) 0. Cas du glissement : Condition de contact : V M,2/1 Π Action tangentielle : F T (M) = f.f N (M), où F N (M) 0, Sens de l action tangentielle : F T (M) de même direction et de sens opposé à V M,2/ Le problème de la répartition de pression normale Malheureusement, tout n est pas si simple car la répartition de pression normale sur la surface ne peut être déterminée par la mécanique des solides rigides : il faut tenir compte de la déformation des surfaces. Pour mener le calcul sans passer par une résolution numérique (type éléments finis), il faut faire des hypothèses sur la forme de cette répartition. Le calcul de la vitesse de glissement et l application des lois de coulomb permet ensuite de déterminer l action tangentielle Exemple : Système de freinage du TGV L action des garnitures n est pas ponctuelle mais surfacique. On cherche à déterminer l erreur commise sur le couple de freinage en supposant cette action comme ponctuelle aux points I1 et I2. Chaque garniture est constituée de 18 patins circulaires comme le montrent les figures 4 et 32. Le calcul tenant compte de la répartition des patins est difficile à mettre en équation si bien que l on considère en première approximation un contact surfacique sur une portion de disque comme précisé sur la figure 33. Le résultat sera extrapolé ensuite en utilisant le rapport des surfaces des patins et de la portion de disque. La répartition de pression normale p(m) est inconnue. On la suppose dans un premier temps uniforme : p(m) = p 0. Exprimer les lois locales de Coulomb en M. page 26

27 FIG. 32 Demi garniture de frein constituée de 9 patins de friction en céramique. FIG. 33 Paramétrage du contact surfacique des garnitures sur le disque. Déterminer la pression p 0 à assurer en fonction du couple de freinage sur l essieu C f puis l effort normal N. Quel est le rayon du point I d application de la force ponctuelle équivalente? En réalité, la pression normale n est pas tout à fait uniforme. Mais les conséquences sur les résultats sont négligeables. En supposant que l usure des patins est proportionnelle à la vitesse de glissement, proposer une loi de répartition de pression p(m). Déterminer l écart entre la pression maximale et minimale. Un calcul complet de l effort presseur N en fonction du couple de freinage montre qu effectivement, l hypothèse de répartition uniforme est déjà bien assez précise. 5 Modélisation des liaisons réelles 5.1 Illustration : Guindeau Lewmar Fonction du guindeau Un guindeau 5 est un sytème situé à l avant des bateaux de plaisance à moteur ou à voile, permettant de monter ou descendre le mouillage. Le mouillage est constitué d une ancre (en acier) fixée, pour une meilleure accroche sur le fond marin, à une chaîne (en acier) de plusieurs mètres de long puis à un cordage jusqu au bateau. L ensemble du mouillage est lourd à remonter. Le guindeau électrique permet de remonter sans effort le mouillage. Un mécanisme de serrage et desserrage permet de libérer l ancre à la descente (qui descend par gravité). Sur sa partie extérieure, le guindeau est conçu pour s adapter à la fois au cordage (grâce à la poupée) et à la chaîne (grâce au barbotin). Le diagramme SADT A-0 figure 36 décrit fonctionnellement le système. Ce mécanisme, présentant une grande diversité de solution technique pour ses liaisons, permettra d illuster la démarche de modélisation des liaisons. 5 Maquette numérique, plans et illustrations réalisées par Marcel CADOR, professeur au Lycée Technique Privé Saint Etienne à Cesson-Sévigné http ://pagesperso-orange.fr/mcbat/accueil.shtml Marc Dérumaux LLG page 27

28 FIG. 34 Vue complète du guindeau Lewmar. FIG. 35 Illustration d un guindeau installé sur le pont d un bateau. FIG. 36 Diagramme SADT A-0 du guindeau. FIG. 37 Vue écorchée du guindeau Fonctionnement du guindeau Le guindeau est alimenté en énergie électrique (par des batteries). La figure 38 montre la chaîne d énergie. Un moteur électrique convertit cette énergie électrique en énergie mécanique de rotation. FIG. 38 Chaîne d énergie du guindeau. L énergie mécanique de rotation est adaptée par un système roue et vis sans fin, puis transformée par la poupée ou le barbotin en énergie mécanique de translation. On distingue deux fonctions complémentaires à la fonction principale du guindeau : Fonction de roue libre : Permet de remonter l ancre avec une manivelle au cas où l énergie électrique vient à manquer. Descente de l ancre : En desserrant la vis, il y a glissement du barbotin et descente de l ancre. Le moteur électrique n est pas conçu pour descendre le mouillage. page 28

29 5.1.3 Problématique Le guindeau est susceptible de subir des efforts importants, lors d une tempête ou lorsque l ancre reste accrochée au fond. Lors de la conception du système, il est nécessaire de déterminer les actions mécaniques dans les liaisons afin de les dimensionner correctement. L ingénieur passe donc par un modèle du système réel (figure 39), adapté au problème technologique posé (ici l étude des efforts) et permettant de développer des calculs aboutissant à des résultats chiffrés. Ces résultats chiffrés sont interprétés à la lueur du problème posé pour dimensionner la solution technique. FIG. 39 Situation de l étape de modélisation dans le dialogue modèle-réel. Méthode : Modéliser le mécanisme et ses liaisons, sous forme d un schéma cinématique de la solution constructive, Modéliser les actions mécaniques extérieures, Résoudre le problème, Dimensionner les liaisons. Nous nous intéressons dans cette partie uniquement à la modélisation des liaisons. Le reste de la démarche a déjà été développé et illustré dans les parties précédentes. La modélisation est une activité délicate car elle n est pas systèmatique : il s agit d interpréter les phénomènes physiques présents afin d identifier le modèle théorique (la liaison parfaite choisie) le mieux à même de représenter la réalité sans compliquer inutilement le modèle. On peut identifier 4 phénomènes essentiels et délicats dans ce travail de modélisation en statique : l influence de la taille relative de la zone de contact, l influence du jeu dans la liaison, l influence du frottement, le cas des composants de liaisons (type roulements). Chaque cas est développé par la suite. 5.2 Influence de la taille relative de la zone de contact Un certain nombre de liaisons parfaites présentent un contact ponctuel ou linéique : Ponctuelle, linéaire rectiligne, linéaire annulaire... Or, pour transmettre un effort, un contact est nécessairement surfacique. Marc Dérumaux LLG page 29

30 Pourtant, selon la taille de la zone de contact, la liaison choisi sera à contact théorique surfacique ou pas Cas d école On considère deux cas d école : une chaise en appui sur le sol sur ses quatre pieds (figure 41) et un bouchon de bouteille de vin posé sur une table (figure 40). FIG. 40 Bouchon de bouteille de vin, à coté d un des pieds de chaise : la géométrie du contact est identique. FIG. 41 Chaise de classe, en appui sur quatre pieds. On admet facilement que chaque contact entre un pied de chaise et le sol peut être modélisé par un contact ponctuel tandis que le contact table/bouchon peut être modélisé par une liaison appui-plan. Pourtant, la figure 40 montre bien que la géométrie du contact est dans les deux cas très similaire : la surface de contact est un disque de 2 à 3 centimètres carrés. Pourquoi adopter deux modèles différents pour une même réalité? La réponse réside dans la taille de la surface de contact, relativement à la taille de la structure. La dimension du contact est très petite devant celle de la chaise mais du même ordre que celle du bouchon. Le petit contact plan/plan d un pied de chaise sur le sol est-il susceptible de transmettre un moment non négligeable autour du point moyen de contact? Non négligeable par rapport au moment du poids de la chaise par exemple. La réponse est NON : il faut donc choisir un modèle de liaison ne transmettant pas de moment (et une action mécanique normale au sol), c est à dire une liaison ponctuelle. Le petit contact plan/plan du bouchon sur la table est-il susceptible de transmettre un moment non négligeable autour du point moyen de contact? Non négligeable par rapport au moment du poids du bouchon par exemple. La réponse est OUI : il faut donc choisir un modèle de liaison transmettant les moments dans le plan de la table (et une action mécanique normale à la table), c est à dire une liaison appui-plan. Cet exemple illustre bien deux points : La modélisation n a rien de systèmatique : à une même réalité peut correspondre deux modèles différents. Une compréhension fine des phénomènes et des ordres de grandeur conduit sans ambiguité et de façon logique au modèle le mieux adapté. page 30

31 5.2.2 Application au contact roue-vis On s intéresse à l action mécanique transmissible à travers le système roue et vis sans fin (figure 42). Ce système à géométrie complexe mérite une description fine du contact pour proposer un modèle adapté. FIG. 42 Réducteur roue et vis sans fin. FIG. 43 Zone de contact entre la roue et la vis. Le contact entre la roue et la vis se fera sur une petite zone de la surface des dents (de la roue) et de la l hélice (de la vis). La figure 43 montre la zone de contact prévisible, au voisinage du point moyen de contact I. Le contact évoluant dans cette petite zone, on comprend que le moment de la répartition surfacique d effort en I sera négligeable par rapport aux moments en I des actions des roulements. L action mécanique transmise peut donc être modélisée par une force appliquée en I. FIG. 44. En négligeant le frottement (voir partie 5.4), on peut considérer la force normale au contact en I. La géométrie est définie par deux angles : l angle d hélice β et l angle de pres- Marc Dérumaux LLG page 31

32 sion α. La figure 44 montre la décomposition de l effort au contact F en ses composantes axiale (sur x), orthoradiale (sur y) et radiale (sur z). F = F. n = F T + F R = ( F A + F O ) + F R = F A. x F O. y + F R r. z F R = F. sin α F T = F. cosα F A = F. cosαcos β F O = F. cosαsin β On en déduit le torseur d action mécanique transmissible : { } F. cos α cosβ 0 T Vis/Roue = F. cosαsin β 0 I F. sin α 0 ( x, y, z) Application au guidage par surfaces coniques Le second exemple porte sur le guidage du barbotin par rapport à l arbre (fixe lors de la phase de descente), par surfaces coniques. La figure 45 montre les deux pièces constituant le barbotin et les deux surfaces coniques. FIG. 45. La dimension des surfaces coniques est grande devant les dimensions du barbotin. Aussi, les moments dans le plan normal à l arbre sont pleinement transmissibles. De même les forces sont transmissibles dans toutes les directions. Le modèle de liaison adapté est donc une liaison pivot. On peut ajouter que, par construction, le frottement dans cette liaison est non négligeable (il est même souhaité). Le torseur transmissible est donc plein : 5 inconnues de liaison et une inconnue de frottement C f. { } X T arbre/barbotin = Y I Z L M ( x, y, z) 5.3 Influence du jeu sur les actions transmissibles Pour assurer le bon fonctionnement des guidages, toutes les liaisons sont réalisées avec un petit jeu fonctionnel. Selon l architecture du mécanisme, ce jeu peut conduit à différents choix de modèles pour l action transmissible. page 32 C f

33 Les considérations de ce paragraphe son valables pour la modélisation des actions mécaniques (en statique) et non pour la modélisation cinématique. Beaucoup d erreurs de modélisation proviennent de la confusion entre les objectifs cinématiques et statiques Cas d école On considère figure 46 une liaison par contact cylindre-cylindre (avec jeu comme dans toutes liaisons réelles). Cette liaison assure un guidage en rotation ; elle transmet les forces dans toutes les directions et, malgré le jeu, elle transmet aussi les moments dans les directions normales à l axe de l arbre. Cette liaison est modélisée, en cinématique comme en statique, par une liaison pivot. FIG. 46 Assemblage 1 : la liaison peut transmettre un moment. FIG. 47 Assemblage 2 : la liaison ne peut pas transmettre de moment. La figure 47 montre maintenant la même liaison, associée cette fois à un autre guidage par contact cylindre-cylindre court en D. La présence de cette liaison va modifier la modélisation à adopter pour la première liaison... En effet, la première liaison figure 46 est susceptible de transmettre des moments car lorsque l effort en C est appliqué, la liaison vient en contact en A et B et la combinaison des deux forces opposées en A et B crée un moment. Par contre, la seconde liaison figure 47 ne vient pas en contact en B : le jeu de la liaison en D ne permet pas à l arbre de venir en butée en A et B en même temps si bien que la liaison de gauche n est pas capable de transmettre un moment! Le jeu de la liaison autorise un petit rotulage de l arbre par rapport au bâti. Le jeu est, pour une fabrication standard, très petit (de l ordre de 75 µm pour un guidage H7g6 de diamètre 35 mm). Le rotulage est de l ordre d une à deux minutes d angle (10 3 rad = 3.7 pour le guidage H7g6 de diamètre 35 mm et de longueur 2.d = 70 mm), c est à dire imperceptible à l œil nu... Pourtant, il est suffisant pour que la liaison soit incapable de transmettre un moment si l angle de rotulage maxi n est pas atteint. La liaison de gauche ne transmet alors que les forces dans toutes les directions et aucun moment : elle se modélise par une liaison rotule. La liaison de droite autorisant, en plus, la translation axiale, elle se modélise par une linéaire annulaire. Si la modélisation de la liaison de gauche par une rotule vous paraît choquante, c est certainement parce que vous êtes focalisé par la cinématique (le mouvement autorisé) : considérez l action mécanique transmissible par la liaison de gauche. Cette illustration souligne deux points : La modélisation n a rien de systèmatique : à une même réalité peut correspondre deux modèles différents. Marc Dérumaux LLG page 33

34 Un schéma cinématique peut être différent selon s il est conçu pour l étude du mouvement ou des efforts Application à l arbre Le guidage de l arbre du guindeau est réalisé par deux contacts cylindiques longs. La figure 48 montre ces deux guidages (celui du bas se fait par l intermédiaire d un montage de roulement). Un guidage cylindrique est dit long lorsque la longueur L de guidage est supérieur à 1.5 fois le diamètre d. Sachant que le rotulage α est tel que tanα = j/l, où j est le jeu, proportionnel au diamètre, il devient très petit, ce qui rend la liaison propice pour transmettre des moments. Un guidage cylindrique est dit court lorsque la longueur L de guidage est inférieure à 0.5 fois le diamètre d. Dans ce cas, un moment à transmettre conduirait à des efforts très importants en A et B. Ce type de liaison, de rotulage important, convient plutôt lorsqu il n y a pas de moments à transmettre. FIG. 48 Guidage de l arbre du guindeau par deux contacts cylindriques longs. Le montage de l arbre est difficile à modéliser. Si la déformation de l arbre est faible et le jeu suffisant, chaque liaison ne transmet que des forces : elles se modélisent comme des rotules. Cependant, si l effort F sur la poupée est important, il convient de vérifier par un calcul de résistance des matériaux que la déformation de l arbre ne conduit pas à des rotulages α 1 et α 2 supérieurs aux rotulages admissibles. Auquel cas, les liaisons vont transmettre des moments et les modèles appropriés seront des pivots. Dans le cas de deux liaisons pivot en parallèle, le modèle devient franchement hyperstatique et nécessite de tenir compte de la raideur en flexion de l arbre pour déterminer les efforts. page 34

35 Le choix d un montage hyperstatique pour le guindeau apporte des propriétés de rigidité appréciables pour l application. Généralement, ce type de montage est coûteux et complexe car il impose des contraintes géométriques fortes pour que le système soit montable. Mais dans le cas présent, le bâti est monté en deux parties (sur le pont et sous le pont). Cette particularité résoud le problème de montage. 5.4 Influence du frottement dans les liaisons Le frottement est partout dans le monde réel. Pourtant, beaucoup de liaisons sont modélisées sans frottement. Dans quel cas convient-il de tenir compte tout de même du frottement et dans quelle mesure le modèle sans frottement est-il pertinent? Quand tenir compte du frottement Le frottement dans une liaison complique le modèle. Il est donc pris en compte uniquement dans les cas où cela est nécessaire. FIG. 49 Liaison ponctuelle. Par exemple dans le cas d une liaison ponctuelle (figure 49), le torseur statique passe de 1 inconnue sans frottement à 3 inconnues avec frottement : { } { } T ZA. z { } { } 2/1 = 0 T XA. x + Y A. y + Z A. z 2/1 = 0 A A Le concepteur est amené à prendre en compte le frottement dans deux cas : lorsqu il est nécessaire pour faire apparaître le phénomène étudié (par exemple l étude d un frein à disques), lorsqu il n est pas l objet de l étude mais que son influence n est pas négligeable sur le système étudié Application au barbotin Liaison arbre-cône : Cette liaison est réalisée par un contact cylindre-cylindre court + plan. L ajustement est un H7p6, qui se traduit par un très fort serrage. Il s agit donc d une liaison encastrement par frottement. Liaison arbre-barbotin : Marc Dérumaux LLG page 35

36 Le frottement sur les surfaces coniques assure le couple de freinage. il est essentiel de tenir compte du frottement dans ce cas. Une intégration des efforts locaux peut permettre de déterminer le couple de freinage à partir de l effort axial exercé par la vis. Liaison roue et vis sans fin : Le système roue et vis sans fin est, dans cette application, irréversible. C est-à-dire que si le moteur est capable d entraîner la poupée, à l inverse la poupée soumise au poids du mouillage n est pas capable d entraîner le moteur. L irréversibilité est due au frottement dans le système roue et vis sans fin. Pour vérifier cette propriété, il faut bien entendu tenir compte du frottement au contact en I. 5.5 Liaisons par éléments d interface Roulements Les roulements Les roulements sont des composants assurant un guidage en rotation (ou parfois en translation : douilles à billes) à très faible coefficient de frottement : des billes sont interposées entre les éléments mobiles pour éviter un frottement solide. La résistance à l avancement est alors une résistance au roulement. Les matériaux utilisés (acier cémenté trempé) sont très durs et assurent une résistance au roulement très faible. Les efforts supportés peuvent être très importants, même pour une grande vitesse de rotation. Les roulements sont constitués (figures 50 et 51) : d une bague intérieure, d une bague extérieure, de billes ou de galets, d une cage répartissant les billes ou galets uniformément. FIG. 50 Vue écorchée d un roulement à billes. FIG. 51 Photographie d un roulement. On trouve des roulements dans la plupart des systèmes mécaniques. Ils sont généralement montés par paire. Les photographies figures 52 et 53 montrent la platine de rollers ainsi que le montage de roulement guidant chacune des roues. Ils sont généralement montés par paire car ils supportent mal les moments autour de leur centre (à l exception de certains roulements comme par exemple ceux assurant la liaison pivot de la tourelle sur les grues). Ils admettent, en plus de la rotation principale, un angle de rotulage d environ 2 minutes d angle. Ce rotulage, comme dans le cas d un guidage par contact cylindrique, conduit à page 36

37 FIG. 52 Les rollers sont équipés de roues montées sur roulements. FIG. 53 Montage de roulement d une roue de roller. négliger les moments transmissibles par chacun des roulements lorsqu ils sont montés par paire Application au guindeau La vis ainsi que la roue sont guidées par des montages de roulements. La roue est guidée par des roulements à billes (figure 50) tandis que la vis est guidée par des roulements à rouleaux coniques (figure 54 et 55). Les roulements à rouleaux coniques supportent des efforts plus importants que les roulements à billes, notamment les efforts axiaux (l essentiel de l action de la roue sur la vis). FIG. 54 Vue écorchée d un roulement conique. FIG. 55 Photographie d un roulement conique. Les figures 56 et 57 montrent un écorché du montage de roulement ainsi que le plan d ensemble correspondant. Les forces transmises par chacun des galets s exerçant perpendiculairement aux contacts, le centre de poussée I est décalé par rapport au point milieu du roulement (figure 58). Le roulement se modélise par une liaison rotule, de centre I. En réalité, un roulement conique peut transmettre un effort axial que dans un seul sens (dans l autre sens, il s ouvre). On représente donc parfois le montage par une association de deux demi-rotules (figure 59). Marc Dérumaux LLG page 37

38 FIG. 56 Vue écorchée du montage de roulements à rouleaux coniques. FIG. 57 Plan du montage de roulement guidant la vis en rotation. FIG. 59 Modélisation du montage de roulements. FIG. 58 Modélisation d un roulement conique. FIG. 60 Répartition des forces dans le montage hyperstatique préchargé. page 38