THERMODYNAMIQUE APPLIQUÉE PARTIE 2 BILAN D ÉNERGIE APPLIQUÉ AUX SYSTÈMES OUVERTS I. Différentes formes d énergie L énergie est un concept fondamental en physique Différentes formes d énergie existent. Energie propre au système Les diverses formes d énergie propres au système dépendent de son état et sont donc des fonctions d état. Elles se décomposent en une énergie externe : énergie dépendant de la position et du mouvement du système pris comme un tout, observable à l échelle macroscopique une énergie interne : énergie associée à l état interne du système, "observable" à l échelle microscopique
Energies externes Energie cinétique Propre à la mécanique, l énergie cinétique macroscopique résulte de la sommation sur l ensemble du système de l énergie cinétique de chaque élément de volume le constituant. Elle est donc définie par : Z E c = Ω 2 ρ v 2 dv Energie potentielle Lorsqu un système est soumis à des forces extérieures f, on définit, si elle existe, l énergie potentielle E p par : f = E p Son utilisation n est qu une commodité puisque l influence de ces forces peut être prise en compte par leur travail, ce qui est équivalent : de p = E p dl = f dl Energie interne L énergie interne U est liée aux mouvements et interactions entre les particules constitutives du système. Elle est essentiellement liée à l agitation thermique et correspond à l énergie cinétique (désordonnée) des particules en repère relatif (lié au mouvement d ensemble du système) et à l énergie d interaction intermoléculaire. Il s agit donc d une grandeur non observable dont l introduction à l échelle macroscopique est directement liée au premier principe. Elle peut cependant être construite à partir de modèles microscopiques.
Energie totale L énergie totale E est par définition : E = U + E p + E c (= U + E m ) Elle rend compte de l ensemble des contributions énumérées au-dessus et est donc caractéristique de l énergie stockée par le système sous quelque forme que ce soit. 2. Energies échangées Travail Le travail rend compte de l énergie macroscopique transférée au système. Le travail W 2 conduisant de l état E à l état E 2 est défini par : W 2 = Z 2 δw = Z a2 a A da où δw est le travail élémentaire, A une variable intensive (force généralisée) et a la variable (déplacement généralisé) associée. Exemple : le travail mécanique d une force f agissant entre les positions M et M 2 s écrit : W 2 = où dl est le déplacement élémentaire. Z M2 M f dl
Si l on associe une énergie potentielle à certaines forces, on note W le travail des autres forces. Il est quelquefois souhaitable d exprimer le travail en fonction de variables du système. Ceci n est possible que si l on dispose de relations qui les lient aux grandeurs intervenant dans l expression du travail. En Mécanique par exemple, le principe des actions réciproques égalise la densité surfacique d efforts extérieurs et l état de contraintes à la frontière du système, ce qui les rend interchangeables. Travail des forces de pression uniforme Dans nombre d applications pratiques (évolutions suffisamment lentes de gaz non pesants décrits par les variables P, V et T ), le travail se réduit à l action des efforts d une pression uniforme sur la frontière du système. Celui-ci vaut alors : et le travail élémentaire : W 2 = Z V2 V P dv δw = P dv
Chaleur La chaleur rend compte de l énergie microscopique transférée au système. Un transfert de chaleur correspond à une variation du "désordre" microscopique. Il peut résulter soit d un échange d énergie désordonnée, soit d une transformation d énergie ordonnée en énergie désordonnée. Il est directement lié à la température. Exemples Si deux corps sont mis en présence, les particules les plus agitées (thermiquement) excitent les particules les moins agitées. Si les deux corps sont en contact et mobiles l un par rapport à l autre, le mouvement relatif des particules de l un par rapport à l autre excite les particules voisines de la surface de contact (frottement), provoquant un échauffement et transformant une partie de l énergie cinétique macroscopique (ordonnée) en énergie cinétique microscopique (énergie interne). Lors d un changement de phase (température constante), la chaleur apportée accroît l agitation moléculaire, ce qui se traduit par un désordre croissant et un changement d état.
3. Puissance La puissance est l énergie échangée (travail ou chaleur) ramenée à l unité de temps. On notera respectivement P mec = δw /δt et P cal = δq/δt les puissances mécanique et calorifique reçues par le système (par ex. conduction, rayonnement, effet Joule...) II. Premier principe de la thermodynamique appliqué aux systèmes fermés. Expression générale du premier principe de la thermodynamique Le premier principe exprime la conservation de l énergie de l ensemble {Système + milieu extérieur} pour un système fermé limité par une surface au travers de laquelle peuvent s effectuer des échanges énergétiques. Il s écrit sous forme de bilan où, dans un repère galiléen, la variation d énergie totale du système entre deux états E et E 2 est égale à la somme des travaux et chaleurs reçus par le système pendant son évolution entre ces deux états : ou E 2 E = W 2 + Q 2 Premier principe de la thermodynamique E = W + Q
Soit encore : ou U + E c = W + Q U + E c + E p = W + Q Le premier principe est aussi connu sous le nom de principe d équivalence : il exprime l équivalence entre les diverses formes d énergie. Bilan d énergie d un système fermé La variation d énergie entre les instants t et t + est : de = P mec + P cal III. Premier principe de la thermodynamique appliqué aux systèmes ouverts On considère le système ouvert S 3 représenté sur la figure ci-dessous. W e Q e ρ P T ρ 2 P 2 T 2 On souhaite déterminer les bilans de masse et d énergie pour ce système. 3
. Bilan de masse appliqué à un système ouvert A l instant t, on considère la quantité de fluide représentée sur la figure ci-dessous ρ P T v ρ 2 v 2 P 2 T 2 On suit cette quantité de fluide au cours de son mouvement jusqu à l instant t + t ρ P T v ρ 2 v 2 P 2 T 2 t + Le système ouvert S 3 est l intersection du système fermé considéré aux instants t et t + ρ P T dv dv 2 ρ 2 v v 2 P 2 T 2 3 2 Le fluide que l on suit dans son mouvement est un système fermé dont la masse est donc conservée M(t) = dm + M 3 (t) M(t + ) = M 3 (t + ) + dm 2 dm = ρ dv dv = A dx = A ( n v ) dv dv 2 n 2 dm = ρ A ( n v ) n v A v 2 A 2 dm 2 = ρ 2 A 2 (+n 2 v 2 ) dx dx 2
Les relations précédentes permettent facilement d établir [M(t + ) M(t)] = [M 3 (t + ) M 3 (t)] + dm 2 dm dm = dm 3 + [ρ n v A + ρ 2 n 2 v 2 A 2 ] Application du principe de conservation de la masse du système matériel : M(t + ) = M(t) dm = 0 dm 3 = [ρ n v A + ρ 2 n 2 v 2 A 2 ] Débit de masse entrant : = ρ n v A Débit de masse sortant : 2 = ρ 2 n 2 v 2 A 2 Bilan de masse du système ouvert S 3 dm 3 = 2 La variation de la masse du système ouvert est égale à la différence entre le débit de masse entrant et le débit de masse sortant. Bilan de masse d un système ouvert dm = X s e
Ecoulement stationnaire dm 3 = 0 2 = ˆ= Le débit de masse sortant est égal au débit de masse sortant. Il n y a donc pas d accumulation de masse dans le système ouvert S 3. 2. Bilan d énergie appliqué à un système ouvert On considère le même système fermé que l on suit dans son mouvement entre les instants t et t + On détermine sa variation d énergie entre t et t + ρ P T W e Q e dv dv 2 ρ 2 v v 2 P 2 T 2 E(t) = de + E 3 (t) 3 2 E(t + ) = E 3 (t + ) + de 2 de = (ρ e ) dv dv = A dx = A ( n v ) dv dv 2 n 2 de = (ρ e ) A ( n v ) n v A v 2 A 2 de 2 = (ρ 2 e 2 ) A 2 (+n 2 v 2 ) dx dx 2
Les relations précédentes permettent facilement de montrer [E(t + ) E(t)] = [E 3 (t + ) E 3 (t)] + de 2 de de = de 3 + [(ρ e ) n v A + (ρ 2 e 2 ) n 2 v 2 A 2 ] Application du premier principe de la thermodynamique au système matériel : E(t + ) E(t) = δw + δq Chaleur fournie au fluide δq = δq e Travail fourni au fluide δw = δw e + [+P dv P 2 dv 2 ] (dv et dv 2 > 0) δw = δw e [P v n A + P 2 v 2 n 2 A 2 ] On obtient alors : de 3 = δw e + δq e»ρ e + P «n v A + ρ 2 e 2 + P «2 n 2 v 2 A 2 ρ ρ 2 L énergie massique est : Par conséquent : Or, l enthalpie massique est : e = u + e c + e p e + P ρ = u + P «+ e c + e p ρ h = u + P ρ (= u + P v) On définit alors l enthalpie massique totale : h t = e + P ρ
En utilisant l enthalpie totale et les débits de masse entrant et sortant et 2, on obtient le Bilan d énergie du système ouvert S 3 de 3 = δw e + δq e + h t 2 h t 2 La variation d énergie totale du système ouvert est égale au flux d énergie totale rentrante dans le système ouvert complété par la somme des travail et chaleur reçus par le système ouvert ainsi que du travail de transvasement responsable du flux de matière à travers la frontière du système ouvert. Sa forme est similaire à celle d un système fermé à condition de prendre en compte tous les termes de flux liés aux échanges de matière à la frontière du domaine. Bilan d énergie d un système ouvert d (U + E c + E p ) = X s e (h + e c + e p ) + Ẇ + Q Ecoulement stationnaire de 3 = 0 En utilisant le bilan de masse stationnaire, on obtient : h2 t h t = Ẇ + Q Remarques importantes. Pour les systèmes ouverts, le bilan d énergie fait intervenir la différence d enthalpie totale et non pas d énergie interne totale 2. Bien que le bilan d énergie fasse apparaître la différence d enthalpie entre la sortie et l entrée, il n est pas obtenu en appliquant le premier principe à une portion de fluide que l on aurait suivi entre l entrée et la sortie
3. Interpréation physique de l enthalpie 0 0 0 0 V 0 0 0 0 0 0 0 0 V ext M T ext P ext 0000 0 0 0 V 0 0 0 0 0 0 0 M 0 0 E E 2 Une enceinte initialement vide de volume intérieur V et dont les parois sont indéformables et adiabatiques est entourée d un grand volume de gaz à l équilibre à la pression P ext et à la température T ext. Un orifice dans la paroi permet de remplir l enceinte. Quelle est l énergie interne du gaz dans l enceinte une fois ce dernier à l équilibre? 0 0 0 0 V 0 0 0 0 0 0 0 0 V ext M T ext P ext 0000 0 0 0 V 0 0 0 0 0 0 M 0 0 0 E E 2 Le système considéré comprend l intérieur de l enceinte et la masse M du gaz qui, dans l état final, se situera à l intérieur de l enceinte. Ce système est fermé. On applique le premier principe à ce système : U 2 U = W + Q L enceinte est adiabatique et on peut négliger les échanges de chaleur avec l extérieur (thermostat) : Q 0
Les parois de l enceinte étant immobiles, aucun travail des forces appliquées par la paroi n existe. Le seul travail reçu par le système est dû aux forces de pression appliquées par l extérieur. On a donc : W = P ext (V 2 V ) = P ext (V (V ext + V)) = P ext V ext On a donc : Soit : U 2 = U + P ext V ext U 2 = U ext + P ext V ext U 2 = H ext Cette relation montre que l énergie qui reste disponible au système pour être échangée une fois le transvasement effectué est l enthalpie initiale du gaz. 4. Généralisation de la forme des bilans V On considère un volume immobile V traversé par un écoulement de fluide. Soit R une grandeur extensive quelconque. On souhaite déterminer la variation temporelle de cette grandeur du volume V.
v t t + n n v Cette variation est due à trois sources : une source volumique σ R de R (par ex. une source d énergie externe) ; l apport par convection ; l apport par un flux autre que convectif. Forme générale de l équation de bilan de R pour un système ouvert dr = d Z Z Z R dv = σ R ρ r v n da q R n da V V V Application au bilan de masse en une dimension Pas de source de masse volumique ni de flux autre que convectif σ M = 0 et q M = 0 dm Z Z = σ M ρ v n da q M n da V V Flux de masse uniquement en entrée et sortie Z Z Z = V A e + A s v e v s Champ de vitesse uniforme sur une section droite en entrée et en sortie Z A i ρ v n da = ρ i v i n i A i dm = ρ e v e n e A e ρ s v s n s A s dm = e s
IV. Application à quelques machines élémentaires. Tuyère A s A e Bilan de masse : Caractéristiques : D Stationnaire Variation d énergie potentielle négligeable Adiabatique Pas d apport de travail extérieur = ρ e v e A e = ρ s v s A s Bilan d énergie : 0 = (h s + e cs ) + (h e + e ce ) + 0 + 0 h i : enthalpie d arrêt h s + e cs = h e + e ce = h i On suppose la transformation isentropique h P e P s h i h e e ce e cs h s s s = s e s Pour un gaz parfait à Cp constant : Ts «γ = «γ Ps T e P e
2. Turbine P e Bilan d énergie : Caractéristiques : P s < P e D Stationnaire W t < 0 Variation d énergies cinétique et potentielle négligeables Adiabatique 0 = (h s h e ) + Ẇ t + 0 h s h e = Ẇ t Si transformation isentropique pour gaz parfait à Cp constant Ts «γ = «γ Ps h h e h s Ẇ t P e P s T e P e s s = s e s 3. Compresseur P s > P e P e Ẇ c > 0 Caractéristiques : D Stationnaire Variation d énergies cinétique et potentielle négligeables Adiabatique Bilan d énergie : P s h s h e = Ẇ c h P e Si transformation isentropique pour gaz parfait à Cp constant Ts «γ = «γ Ps h s h e Ẇ c T e P e s s = s e s
4. Echangeurs thermiques Echangeur à co-courant chaud froid 2 c f Système : ensemble des deux fluides contenu à l intérieur de l échangeur Ecoulement stationnaire : débits de masse des fluides chaud c et froid f égaux en entrée et sortie Pas de travail externe Pas de source de chaleur externe : échangeur globalement adiabatique Variations d énergies cinétique et potentielle négligeables Bilan d énergie pour un écoulement stationnaire chaud froid 2 c f 0 = [ c h c2 + f h f 2 ] + [ c h c + f h f ] + 0 + 0 f [h f 2 h f ] = c [h c h c2 ] h h h c h c2 h f 2 h c h c2 h f 2 h f h f s x
Echangeur à contre-courant c chaud froid 2 f Bilan d énergie pour un écoulement stationnaire f [h f 2 h f ] = c [h c2 h c ] h h h c2 h f 2 h c2 h f 2 h c h f h c h f s x Cas particulier Fluides chaud et froid de même nature Débits massiques égaux Bilan d énergie entre x et x + dx [ h c (x) + h f (x + dx)] [ h c (x + dx) + h f (x)] = 0 x x + dx dh c dx = dh f dx Cp dt c dx = Cp dt f dx T c T f = cte
On suppose que le flux d énergie thermique entre les fluides chaud et froid est proportionnel à l écart de température : ϕ = α (T c T f ) x ϕ L dx x + dx Bilan d énergie du fluide froid entre x et x + dx : 0 = h f (x + dx) + h f (x) + α (T c T f ) L dx dt f dx = α (T c T f ) L Cp = cte 5. Générateur de vapeur vapeur Q > 0 Caractéristiques : D Stationnaire Variation d énergies cinétique et potentielle négligeables Pas de travail échangé Pression quasiment constante liquide Bilan d énergie appliqué au fluide compris dans le générateur de vapeur : 0 = h s + h e + Q Cp v T s T sat + L v + Cp l T sat T e = Q T T s T sat T e L V P = cte s
6. Condenseur liquide Q < 0 Caractéristiques : D Stationnaire Variation d énergies cinétique et potentielle négligeables Pas de travail échangé Pression quasiment constante vapeur humide Bilan d énergie appliqué au fluide compris dans le condenseur : T h s h e = Q Cp l T s T sat x L v = Q T sat T s L V x = cte s