EPREUVE OPTIONNELLE de SCIENCES INDUSTRIELLES Projecteur de diapositives autofocus L étude porte sur le système de positionnement automatique de l objectif du projecteur. Description du fonctionnement Les figures fournies sont limitées aux éléments qui constituent le dispositif de positionnement de l objectif. La figure 1 est l éclaté de la figure 2. On remarquera principalement la diapositive 1, le porte-objectif 4, le corps 5 et le moteur 13. Sur les figures 3 et 4, le corps 5 n est pas représenté. Après avoir introduit la première diapositive, l utilisateur effectue la mise au point manuellement en vissant plus ou moins l objectif (non représenté) dans son support 4. Le système autofocus se charge, pour les vues suivantes, de positionner automatiquement le porte-objectif 4 par rapport à la diapositive quelle que soit sa mise en place ou sa déformation provoquée par la chaleur dégagée par le système d éclairage. Positionnement du porte-objectif Le porte-objectif 4 est en liaison glissière avec le corps 5. Le support de capteur 2 est lié complètement à 4. Ces deux pièces se déplacent donc ensemble. Elles sont positionnées par le levier 6 qui pousse le doigt 3 encastré dans 4. Ce levier pivote autour de l axe 7 lié au corps 5. Il est mis en mouvement par le doigt 9 porté par la roue 8. La rotation du moteur 13 est communiquée à la roue 8 par un train d engrenages constitué des roues 17, 11 et 10 (les dents des roues ne sont pas représentées). Ces roues de 50 dents portent respectivement les pignons 17, 11 et 10 de 10 dents. Le pignon 12 lié à l arbre de sortie du moteur engrène sur la roue 17, le pignon 17 entraîne la roue 11 et ainsi de suite. Les roues 17 et 10 sont en liaison pivot avec l axe 16 encastré dans le support de moteur 15 et les roues 11 et 8 sont en liaison pivot avec l axe 14, également encastré sur 15. Le support 15 est solidaire du corps 5. Détection de la position du plan du film La lampe 21 (fig. 3 et 4) envoie un rayon lumineux sur la diapositive qui le réfléchit sur le capteur 20. Celui-ci est constitué de deux demi-cellules photoélectriques (fig. 5). Il donne une tension différentielle u proportionnelle à la différence des surfaces éclairées S 1 et S 2. Cette tension est alors utilisée pour commander le moteur électrique. Pour la plage de variation de position du plan du film, on peut considérer que u est proportionnelle au déplacement ε de la diapositive par rapport à l objectif. 1. Fonction de transfert du système Travail demandé On appelle : - e(t) le déplacement de la diapositive par rapport au corps du projecteur. C est la grandeur d entrée du système. - s(t) le déplacement de l objectif par rapport au corps du projecteur. C est la grandeur de sortie du système. - ε(t) le déplacement de la diapositive par rapport à l objectif.
1.1. Quelle relation lie e(t), s(t) et ε(t)? Le capteur 20 détecte le déplacement ε(t) et fournit une tension u(t). Un amplificateur reprend cette dernière pour la multiplier par un coefficient constant, ce qui permet d alimenter le moteur électrique par une tension amplifiée u a (t). A l instant t, l arbre de sortie de cet actionneur a tourné d un angle α (t), le train d engrenage a communiqué à la roue 8 une rotation d angle β (t) et le levier a basculé pour déplacer l objectif en translation par rapport au corps d une quantité s(t). On note H c, H a, H m, H r et H t les fonctions de transfert associées respectivement au capteur, à l amplificateur, au moteur, au réducteur à engrenages et au système de transformation de mouvement. Ces transmittances pouvant être des fonctions de la variable p de Laplace ou de simples constantes. On appellera F(p) la transformée de Laplace d une fonction f(t). 1.2. Représenter le schéma bloc du système ayant pour entrée E(p) et pour sortie S(p). On associera à chacune des fonctions de transfert ci-dessus un bloc dont on précisera la variable de sortie. S(p) 1.3. Donner l expression de la fonction de transfert du système : F (p) = en fonction des notations H c, H a, E(p) H m, H r et H t. 2. Étude du réducteur 2.1. Les nombres de dents des roues sont : Z = Z = Z = Z = z 10 et = Z = Z = Z = Z 50. On note 12 17' 11' 10' = On désigne respectivement par ω et 8 rapport au corps 5. Calculer le rapport de réduction : ω 8 ω z Z17 11 10 8 = r =. Z ω les vitesses angulaires de l arbre 12 du moteur et de la roue 8 par en fonction de r. Donner sa valeur numérique. 2.2. En déduire la fonction de transfert du réducteur : r β = α H. 3. Étude du mécanisme de transformation de mouvement La figure 6 représente le levier 6 dans une position que lui impose le doigt 9 lié à la roue 8. Il entraîne en translation le doigt 3 qui est encastré dans le support d objectif (le déplacement représenté est amplifié par rapport au déplacement réel). Soit θ l angle de rotation du levier par rapport à sa position moyenne et β l angle de rotation correspondant de la roue 8, ( β = 0 lorsque θ = 0 ). On note AB = a la distance, lorsque θ = 0, entre l axe de rotation 7 du levier et l axe du doigt 3 et CD = b la distance entre l axe de rotation de la roue 8 et l axe du doigt 9. D autre part AC = AB = a. 3.1. Déterminer l expression de θ en fonction de a, b et β sachant que les angles θ et β sont faibles. 3.2. Exprimer le déplacement s de l objectif par rapport au corps en fonction de θ. 3.3. Donner l expression de la fonction de transfert associée à la transformation de mouvement : fonction de a et b. H = S t en β
4. Étude du moteur 4.1 Équation de comportement mécanique 4.1.1 Donner par rapport au corps 5, en fonction des paramètres a, b, r et ω : - les expressions des vitesses angulaires des roues ( ω 17, ω11, ω10 et ω 8 ), - les expressions linéarisées de la vitesse angulaire du levier ω ) et de la vitesse de translation du ( 6 support d objectif v ), en utilisant les résultats des questions 3.1.et 3.2.. ( 4 4.1.2 On appelle m la masse des éléments en translation, J 6 le moment d inertie du levier 6, J r le moment d inertie de chacune des roues 17, 11, 10 et 8, J le moment d inertie du rotor du moteur (moments par rapport aux axes de rotation). Exprimer l énergie cinétique par rapport au corps de l ensemble constitué des pièces mobiles en fonction de J 6, J r, J, a, b, m, r et ω. 4.1.3 On appelle Cm le couple moteur, c f le coefficient de frottement visqueux dans chaque liaison pivot (couple de frottement exercé sur la pièce i : cf ω i ) et f le coefficient de frottement sec dans la liaison glissière L 45. Exprimer la puissance développée par le moteur et les puissances perdues par frottement dans les liaisons pivot et dans la liaison glissière. On néglige les frottements au niveau des autres contacts. 4.1.4 Déterminer l équation mécanique qui modélise le comportement dynamique du système. On simplifiera son expression en éliminant les termes négligeables. 3 3 2 On donne : a = 25 10 m, b = 4 10 m, m = 0,2 kg, g = 9,8 m.s, f = 0, 1, 1 6 8 7 ω = 300 rd.s, J6, J r et J sont respectivement de l ordre de 10, 10 et 10 kg.m², Cm de l ordre de 10 3 N.m et c f de l ordre de 10 6 N.m /(rd.s 1 ) 4.2. Fonction de transfert L équation mécanique précédente associée aux équations électriques du moteur à courant continu permet, en négligeant l inductance de l induit, d écrire la fonction de transfert liant la vitesse de rotation à la tension Ω K m α d alimentation sous la forme =. Donner la fonction de transfert du moteur H m ( p) = U 1+ Tp U a en fonction de K m, T et de la variable p. 5. Identification 5.1. Montrer que la fonction de transfert en boucle ouverte du système global peut se mettre sous la forme K H (p) = (on rappelle que H c (p) et H a (p) sont des constantes) D(p) 5.2. On donne sur la feuille réponse le diagramme de Bode de la FTBO. Comment peut-on à partir de ce diagramme déterminer les paramètres caractéristiques de H(p)? On justifiera les méthodes utilisées. 6. Réglage du gain Pour améliorer le confort visuel on souhaite diminuer le dépassement de la réponse indicielle en amenant la marge de phase à 60. Déterminer à partir du diagramme de Bode le coefficient multiplicateur à appliquer au gain pour atteindre cette valeur. 7. Erreur statique Quelle erreur statique obtient-on sur le positionnement des diapositives?