1 L enseignement de la proportionnalité à l école primaire Séminaire départemental Haute-Savoie Mercredi 28 mars 2012
Les nombres dans la société et dans l information Les mathématiques du citoyen 2 Deux grands modèles vont se construire entre l école et le collège, avec leurs modes de traitement spécifiques au niveau du calcul : Le modèle «additif» : comparaison «absolue» ; Le modèle «proportionnel» : comparaison «relative».
Pour se mettre en situation 1- Les nombres 5 et 7 sont proportionnels à 8 et 10. Est-ce vrai ou faux? 2- Les nombres 4 et 6 sont proportionnels à 5 et 7,5. Est-ce vrai ou faux? 3- Les nombres 3 et 5 sont proportionnels à 9 et 25. Est-ce vrai ou faux? 3 4- Le périmètre du cercle est-il proportionnel à son rayon? 5- L aire du disque est-elle proportionnelle à son rayon? 6- Six vaches produisent 8 000 litres de lait en 30 jours. Combien de jours fautil à 18 vaches pour produire 72 000 litres? 7- Un cycliste monte un col à la vitesse de 15 km/h. Il emprunte la même route pour redescendre ; il descend à la vitesse de 30 km/h. Quelle est sa vitesse moyenne sur la totalité du parcours? 8- Dans un grand magasin, des articles sont soldés avec un rabais de 30%. Un mois plus tard, sur les derniers articles, un rabais supplémentaire de 20% est réalisé. Quel est le pourcentage de remise par rapport au prix initial?
Que disent les programmes? 4 Que disent le Au CM2 socle? Du CP Compétence 3 Palier 2 : l élève est capable de :
Du côté des évaluations 5 CM2-2010
Du côté des évaluations 6 CM2-2009 99 et 100 : proportionnalité «recette des crêpes» Item 99 : 31% - Item 100 : 41%
7 familiarité avec les nombres + propriétés de linéarité <50% <50% résultat démarche Je fais à chaque fois le nombre + sa moitié parce que 6 + sa moitié font 9
Erreur liée au manque de maîtrise des décimaux? 8 2,5 moitié de 250g = 125g 250g + 125g = 375g Œuf 4 moitié = 2 4 + 2 = 6 moitié 2 = 1 2 + 1 = 3 huile? moitié 1L = 50 cl
9 Pour 9, on en met «un peu plus»? Le problème semble avoir du sens pour l élève, même si la proportionnalité n est pas bien comprise.
Du côté des évaluations CM2-2009 10 76 : problème des dictionnaires démarche «une directrice achète 12 dictionnaires» 63% 77 : problème des dictionnaires résultat «une directrice achète 12 dictionnaires» 17%
Sens des opérations 11 résoudre des problèmes relevant des quatre opérations (CE2) division décimale de 2 entiers (CM1) 63% 17% Les résultats à l item 76 (démarche) sont très variables d une école à l autre, et même d une circonscription à l autre
Du côté des évaluations CM2-2010 12 76 et 77 : problème des calculatrices Des résultats très proches Item 76 : 65% - Item 77 : 17%
13 Un cadrage théorique : Le champ conceptuel des problèmes multiplicatifs
Les problèmes de proportionnalité simple et directe 14 Deux grandeurs sont en relation de proportionnalité. On peut passer de l une à l autre par une fonction de type X a X Les problèmes de quatrième proportionnelle Grandeur A a a Grandeur B b b
Problèmes de proportionnalité simple et directe les problèmes de quatrième proportionnelle Un des nombres est égal à 1 mais n apparaît pas forcément dans l énoncé : problèmes dits de «multiplication» ou de «division» En rangeant ses photos de vacances dans son album, Jean a rempli 12 pages de 8 photos. 15 Nombre de pages 1 12 Nombres de photos 8? o Relation privilégiée : les nombres d une même grandeur Jean a 15 euros et Marc lui dit «j ai trois fois plus que toi!». Quelle somme a Marc? Somme de Jean 1 15 Somme de Marc 3? o Relation privilégiée : d une grandeur à l autre
Problèmes de proportionnalité simple et directe les problèmes de quatrième proportionnelle Un des nombres est égal à 1 mais n apparaît pas forcément dans l énoncé: problèmes dits de «multiplication» ou de «division» Jean a 96 photos de vacances et les range dans son album en mettant toujours le même nombre de photos par page. Il a rempli 12 pages. Combien met-il de photos par page? Nombre de pages 1 12 Nombres de photos? 96 o division : recherche de la valeur d une part Jean a 96 photos de vacances et les range dans son album en mettant toujours 8 photos par page. Combien de pages a-t-il rempli? Nombre de pages 1? Nombres de photos 8 96 o division : recherche du nombre de parts 16
Problèmes de proportionnalité simple et directe les problèmes de quatrième proportionnelle Aucun des nombres n est égal à 1 4 stylos identiques coûtent 2,42. Combien coûtent 14 stylos? Procédures A : les relations de linéarité Prix de deux stylos (1,21) puis 2,42+2,42+2,42+1,21 Prix de deux stylos (1,21) - prix de 14 stylos (1,21 *7) Prix de 1 stylo (2,42 /4 soit 0,605) -prix de 14 stylos (0,605 *7) La règle de trois Procédures B : le coefficient de proportionnalité Les relations prennent en compte les deux grandeurs : c est 0,605 Le coefficient est plus facile à percevoir quand il peut être interprété dans le contexte de la situation ; ici, c est un prix unitaire Procédures C : le produit en croix S appuie sur une propriété des suites proportionnelles : 4 *? = 14 * 2, 42 Ne repose sur aucun raisonnement sur les grandeurs Non accessible à l école Procédure D : représentation graphique Non accessible à l école 17
Problèmes de proportionnalité simple et directe les problèmes à questions successives Il faut chercher plusieurs quatrièmes proportionnelles successives, les résultats étant dépendants les uns des autres Sachant qu il faut 200g de chocolat pour faire une mousse pour 4 personnes, on demande la quantité de chocolat nécessaire pour 2, 6, 8, 9, 12, 16, 20 personnes,... 18 La construction d un graphique dont les points sont alignés avec l origine et le point (4, 200) devient rentable!
Problèmes de proportionnalité simple et directe les problèmes de comparaison 19 Ils reposent sur deux parties constituant un tout Mise en relation des deux parties : Dans la bouteille A, je mets 4 verres d eau et 2 morceaux de sucre, dans la bouteille B, je mets 12 verres d eau et 10 morceaux de sucre. Quel est le sirop le plus sucré? o Procédure A : 3 fois plus d eau dans B que dans A mais 5 fois plus de sucre o Procédure B : moitié moins de sucres que de verres d eau dans A mais plus de la moitié dans B o Procédure C : avec la concentration de A, 6 sucres pour 12 verres Mise en relation d une partie et du tout Dans une classe de 20 élèves, 12 déclarent aimer le foot. Dans une autre classe de 30 élèves, 15 déclarent aimer le foot. Y a-t-il une classe dans laquelle on aime plus le foot que dans l autre? Vers les pourcentages
Problèmes de proportionnalité simple composée 20 Avec 100kg de blé, on fait 75 kg de farine et avec 20kg de farine, on fait 24 kg de pain. Quelle est la masse de blé pour 450 kg de pain? Procédures composées Produit des coefficients de proportionnalité pour avoir le coefficient blé/pain (0,75 x 1,2 soit 0,9)
Problèmes de proportionnalité multiple 21 La classe de CM2 prépare une classe de mer pour 50 enfants pendant 28 jours. Comment calculer la consommation de sucre nécessaire, sachant qu il faut compter 3,5 kg de sucre par semaine pour 10 enfants? Nécessité de recourir aux procédures de proportionnalité simple en fixant provisoirement une des variables
Problèmes de type «produit de mesures» 22 Bozo, le clown a 3 chemises et 4 pantalons différents. De combien de manière peut-elle s habiller? Procédures de type dénombrement basées sur un tableau à double entrée ou un arbre Quelle est l aire d un rectangle de 6cm de longueur et de 5cm de largeur? Aire proportionnelle à la longueur si la largeur est fixe et proportionnelle à la largeur si la longueur est fixe Formule A= l * L (si unités homogènes)
Les principales variables didactiques Relations entre les nombres donnés 23 Type de nombres Nombre de couples proposés Type de situations
Les principales difficultés Liées à l identification des grandeurs en relation 24 Liées au choix de la procédure Liées à la reconnaissance du modèle proportionnel ou non Liées à la mise en œuvre de la procédure
La règle de trois au cycle III, qu est-ce que c est? 25 Un constat : des difficultés Une définition Procédure de calcul Regard historique
Evaluation nationale 6 ème 2007 26 Un constat : des difficultés
Evaluation nationale 6 ème 2007 27 CORRECTION Un constat : des difficultés
Evaluation nationale 6 ème 2007 28 RESULTATS Un constat : des difficultés code 1 30,7 % code 4 3,5 % code 6 5,6 % code 7 8,2 % code 9 37,4 % code 0 14,7 %
Une définition 29 La règle de trois permet de calculer une quatrième proportionnelle, c est-à-dire permet de calculer un nombre inconnu X à partir de trois autres nombres connus a, b et c liés dans une situation de proportionnalité. a b c X Pour a, j ai b, donc pour c, j en ai a fois moins et c fois plus : X = (b : a) x c
Procédure de calcul 30 Ce qui donne pour le problème posé : Si 10 objets coûtent 22, 1 objet coûte 10 fois moins et 15 objets coûtent 15 fois plus. (22 : 10) x 15 = (22 x 15) : 10 = 33 Le prix de 15 objets est donc de 33. 22 x : =
Regard historique 31 Extrait de «Le nouveau calcul vivant» CE et CM L. et M. Vassort (1960)
A garder en tête 32 le sens doit être travaillé dès le cycle II (problèmes de type multiplicatif) enseigner les propriétés de linéarité comme pour toute résolution de problème, la connaissance des nombres et la maîtrise du calcul sont incontournables
33 MERCI POUR VOTRE ATTENTION