hapitre 3 Principes de la logique combinatoire La logique combinatoire est la logique où la sortie dépend seulement des entrées. L autre type de logique, la logique séquentielle, est celle où la sortie dépend des entrées actuelles et de la sortie précédente. e type de logique sera présenté plus tard. La logique combinatoire est la base du design de circuits logiques. 3.1 lgèbre booléenne L algèbre booléenne est l algèbre utilisée pour les systèmes binaires ; il y a seulement deux valeurs : 0 ou 1. On y verra certaines propriétés. Le tableau 3.1 présente les postulats les plus importants de l algèbre booléenne. Note : Il n y a pas de soustraction ou de division dans l algèbre booléenne. Tableau 3.1 Postulats importants de l algèbre booléenne (1) = 0 si 1 (1 ) = 1 si 0 (2) Si = 0 = 1 (2 ) Si = 1 = 0 (3) 0 0 = 0 (3 ) 1 + 1 = 1 (4) 1 1 = 1 (4 ) 0 + 0 = 0 (5) 0 1 = 1 0 = 0 (5 ) 1 + 0 = 0 + 1 = 1 Le tableau présente certains théorèmes importants. 1
Tableau 3.2 Théorèmes importants de l algèbre booléenne Numéro Nom Théorème T5 omplément + = 1, ou = 0 T6 Idempotence + =, ou = T8 Distributivité + ( Z) = ( + ) ( + Z) T9 bsorption + ( ) = T10 ombinaison + = Dualité Le principe de dualité peut être exprimé ainsi : si dans une expression on interchange l opérateur et l élément d identité, l égalité demeure (0 1, +). La figure 3.1 montre quelques exemples de cette propriété. Dualité + 0 = 1 = + = 1 = 0 Figure 3.1 Exemples de la dualité Théorème de Demorgan Le théorème de Demorgan permet d interchanger l opérateur + et, et l opérateur de complément : ( + + Z) = Z ( Z) = + + Z Figure 3.2 Exemples du théorème de Demorgan 3.1.1 Fonction booléenne Une fonction booléenne est une expression formée de variables binaires, comme F = + Z. Le symbole représente ET (ND), et le symbole + représente OU (OR). On représente souvent une fonction booléenne par une table de vérité : c est un tableau qui représente toutes les combinaisons possibles d entrées et de sortie(s). Pour n variables d entrée, il y a 2 n possibilités. La figure 3.3 montre un exemple de table de vérité. Gabriel ormier 2 GELE2442
Z F 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 Figure 3.3 Exemple de table de vérité pour F = + Z 3.1.2 omplément d une fonction Le complément d une fonction F s écrit F. On l obtient en changeant les 0 pour des 1 (et vice-versa) dans la table de vérité. On peut aussi l obtenir en utilisant le théorème de Demorgan. Exemple 1 alculer le complément de la fonction F = Z + Z F = ( Z + Z) = ( Z ) ( Z) = ( + + Z) ( + + Z ) 3.1.3 Mintermes et maxtermes Une fonction booléenne peut être exprimée de l une de deux façons : une somme de produits, ou un produit de sommes. Les termes multipliés sont des mintermes, et les termes de somme sont nommés maxtermes. La figure 3.4 montre les mintermes et maxtermes d une fonction à 3 bits. Pour générer les mintermes, on utilise le complément de la variable aux endroits où on a un 0 dans la table de vérité. Pour générer les maxtermes, on utilise le complément lorsqu il y a un 1 dans la table de vérité. Une fonction peut ensuite être exprimée comme une somme de mintermes, ou un produit de maxtermes. Par la suite, on peut simplifier la fonction en utilisant les théorèmes appropriés. Une fonction est créée en à l aide de mintermes en utilisant les termes où la fonction est 1. Pour créer une fonction à l aide de maxtermes, on utilise les termes où la fonction est 0. Gabriel ormier 3 GELE2442
Z Minterme Maxterme 0 0 0 0 Z + + Z 1 0 0 1 Z + + Z 2 0 1 0 Z + + Z 3 0 1 1 Z + + Z 4 1 0 0 Z + + Z 5 1 0 1 Z + + Z 6 1 1 0 Z + + Z 7 1 1 1 Z + + Z Figure 3.4 Mintermes et maxtermes à 3 bits Exemple 2 Exprimer la fonction ayant la table de vérité de la figure 3.5 à l aide de mintermes et maxtermes. Z F 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 Figure 3.5 Table de vérité pour une fonction Les mintermes sont exprimés avec des m minuscules ; les termes où la fonction est 1 sont : 0, 3, 4, 6 et 7. F = m 0,m 3,m 4,m 6,m 7 = Z + Z + Z + Z + Z Les maxtermes sont exprimés avec des M majuscules ; les termes où la fonction est 0 sont : 1, 2 et 5. F = M 1,M 2,M 5 = ( + + Z ) ( + + Z) ( + + Z ) Gabriel ormier 4 GELE2442
3.2 Portes logiques Il y a trois fonctions logiques de base présentées dans la section précédente : ET (ND), représenté par le symbole ; OU (OR), représenté par +; et NON (NOT; complément), représenté par. es trois fonctions permettent la création de n importe quelle fonction complexe. es trois fonctions de base, et leur symboles (circuits) correspondants sont montrés à la figure 3.6. Le cercle à la sortie de la porte NON indique que la porte logique a un comportement d inversion. La porte NON s appelle aussi un inverseur. + 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 ET + 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 OU 0 1 1 0 NON Figure 3.6 Trois fonctions logiques de base Trois autres portes logiques sont fréquemment utilisées : la porte NND (NON-ET), la porte NOR (NON-OU) et la porte OR (Exclusivement-OU). es portes, ainsi que leur table de vérité, sont montrées à la figure 3.7. + 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 NND + 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 NOR 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 OR Figure 3.7 Trois fonctions logiques communes Gabriel ormier 5 GELE2442
3.3 réation des circuits logiques Pour créer des circuits logiques à partir de fonctions complexes, on combine les mintermes (ou maxtermes) avec les fonctions logiques de base. haque minterme est créé à partir des portes logiques de base. Soit la fonction logique suivante : F 1 = + Z (3.1) Le circuit créé est montré à la figure 3.8. L inverseur est utilisé pour créer, puis la porte ND pour créer Z, et finalement la porte OR permet de créer la fonction F 1. F 1 Z Z Figure 3.8 ircuit logique de la fonction F 1 Exemple 3 On a trois juges qui contrôlent le départ d une course. La course a lieu si au moins deux des trois juges sont prêts. réer le circuit logique qui représente le départ d une course. Les trois juges forment les trois entrées :, et. Le départ de la course représente la sortie F. On peut ensuite créer manuellement la table de vérité de cette fonction. F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Figure 3.9 Table de vérité de la fonction de l exemple 3 On peut ensuite exprimer cette fonction comme une somme de mintermes : F = (3,5,6,7). Puis on va simplifier la fonction. Gabriel ormier 6 GELE2442
F = (3,5,6,7) = + + + = + + + + + Th.6 = ( + ) + ( + ) + ( + ) = + + Th.5 À partir de la fonction simplifiée, on peut créer le circuit. F Figure 3.10 ircuit logique de l exemple 3 3.4 Implémentation NND Les circuits logiques sont souvent implantés avec des portes NND et NOR plutôt que des portes ND et OR. Les portes NND et NOR nécessitent moins de transistors pour l implémentation, donc prennent moins de superficie sur les circuits intégrés, et donc sont moins chers. omme exemple, une porte NND à 2 entrés nécessite 4 transistors, tandis qu une porte OR créée avec la même technologie nécessite 6 transistors. Puisque les portes NND et NOR sont très communes, des méthodes ont été développées pour faire le design de circuits logiques avec ces portes. 3.4.1 réation des portes NND Une porte NND peut être créée de deux façons : à partir d une porte ND, en ajoutant une bulle d inversion à la sortie, et à partir d une porte OR, en ajoutant des bulles d inversion aux entrées. La conversion d une porte OR est montrée à la figure 3.11. Des bulles d inversion sont ajoutées à l entrée de la porte OR ; à l aide du théorème de Demorgan, on obtient la même équation de sortie qu une porte NND. Gabriel ormier 7 GELE2442
Z ( + + Z) Z Z = ( + + Z) Figure 3.11 Porte OR transformée en porte NND 3.4.2 Transformation ND-OR à NND Pour effectuer une transformation ND-OR à NND, il faut que le circuit (ou la fonction logique) soit de la forme d une somme de produits, et donc exprimée par des mintermes. omme exemple, on prend la fonction suivante : F = + D (3.2) Le circuit correspondant à cette fonction est montré à la figure 3.12, sous la forme d un circuit ND-OR. D Figure 3.12 Fonction F = + D implantée en logique ND-OR F Pour transformer les portes à des portes NND, on ajoute des bulles d inversion à la sortie des portes ND et à l entrée de la porte OR. La logique reste la même puisqu il y a deux inversions consécutives (( ) = ). La figure 3.13 montre cette transformation. Le circuit est maintenant constitué de portes NND seulement. F F D D Figure 3.13 Portes ND-OR transformées en portes NND Gabriel ormier 8 GELE2442