Chapitre 0 : Fonctions linéaires Histoire des maths : La cinématique, c est à dire l étude des mouvements de solides, est le grand sujet d étude des écoles de philosophie naturelle d xford et de Paris au 4 ème siècle. Les mathématiciens de ces écoles dont le français RESME Nicolas (resme, près de Bayeux 5 - Lisieux 8) et les anglais BCN Roger (4-94) ou BRDWRDINE Thomas (90-49) proposent de modéliser les phénomènes physiques et mettent en évidences des relations entre vitesse, force, temps et résistance, tout cela, de façon géométrique bien sûr. Ils quantifient des phénomènes comme la vitesse, la chaleur, la densité et leurs prêtent des qualités pouvant varier de façon continue. Des fonctions du temps apparaissent et RESME Nicolas (5-8) écrira : "Chaque chose mesurable, à l exception des nombres, est imaginée comme une quantité continue." Proportionnalité et fonction linéaire Exemple : Une voiture consomme 5 L de carburant pour parcourir 00 km. Quelle distance peut-elle parcourir avec 45 L de carburant? Le volume de carburant consommé est supposé proportionnel à la distance parcourue. Quantité de carburant (en L) 5 45 Distance parcourue (en km) 00 900 0 insi avec 45 litres de carburant, la voiture peut parcourir 900 km. n peut aussi traduire ce processus "multiplier par 0" par une fonction. En effet, à la quantité x de carburant, on fait correspondre la distance 0x qui a été parcourue. Si on appelle f cette fonction alors on note : f : x 0x Définition : Soit a un nombre donné. La fonction linéaire de coefficient a est la fonction qui a un nombre x associe le nombre ax : f : x ax Propriété : toute situation de proportionnalité, on peut associer une fonction linéaire. n dit que cette fonction linéaire modélise la situation de proportionnalité. Le coefficient de cette fonction linéaire est le coefficient de proportionnalité. Exemple : La fonction linéaire p qui à la longueur d un côté d un triangle équilatéral associe son périmètre est : p : x x x
Exemple : Soit f une fonction linéaire vérifiant f (5)=60. Déterminer cette fonction linéaire. Comme f est une fonction linéaire alors elle est de la forme f (x) = ax. n sait d après l énoncé, que f (5) = 60. Mais, on peut aussi écrire que f (5)= a 5= 5a. Donc : 5a = 60 5a 5 = 60 5 a = La fonction linéaire vérifiant f (5) = 60 est donc : f (x) = x Remarque : x x n est pas une fonction linéaire car c est x, et non x, qui est multiplié par. Exemple : f est la fonction linéaire définie par f (x) = x. Calculer :. l image de 4;. l antécédent de.. f (4) = 4 f (4) = 6 L image de 4 est -6. f (x) = x = x = x = 0, 5 L antécédent de est -0,5. nimation : Calculer une image. nimation : Calculer un antécédent en résolvant une équation. Histoire des maths : vec le français VIÈTE François (540-60) qui introduit de façon systématique le calcul littéral, vient le temps des formules. La notion de fonction, qui était alors uniquement associée à une courbe, va maintenant être liée à une formule comme le met en évidence la célèbre formule de GLILEE en 6 qui propose ses lois sur la chute des corps : Le grand livre de l univers est écrit en langage mathématique. u début du 7 ème siècle, le physicien et mathématicien allemand Johannes KEPLER (57 60), énonce ses lois sur les trajectoires elliptiques des planètes. Toutes les fonctions introduites à cette période sont considérées comme des trajectoires de points en mouvement. B Représentation graphique Définition : Dans un repère, la représentation graphique d une fonction linéaire x ax est constituée de tous les points de coordonnées (x; ax). Propriété : Dans un repère, la représentation graphique de la fonction linéaire x ax est la droite ( ) où est l origine du repère et le point de coordonnée (; a). n dit que y = ax est une équation de la droite ( ). Vocabulaire : n dit que a est le coefficient directeur de la droite ( ) : c est le nombre qui indique la direction de la droite. Collège Willy Ronis page Moisan
Exemples : Représentation graphique de la fonction : f (x) = x. 5 4 y = x a= 4 5 6 7 Représentation graphique de la fonction f (x) = x : y =x 4 5 a= Exemple : Parfois il n est pas évident de lire le coefficient directeur au point d abscisse. n peut alors utiliser la méthode ci-dessous : -6 4 5 +4 B Collège Willy Ronis page Moisan
6 Le coefficient directeur de la droite est : 4 =,5. Donc on a tracé dans ce repère la représentation graphique de la fonction f (x)=,5x. nimation : Déterminer le coefficient directeur graphiquement. Propriétés : Dans un repère, (d) est la droite représentative de la fonction linéaire x ax. Si y = ax, alors le point M de coordonnées (x; y) appartient à la droite (d). Réciproquement, si le point M(x; y) appartient à la droite (d), alors y = ax. Exemple : (d)est la représentation graphique de la fonction linéaire x,5x dans un repère. Les points B(;) et C(; ) appartiennent-ils à la droite (d)? Pour x=, y =,5()=. Donc le point B(;) appartient à la droite (d). Pour x=, y =,5=5. Donc le point C(;) n appartient pas à la droite (d). y =,5x C(;) 4 5 6 7 B(-;-5) Exercice : Ci-contre, la droite (d) est la représentation graphique d une fonction linéaire f.. Lire sur le graphique l image de par la fonction f.. Lire sur le graphique f ().. Lire sur le graphique l antécédent de par la fonction f. 4. À l aide du graphique, trouver x tel que f (x) =. 5. Donner l expression de la fonction f. Collège Willy Ronis page 4 Moisan
Solution :. L image de par la fonction f est.. f ()= 0,5. L antécédent de par la fonction f est 4. 4. f ()= 5. f (x)=0,5x Collège Willy Ronis page 5 Moisan