Les mouvements d un solide

Les mouvements d un solide Un solide complètement libre dans l espace peut effectuer des déplacements complexes (essayez de décrire les mouvements d un avion de voltige effectuant une figure!). On peut considérer, dans une première approche satisfaisante à notre niveau, que tout déplacement peut se décomposer en une «somme» de mouvements relatifs simples. Mouvements relatifs : en mécanique, décrire les mouvements, impose le choix d un repère. En effet pour le pilote de l avion, c est la terre qui se déplace, ou encore, lorsque vous êtes dans le train, c est la gare qui s éloigne alors que si vous êtes sur le quai, c est le train qui part! En mécanique, ces mouvements sont identiques et ne dépendent que du référentiel que l on choisit (voir cours de physique). Donc, tout mouvement est relatif, et que la porte tourne par rapport au mur ou que ce soit le mur qui bouge, c est le même mouvement (c est juste un peu plus difficile à concevoir!) Mouvements simples : en mécanique, on montre que tout mouvement complexe peut se décomposer en une «somme» de mouvements simples. En effet, le planeur ci-dessous peut monter, descendre, tourner, faire un «looping», une vrille pourtant, par rapport au référentiel XYZ, ce planeur ne peut effectuer que deux types de mouvements : Soit des translations (dérive sur le côté avec le vent, il avance, monte ou descend avec les masses d air), que l on peut noter TX, TY, TZ. Dans une translation, tous les points du mobile décrivent des trajectoires parallèles Soit des rotations (effectue un looping, passe sur le dos, tourne à droite ou à gauche) que l on peut noter X, Y, Z Dans une rotation, un point du mobile est fixe (axe) et tous les autres points de ce mobile restent à la même distance de cet axe. Z TZ X TX TY Z Z X X Y Y Attention : pour une translation, l axe est parallèle au déplacement alors que pour une rotation l axe est perpendiculaire! 1 Y

Ces trois translations et ces trois rotations constituent les mouvements simples Z Z TZ X X TX TY Y Y Décomposition d un mouvement complexe en mouvements relatifs simples : Y by TY B AB TY ay A TX ax bx Le déplacement complexe du solide de la position A à la position B peut se décomposer en deux translations simples suivant les axes X et Y Attention : il s agit ici d une somme vectorielle, en distance le déplacement AB est plus court que la somme des déplacements ax/bx et ay/by (c est la faute à Pythagore!) Cette démonstration simple dans le plan et ne concernant que des translations, devient plus délicate dans l espace avec des rotations, nous nous contenterons de l admettre. Les degrés de liberté TX On appelle degré de liberté tout mouvement relatif simple d un solide par rapport à un autre. Ainsi, un solide complètement libre peut effectuer 6 mouvements relatifs simples (3 translations et 3 rotations) et possède donc 6 degrés de liberté, alors qu un solide complètement immobilisé, ne pouvant effectuer aucun mouvement, ne possède aucun degré de liberté. Solide libre 6 mouvements relatifs simples 6 degrés de liberté Solide immobilisé 0 mouvement relatif simple 0 degré de liberté 2 X

Toutes les combinaisons intermédiaires existent et constituent autant de solutions technologiques pour organiser les mouvements de deux éléments entre eux ; ces différentes solutions sont appelées liaisons. Nous n évoquerons que les plus courantes : Nature de la liaison Encastrement (complète) Mouvements relatifs simples 0 Translation 0 otation Degrés de liberté 0 Symboles Exemples Poutre dans un mur Deux feuilles collées Pied et plateau de table Glissière 1 Translation 0 otation 1 Tiroir et table Pivot 0 Translation 1 otation 1 oue de vélo Charnière Pivot glissant 1 Translation 1 otation 2 Porte et mur Capuchon de stylo Clé et serrure Glissière hélicoïdale 1 Translation * 1 otation * 1* Vis et écrou Assise et chaise otule 0 Translation 3 otations 3 Support appareil photo étroviseur et carrosserie emarque : bien que permettant 1 Translation et 1 otation, la glissière hélicoïdale n offre qu un seul degré de liberté. En effe,t les deux mouvements sont liés et ne peuvent être effectués indépendamment l un de l autre, contrairement à la liaison «pivot glissant». 3

La liaison encastrement Cette liaison qui ne permet aucun mouvement d un élément par rapport à l autre est très courante en technologie et peut présenter diverses caractéristiques : Nature de la liaison Caractéristiques Exemples Liaison démontable La liaison peut être supprimée par dissociation de l élément d assemblage et sans destruction de celui-ci Vissage Goupillage Liaison indémontable (permanente) La liaison ne peut être supprimée sans destruction ou dégradation des éléments assemblés Collage Soudage Serrage A Cordon soudure Liaison «mixte» semi démontable La liaison peut être supprimée par destruction de l élément de liaison, sans dégradation des éléments assemblés Clouage Agrafage Couture Brasage ivetage ivet Vocabulaire : Une liaison est dite : Complète si les 2 pièces ne peuvent avoir aucun mouvement l une part rapport à l autre (voir ci-dessus) Partielle si l une des 2 pièces peut avoir un mouvement par rapport à l autre (au moins 1 degré de liberté) Démontable (voir ci-dessus) Permanente (voir ci-dessus) Élastique s il y a déformation d une des pièces (ressort) igide s il n y a pas de déformation 4

Transmission et transformation de mouvements Un ensemble mécanique est souvent composé d éléments en mouvements agissant les uns sur les autres, constituant ainsi une chaîne cinématique. Un mouvement peut être : Continu (toujours dans le même sens) Alternatif (qui change périodiquement de sens) Définitions : L élément en début de chaîne qui permet le mouvement des autres est appelé élément moteur ou menant ou encore entrée L élément qui reçoit le mouvement est appelé récepteur ou mené ou encore sortie Si, dans une chaîne cinématique, le mouvement de sortie est de même nature que le mouvement d entrée, il y a transmission de mouvement Si, dans une chaîne cinématique, le mouvement de sortie est de nature différente du mouvement d entrée, il y a transmission et transformation de mouvement emarque : certains auteurs considèrent que lorsque la nature du mouvement reste la même (Translation/Translation ou otation/otation) mais que les «vitesses» ou sens sont différents, alors il y a transformation de mouvement. ENTEE TANSMISSION SOTIE TANSLATION TANSLATION OTATION OTATION ENTEE TANSFOMATION SOTIE TANSLATION OTATION OTATION TANSLATION 5

Les tableaux ci-dessous rassemblent les systèmes les plus courants : SYSTEMES DE TANSMISSION DE MOUVEMENTS Dispositif eprésentation Entrée Sortie Exemples oues de friction vitesse et sens différents «dynamo» de vélo voiture jouet galet de magnétophone Poulies et courroie Vitesse différente Vitesse et sens différents Machine à coudre, à laver Imprimante Alternateur de voiture Scie à bois Batteuse Moulins Pignon et Chaîne Vitesse différente Vélo Moto Machines outils Engrenages droits Vitesse et sens différents Montre Jouets Boîte de vitesses Engrenages coniques Vitesse et sens et direction différents Essoreuse à salade Batteur à œuf Boite de vitesses oue et vis sans fin Vitesse et sens et direction différents Portail de garage Transmission automobile 6

SYSTEMES DE TANSFOMATION DE MOUVEMENTS Dispositif eprésentation Entrée Sortie Exemples Treuil T Treuil de puits Grue Moulinet de pêche T Lanceur de moteur Came ou excentrique T alternative Jouet Machine à coudre Arbre à cames (Moteur à explosion) Bielle - manivelle continue continue T alternative alternative Mouvements réversibles Jouet Machine à coudre Piston cylindre (Moteur à explosion) oue dentée - crémaillère T Axes perpendiculaires Cuillère à glace Tire bouchon à bras Cric automobile Vis sans fin - crémaillère T Clé à molette Étau Collier de serrage Axes parallèles Vis - écrou T Serre-joint Étau Cric Pressoir 7

Système «poulies- courroies» Caractéristiques de ces systèmes : C est un système très utilisé car technologiquement simple et économiquement intéressant. Il permet de transmettre un mouvement de rotation à distance et de modifier le sens, la «vitesse» (plus correctement la fréquence de rotation). C est le système qui s est imposé dès le début de l industrialisation pour transmettre le mouvement à partir de sources d énergie telles que la force hydraulique ou éolienne dans les moulins, sur les machines à vapeur, les moteurs Les progrès des matériaux ont sensiblement favorisé les performances des courroies (textiles et caoutchoucs synthétiques). C est un système à la fois économique et très performant (automobile, électroménager, ), limité toutefois par les efforts à transmettre (glissement de la courroie), en fonction de la forme (plate, trapézoïdale ou crantée). Poulies de même diamètre Même sens Même vitesse Sens inverse Même vitesse Poulies de diamètres différents De Ds Élément moteur (menant) ENTEE Élément récepteur (mené) SOTIE De = diamètre de la poulie menante Ds = diamètre de la poulie menée Ne = fréquence de la poulie menante (nombre de tours dans l unité de temps : tours / minute) Ns = diamètre de la poulie menée (nombre de tours dans l unité de temps : tours / minute) Le rapport de transmission K est déterminé par l expression : K = fréquence de sortie / fréquence d entrée K= Ns Ne la courroie étant considérée indéformable, elle parcourt en tout point dans un même temps la même distance soit : Ns x Ds = Ne x De donc : K= Ns Ne = De Ds emarque : pour parcourir la même distance, une petite roue doit tourner plus vite qu une grande roue! 8

Système «train d engrenages» Un train d engrenage est un ensemble de plusieurs roues dentées entraînées les unes par les autres. On appelle pignon la plus petite d entre-elles. 1 2 1 2 3 SOTIE ENTEE SOTIE ENTEE Nombre de contacts extérieurs impair : Changement de sens Nombre de contacts extérieurs pair : Même sens emarque : Dans certaines utilisations moins courantes, on peut utiliser des engrenages intérieurs (essoreuse à salade, différentiel de roues...) Dans ce cas, les deux roues tournent dans le même sens. La denture d un engrenage est en forme de développante de cercle, c'est-à-dire la courbe effectuée par un point d une droite qui roule sans glissement sur un cercle de base. Cette forme de denture est caractérisée par le module m de l engrenage. Pour pouvoir engrener deux roues dentées doivent avoir le même module. 9

Principales caractéristiques : Le diamètre primitif d un engrenage correspond au diamètre théorique de contact entre les deux roues. Un engrenage est caractérisé par : Son module m Son diamètre primitif Dp Son nombre de dents Z liés par la relation ci-dessous : Dp Diamètre primitif Dp = m x Z Calcul du rapport de transmission : Caractéristiques : m Dpe Ze Ne Élément moteur (menant) ENTEE Caractéristiques : m Dps Zs Ns Élément récepteur (mené) SOTIE La définition est la même que pour les roues de friction ou les poulies et courroies (voir cidessus) Le rapport de transmission K est déterminé par l expression : K = fréquence de sortie / fréquence d entrée K= Ns Ne La transmission de mouvement se faisant sans glissement, on peut écrire : Ns x Dps = Ne x Dpe De plus, Dps = m x Zs et Dpe = m x Ze K= Ns Ne = Dpe Dps = Ze Zs Donc : emarque : 10

si K = 1 les deux engrenages tournent à la même vitesse et ont donc le même diamètre et le même nombre de dents si K > 1 la vitesse de sortie est supérieure à la vitesse d entrée, ce système est dit multiplicateur. La roue de sortie est plus petite et possède moins de dents que la roue d entrée si K < 1 la vitesse de sortie est inférieure à la vitesse d entrée, ce système est dit démultiplicateur ou réducteur. La roue de sortie est plus grande et possède plus de dents que la roue d entrée emarque : cas d un train de plusieurs engrenages Le rapport global de ce train s écrit : Entre les roues 1 et 2, K1= N2 N1 = Z1 Z2 K= Ns Ne = N3 N1 Entre les roues 2 et 3, N1= Z2 Z1 x N2 N3= Z2 Z3 x N2 K2= N3 N2 = Z2 Z3 K= Z2 Z3 x Z1 Z2 = Z1 Z3 emarque : On démontre ainsi que les roues intermédiaires situées entre l'entrée et la sortie n'ont aucune influence sur le rapport de réduction du montage et ce quelque soit leur place et leur nombre Quelques sites traitant du sujet http://cm1cm2.ceyreste.free.fr/mouvements.html http://www.lamap.fr/?page_id=4&domainsciencetype_id=12&themetype_id=26 http://barreau.matthieu.free.fr/cours/liaisons-complete/pages/index.html http://cm1cm2.ceyreste.free.fr/index.html http://www.futura-sciences.com/comprendre/d/dossier21-4.php http://serge.bertorello.free.fr/mecano/entraint.html#aniroue http://pastel.paristech.org/archive/00000378/ (chapitre 1) http://membres.lycos.fr/chameca/ http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/meca/bielle.html http://www.mjc-andre.org/pages/amej/edition/0101engr/01daeng1.html 11

Bernard BOUDIN IUFM Dordogne mise à jour 9 / 2007 12