Programmes 2016 Extraits Sens des opérations Mathématiques didactique : Structures multiplicatives Articulation sens et techniques Problèmes relevant des structures additives (addition/soustraction) Cycle 2 Cycle 3 Sens des opérations Problèmes relevant de structures multiplicatives, de partages ou de groupements (multiplication/division) Modéliser ces problèmes à l'aide de l'écriture mathématiques Sens des symboles +, -, x Problèmes relevant des structures additives et multiplicatives Champ conceptuel des structures multiplicatives L'expression «structures multiplicatives» renvoie aux situations dont le traitement appelle une multiplication, une division ou une combinaison de telles opérations. A l'école élémentaires, trois structures principales : 1. Les relations de proportionnalité simple 2. Les relations de comparaison multiplicative 3. Les relations de proportionnalité double - cas particulier des problèmes de type composition de mesures I. Les problèmes de proportionnalité simple Multiplication Division quotition Division partition Relations de proportionnalité simple : On connait 3 valeurs numérique, il faut en trouver une 4ème Si l'une des valeurs est 1 (mesure d'une grandeur en jeu) Pb de multiplication Pb de division - avec recherche du nombre de part (quotition) - avec recherche de la valeur d'une part (partition) Si aucune des valeurs n'est égale à 1 Pb dits de proportionnalité Dans un bouquet, il y a 5 fleurs, combien y-a-t-il de fleurs dans 6 bouquets? Multiplication 1 5 6? a) Une des valeurs est 1 Dans un bouquet, il y a 5 fleurs, combien de bouquets pour 30 fleurs? Division quotition ou groupement 1 5? 30 Avec 6 bouquets identiques, on a fleurs dans un bouquet? Division partition ou partage 1? 6 30
b) Intérêt du sens de «proportionnalité simple» Permet passage du dénombrement d'unités simples au dénombrement d'unités composées Permet de travailler le sens additions itérées de la multiplication Permet la compréhension de la numération : aspect groupement et échange c) Première dé finition de la multiplication «Une addition répétée du multiplicande, le nombre de fois étant déterminé par le multiplicateur» axb = a + a + a + (b fois) Le produit de deux naturels a et b est égal à la somme de b naturels égaux à a d) Lien avec la numération Cf polycopié e) Proportionnalité simple dans un contexte ordinal La piste numérique permet la recherche des premiers produits, ainsi que celles d'écritures multiplicatives d'un nombre Ex : Le robot bleu fait des sauts de 3. Ecris les numéros des cases sur lesquelles il rebondit sans dépasser 50.» f) Les multiples au CE2 Ex : Sauts de 4,6, 9... g) Proportionnalité simple Obstacles associés «3 paquets identiques de 4 objets et 4 paquets identiques de 3 objets.» Comment expliquer 4x3 = 3x4? (commutativité de la multiplication) On est obligé de calculer : 4+4+4=12 et 3+3+3+3=12 On attend des élèves qu'ils généralisent pour plusieurs cas Comment étendre la définition aux nombreux décimaux? Ex = 3,6 m de tissu à 8,42 euros le mètre Proportionnalité simple : cas de la division a) La division quotition (recherche du nombre de parts) Chez le fleuriste, les tulipes sont vendues par bouquet de 5 tulipes. En tout, il y a 30 tulipes. Combien y-a-t-il de bouquets? Méthode intuitive des élèves : 5 1 bouquet 5 + 5 = 10 2 bouquets 5+5+5 = 15 3 bouquets 5+5+5+5+5+5 = 30 6 bouquets b) La division partition Chez le fleuriste, il y a 6 bouquets identiques de tulipes. En tout, il y a 30 tulipes. Combien y-at-il de tulipes par bouquet? Méthode de l'élève :? +? +? +? +? +? = 30 6 bouquets Procéder par test d'hypothèses Difficulté de prendre appui sur des additions itérées car la valeur à répéter est inconnue L'élève peut procéder par essai-erreur en remplaçant? Par une valeur, et en vérifiant si la somme est 30. Division partition et raisonnement intuitif Chez la fleuriste, il y a 6 bouquets identiques de tulipes. En tout, il y a 30 tulipes. Combien y-at-il de tulipes par bouquet?
Méthode de l'élève : Les élèves dessinent les tulipes en colonne. 1 colonne = 1 un bouquet donc 5 fleurs On se ramène à une disposition rectangulaire! = le sens proportionnalité simple de la multiplication ne suffit pas. Il doit être articulé avec un autre sens de la multiplication : le sens proportionnalité-double, et plus spéci fiquement, le sens produit des mesures II. Les problèmes de type produit de mesures (ou composition de mesures Problèmes de type produit de mesure On connait deux nombres, on en cherche un 3ème Un quadrillage a 5 lignes et 7 colonnes, combien a-t-il de carreaux? Un quadrillage de 5 lignes à 35 carreaux. Combien de colonnes à t-il? Un quadrillage de 7 colonnes a 35 carreaux. Combien de colonnes a-t-il? Multiplication Division Division a) Multiplication : définition 2 : axb est défini comme le nombre de cases d'objets rangés en a lignes et b colonnes Configuration rectangulaire b) Intérêt du sens «composition des mesures» Favoriser la compréhension des propriétés de la multiplication Permettre la compréhension des algorithmes de la multiplication - des entiers - des décimaux - des fractions (collège) Permet le travail sur le calcul des aires et des volumes (CM1-CM2) Un support (parfois implicite) pour résoudre d'autres problèmes c) Les propriétés de la multiplication / Les algorithmes La commutativité 3 rangées de 4 4 rangées de 3 Face au quadrillage : 2 écritures possibles à fournir spontanément Commutativité de la multiplication Quels que soient les naturels a et b axb = bxa Propriété qui permet d'unifier le sens addition itérée et produit cartésien (quadrillage) L'associativité 2 x 2 x 6 = (2x2) x 6 = 4 x 6 = 24 Calcule mentalement : 2 x 2 x 3 = Calcule mentalement : 2 x 5 x 4 = CE2 Introduire la multiplication par 10 : 3 x 50 = 3 x 5 dizaines = 15 dizaines = 150 4 x 70 = 4 x 7 dizaines = dizaines = CE1 Ex : Quadrillage de 40 carreaux de longueurs et 3 de largueurs (3x4 dizaines c'est dizaines) Quels que soientles naturels a,b,c: axbxc = a x (bxc)= (axb)xc Propriété utilisée ans le calculm entalou réf échi73 x 4 = (73x2)x2 = 146x2
L'associativité vers les volumes Boite de sucres Cb d'étages? Cb de morceaux de sucre par étage? Cb de morceaux quand la boite est pleine? d) La distributivité de la multiplication par rapport à l'addition Calcule 38 x 4 Du schéma vers le calcul posé en colonne e) Distributivité par rapport à l'addition (multiplier par un nombre à deux chiffres) Imaginer que c'est un rectangle : 36 x 27 (30 x 27) + (6 x 27) =. 20 7 30 30 x 20 30 x 7 6 x = x = Utiliser le quadrillage pour multiplier un entier par un nombre décimaux f) Le tableau à double entrée permet d'identifier un problème de type composition de mesures Avec 3 t-shirts différents et 4 shorts différents, combien de tenus différentes peut-on composer? 3 x 4 = 12 Faire un tableau avec une colonne t-shirts et la largueur avec les shorts pour faire les combinaisons g) Calcul des aires (CM) Les 3 premiers pb : en général, on connait deux nombres, on en cherche un 3ème Les dimensions d'un rectangle sont 5 cm et 7cm, Multiplication quelle est son aire? Un rectangle a une longueur de 7cm. Son aire est de 35cm2. Quelle est sa largueur? Un rectangle a une largueur de 5cm. Son aire est de 35cm2. Quelle est sa longueur? Division Division h) Elément neutre et élément absorbant Quel que soit le naturel a a x 1 = 1 x a = a ; on dit que 1 est un élément neutre pour la multiplication a x 0 = 0 x a = 0 ; on dit que 0 est un élément absorbant pour la multiplication Ces propriétés mettent en échec certains élèves Remarque : ces propriétés sont utilisées en acte en classe, sans être designées III. Problèmes de comparaison multiplicative 3 nombres en jeu dont 2 sont connus Deux états relatifs à une même grandeur sont comparés par les locutions «fois plus» ou «fois moins». L'un joue le rôle de référent pour l'autre. Si sous-catégories suivant que : La comparaison relève de la multiplication par un nombre supérieur à 1 fois plus La comparaison relève de la multiplication par un nombre inférieur à 1 fois moins La question porte sur la recherche du référé, de la comparaison ou du référent Ex CE1 : Paul met huit minutes pour aller de sa maison à l'école. Clément met quatre fois plus de temps. Quel temps faut-il à Clément pour aller de sa maison à l'école? Difficulté le mot «plus» A faire : 8 x 4
Autres exemples... Paul met 8min, Clément met 4 fois moins de temps. Quel temps met Clément? Paul met 8 min, Clément en met 32. C'est combien de fois que Paul? Paul met 8min, Clément en met 2, c'est combien de fois moins que Paul? Clément met 8min, il met 4 fois moins de temps que Paul, combien de temps met Paul? 8 / 4? Traduire quatre fois moins par «je divise par 4» 8 x. = 32 8 /? = 2? / 4 = 8 Enseigner la multiplication et la division : sens et techiques Articulation entre résolution de problèmes et calcul (2016) Cycle 2 Cycle 3 Les élèves établissent puis doivent progressivement : - des faits numériques : décomposition/recomposition additives dès le début du cycle (dont les tables d'addition), multiplicatives dans la suite du cycle (dont les tables de multiplication) - des procédures de calculs élémentaires S'appuyer sur ses connaissances pour développer des procédures de calcul adaptées aux nb en jeu pour les additions au CP pour les soustractions et les multiplications au CE1 ainsi que pour obtenir le quotient et le reste d'une division euclidienne par un nombre à 1 chiffre et par des nombres comme 10, 25, 50, 100 en fin de cycle I. La multiplication a) Le sens de la multiplication (CE) Deux situations de référence Situation de proportionnalité simple Dans un contexte cardinal (évocation d'objets isolés) b) Procédures de résolution personnelle Des élèves dessinent Dessin, schéma Comptage de 1 en 1 ou de 5 en 5 Additions itérées de 5 c) Procédures de calcul Comptage de 5 en 5 Par appui sur les doubles Par addition en ligne Par addition posées de 5 Addition et soustraction pour les nombres décimaux CM1 multiplication d'un nombre décimal par un nombre entier au CM2, de deux nombres décimaux en 6ème division euclidienne dès le début du cycle, division de deux nombres entiers avec quotient décimal, division d'un nombre décimal par un nombre entier à partir du CM1 Situation de proportionnalité double Nombre de carreaux d'un quadrillage d) Composition de mesures Procédures envisageables Ex : un quadrillage de 3 lignes et 9 colonnes. Combien de cases? Additions réitérées Comptage de n en n en pointant soit les lignes soit les colonnes Comptage des carreaux de un en un
e) Les variables didactiques Si la taille des nb augmente Les procédures de type dessin deviennent couteuses Les additions itérées (en ligne ou posées) entraînent des risques d'erreurs Les procédures multiplicatives ne sont ef ficaces que si l'on dispose d'un répertoire multiplicatif (tables), mais aussi du produit par 10 et par les multiples de 10 Mémoriser le répertoire multiplicatif Savoir le résultat du produit de deux nombres Retrouver le 2ème terme d'une multiplication à trou (12, c'est 3 multiplié par combien?) Multiplier par 10 ou par un multiple de 10 f) Les techniques de la multiplication Phase 1 : comprendre les règles de multiplication d'un nombre à deux chiffres par un nombre à un chiffre à partir de plusieurs procédures Exemple : Chaque boîte contient 1 sachet de 20 jetons et 6 jetons» Première phase : modes de calcul d'un produit 1. Additions itérées de 26 2. Appui sur les produits connus : distributivité de la multiplication par rapport à l'addition 26x4 = (20x4) + (6x4) Dénombrement de carreaux d'un quadrillage Etayage > L'élève peut s'appuyer sur toutes ces méthodes! Phase 2 A partir du quadrillage, présenter la multiplication en colonne comme un raccourci des différents calculs Faire le lien entre la procédure de multiplication par découpage d'un quadrillage et la technique de la multiplication posée en colonne Etape suivante Pour multiplier un nombre à deux chiffres par un nombre à un chiffre Conjuguer simultanément les calculs de produits et l'addition Les produits intermédiaires sont calculés mentalement et Les retenues sont mises en mémoire et restituées au fur et à mesure! = Méthode pas à pas (écriture de tous les produits partiels en colonne)! = La présentation! = Comprendre Au CE2 : but:faire évoluer les procédures personnelles utilisées par les élèves vers des procédures plus distantes des contextes et des actions décrites dans les énoncés renforcer la distributivité de la multiplication sur l'addition Au CM : Nombres décimaux Alice achète 4 tartelettes à 2,35 euros l'une. Combien paie-t-elle? Addition réitérées, multiplication, quadrillage pour la technique Quelques variables didactiques Type de problèmes (structure) Les grandeurs en jeu Les nombres en jeu Le nombre d'étapes implicites ou non La formulation de l'énoncé
Les types de problèmes Proportionnalité simple Comparaison multiplicative, en particulier, la recherche du référent est plus dif ficile, elle est étudiée en CM Proportionnalité double : au CM, recherche de l'air d'un rectangle Les nombres Leur nature : - entier - décimaux - rationnels La nature de leur rapport Leur taille II. La division : une notion complexe a) Théorème et définition 1 Etant donné deux entiers naturels a et b b différent de 0 S'il existe q entier, tel que a = bxq Il est unique On l'appelle le quotient de a par b On le note a / b Division exacte b) Théorème et définition 2 La division euclidienne A tout couple d'entiers nautrels a et b tel que b différent de 0 On peut faire correspondre un couple unique d'entiers naturels q et r tels que a = bq + r et 0 < ou = r < b L'opération permettant de passer du couple (a,b) au couple (q,r) est appelée = division euclidienne des entiers naturels q et r sont respectivement le quotient et le reste dans cette division c) Vocabulaire dividende diviseur reste quotient d) Rappel Tout nombre rationnel est le quotient de deux entiers Ce quotient peut être entier, décimal ou non décimal Dans ce dernier cas, on peut en donner une valeur approchée décimale e) Effets de ces définitions Une place essentielle accordée au quotient Mais les problèmes à résoudre nécessitent : - d'identifier s'il s'agit d'un pb de division - de calculer le quotient en effectuant la division - de s'intéresser au quotient trouvé - mais aussi de gérer le reste de diverse manières selon la question posée et le contexte f) Le résultat d'une division Il ressort aussi de ces définitions que le résultat d'une division peut être - un nombre (voir définition 1 et 3 poly) - un couple de nombres (voir définition 2) selon la question posée le contexte g) La nature du quotient Entier? Décimal? Fractionnaire? Décimal approché?
h) Division euclidienne Dans la division euclidienne, cherche t-on : - le quotient q - le quotient par excès q+1 - le complément du diviseur - le reste Exemple : 44 = 6x7 + 2 Répartir 44 œufs dans des boites de 6 Combien de boites pleines? Q 7 Combien de boites pleines et que reste-t-il? Q et r 7 et 2 Combien de boites nécessaires en tout? Q+1 8 Combien manque-t-il d'oeufs pour que la dernières boite soit pleine? III. La division au CE1 B-r 6-2 = 4 a) Le sens de l'opération et les écritures symboliques la recherche de la valeur d'une part la recherche du nombre de parts dans un contexte cardinal ou dans un contexte lié à la mesure Introduire l'écriture en ligne (écriture canonique) : a = bq + r à partir des procédures personnelles Exemple 1 : Il faut répartir 28 images dans 4 enveloppes Les enveloppes doivent contenir le même nombre d'images Cb d'images faut-il mettre dans chaque enveloppe? Reste-t-il des images? Exemple 2 : Dans un ruban de 20 cm, Lilou découpe des petits morceaux de 3cm Combien de morceaux au maximum peut-elle découper? Conclure avec les élèves : Si on découpe des morceaux de 3cm dans un ruban de 20cm On obtient 6 morceaux et il reste 2 cm de ruban b) Division exacte Lien entre quotient exact et facteur manquant dans une multiplication à trou Introduire le signe «divisé par» (:) Ex : Rémi range 60 images dans des enveloppes. Les enveloppes doivent contenir 5 images chacune. Combien d'enveloppes faut-il? Procédures : Compléter de 5 en 5 jusqu'à 60, en comptabilisant les 5 Recherche de multiples de 5 et ajustements : 5 x 10 : 50 ; 5 x 11 = 55 ; 5 x 12 = 60 Dessin d'enveloppes et comptage de 5 en 5 ou de 10 en 10, jusqu'à 60, puis dénombrement d'enveloppes IV. La division au CE2 Faire prendre conscience que : rechercher la valeur d'une part (partition) ou le nombre de parts (quotition) Relève des mêmes procédures de calcul Il s'agit dans les deux cas de problèmes de divisions Renforcer la maîtrise de l'écriture canonique a = bq + r, r<b Mettre en place une technique
a) Sens et procédures envisageables Permettre à l'élève de reconnaître des situations de division et d'y développer des stratégies de calcul ré fléchi Exemple : répartir équitablement 82 objets dans des sachets de 6 Procédures : Dessin Soustractions successives de 6 (ou de multiples de 6) à 82 et comptage du nombre de fois où on a soustrait 6 (c'est-à-dire du nombre de sachets remplis) Additions successives de 6 (ou de multiples de 6) et comptage du nombre de fois où on a additionné 6 Approche du dividende (82) par des multiples du diviseur Conclure lors de la mise en commun : 82 = (6x13) + 4 Utiliser une représentation schématique b) Le reste de la division Etude sur la droite graduée, il représente l'écart entre le dividende et le multiple du diviseur juste inférieur au dividende il est inférieur au diviseur V. CM1 Mise en place de la technique Elle consiste à : Rechercher le nombre de chiffres du quotient Rechercher les chiffres du quotient en déterminant des quotients partiels Trouver le quotient par addition des quotients partiels Conclure en fournissant l'écriture canonique de la division euclidienne Etapes Les nombres choisis dans les problèmes (recherche de la valeur d'une part ou du nombres de parts) visent à optimiser les calculs Il s'agit de systématiser le procédé de calcul par des soustractions successives de multiples bien choisis du diviseur Les questions posées visent à rechercher q, q et r, q+1 Division décimale de deux entiers Comprendre que dans certaines situations (grandeurs continues) on peut partager le reste Première approche dans des cas simples VI. CM2 Technique de la division avec quotient décimal Comme une évolution de celle de la division euclidienne Exemple : On répartit équitablement 15 L d'eau dans 11 récipients