Mathématique 306. Cahier des tâches. Janvier. Nom : Groupe :

Mathématique 306 Chapitre 4 LES FONCTIONS Section 4.1 Les modes de représentations Section 4.2 Les relations, les réciproques et les fonctions Section 4.3 Le calcul des règles des fonctions Section 4.4 Les types de fonctions Sections 4.5 La fonction de variation inverse Section 4.6 La modélisation Cahier des tâches Janvier 2016 Nom : Groupe : 31 32 33 34 1

4.1 Les modes de représentations Il existe différentes façons de représenter une situation. La description verbale Exemple : La longueur d un serpent est de 35 mm à sa naissance et, par la suite, elle augmente de 5 mm/semaine. La table de valeurs - Titre - Variables identifiées avec les unités - Les variables : Exemple : Croissance d un serpent Temps (semaines) 0 1 2 3 4 5 Longueur (mm) 35 40 45 50 55 60 Le graphique Exemple : Permet de visualiser rapidement une situation. - Titre - Identifier les axes avec les unités - Graduer par pas constants - 0 - Relier les coordonnées - Les variables : 2

La règle Une règle est une équation qui traduit une régularité entre des variables. Exemple : Variable représentant la longueur du serpent. V.D. l 5t 35 Constante indiquant que la longueur du serpent à la naissance est de 35 mm. Coefficient indiquant que la longueur du serpent augmente de 5 mm/semaine. Taux de variation Variable représentant le temps. V.I. Exercices : Une carte de membre de la piscine coûte 10$ et chaque visite en coûte 4$. Trouve la règle et construis le graphique. On commence toujours par faire la table des valeurs. 3

4.2 Les relations, les réciproques et les fonctions Les relations, la variable indépendante et la variable dépendante Un lien entre deux variables est appelé une relation. Généralement, dans une relation entre deux variables : celle dont la variation entraîne (influence) la variation de l autre est appelée variable dépendante (v.d.) ; celle dont la variation réagit (dépend) à la variation de l autre est appelée variable indépendante (v.i.). Exemple : Le temps de cuisson d un poulet dépend de sa masse. Dans cette situation, la masse du poulet correspond à la variable indépendante et le temps de cuisson, à la variable dépendante. Dans la représentation graphique d une fonction, on associe la variable indépendante à l axe des abscisses ( x) et la variable dépendante à l axe des ordonnées (y). Dans la table de valeurs d une fonction, on associe généralement la variable indépendante à la première rangée ou colonne de la table de valeurs selon que celle-ci est représentée à l horizontale ou à la verticale. Exercices : Pour chaque paire de variables, indique celle qui correspond logiquement à la variable : 1) indépendante ; 2) dépendante. Le temps nécessaire pour effectuer des travaux sur un chantier et le nombre d ouvriers présents sur ce chantier. La taille d une personne et sa masse. La distance qui sépare une planète du Soleil et la température à la surface de cette planète. La quantité d essence qui reste dans le réservoir d une voiture et la distance parcourue par cette voiture. 4

Les réciproques et les fonctions Une fonction est une relation entre deux variables selon laquelle, à chaque valeur de la variable indépendante (v.i.) correspond une seule valeur de la variable dépendante (v.d.). Exemple : Exercices : Dans chaque cas, encercle la lettre lorsque la relation est une fonction. a) x y b) c) d) 11 2 3 3 2 6 7 3 e) f) x y 30 1 g) h) 10 2 300 3 10 4 5

Une réciproque s obtient en inversant le x et le y de chaque coordonnée de la fonction. Exemple : La relation B est la réciproque de la relation A et vice versa. Le point (1, 3) est devenu (3, 1), le point (9, 2), (2, 9), et le point (6, 9), (9, 6). La relation A est une fonction. La relation B n est pas une fonction. Exercices : #1) Dans chaque cas : 1) remplis la table de valeurs associée à la réciproque de la relation ; 2) indique si cette réciproque est une fonction. a) x y 0 3 1 6 2 9 3 12 4 15 b) x y 3 0 2 1 1 3 2 1 3 0 c) x y 3 0 2 1 1 3 2 1 3 0 d) x y 20 105 30 43 70 66 90 21 110 7 1) x y 1) x y 1) x y 1) x y 2) 2) 2) 2) 6

#2) Dans chaque cas : 1) représente graphiquement la réciproque de la relation donnée ; 2) indique si cette réciproque est une fonction. a) 1) 2) b) 1) 2) 7

#3) Voici la représentation graphique de deux fonctions : a) Trace la réciproque de chacune de ces fonctions. Que remarques-tu? b) Émets une conjecture sur la propriété géométrique que doit avoir une fonction pour être identique à sa réciproque. 8

La règle d une fonction f, où x est la variable indépendante et y, la variable dépendante, peut s écrire : y (une expression algébrique en x) ou f (x) (une expression algébrique en x). Exemple : L épaisseur d un pneu neuf est de 195 mm. Son épaisseur diminue de 0,004 mm à chaque kilomètre parcouru. En désignant la fonction par f, la distance parcourue (en km) par d et l épaisseur (en mm) par e ou f (d), la règle peut s exprimer : e 0,004d 195 ou f (d ) 0,004d 195. Exemple : La masse d une baleine varie en fonction du temps. À sa naissance, elle pèse 600 kg et sa masse augmente de 175 kg/mois. La règle est : ou Si on cherche à 23 mois, quelle sera sa masse, on remplace le temps (en mois) dans la règle par 23, et on calcule sa masse (en kg). Donc : Exercices : Voici les règles de plusieurs fonctions : f (x) x 3 g(x) 3x 2 h(t ) 3 t i (n) 2 n j (r ) 4 Calcule : a) f (2) b) g 2 c) h( 8) d) i (4) e) j (10 4 ) 5 9

4.3 Le calcul des règles des fonctions Pour une fonction linéaire, la règle s écrit : Le taux de variation Dans une relation entre deux variables, un taux de variation (a) est la comparaison entre deux variations correspondantes de ces variables. Taux de variation v ariationde la v ariable dépendante v ariationcorrespondante de la v ariableindépendante Étapes pour calculer le taux de variation : Taux de variation y x Exemple : #1) Trouve le taux de variation de cette droite 1. Trouver 2 coordonnées : 2. Les nommer (x 1, y 1 ) et (x 2, y 2 ) : 3. Calculer le taux de variation : #2)Soit une droite passant par (0,200) et (4,120), trouve le taux de variation : 1. Trouver 2 coordonnées : 2. Les nommer (x 1, y 1 ) et (x 2, y 2 ) : 3. Calculer le taux de variation : #3) Selon la table de valeurs suivantes, trouve le taux de variation : x 0 5 10 15 20 y 200 150 100 50 0 1. Trouver 2 coordonnées : 2. Les nommer (x 1, y 1 ) et (x 2, y 2 ) : 3. Calculer le taux de variation : 10

Exercices : Chaque paire de couples ci-dessous appartient à une fonction polynomiale de degré 1. Dans chaque cas, détermine le taux de variation de cette fonction. a) (1, 1) et (3, 4). b) (5, 4) et (2, 9). c) ( 1, 10) et ( 5, 8). d) (0, 0) et (11, 13). e) (0, 5) et (4, 0). f) ( 4, 3) et (11, 9). La constante Dans la règle y = ax + b, la constante (b) représente la valeur de la variable dépendante (V.D.), lorsque la variable indépendante est nulle. C est la valeur de la variable indépendante, la valeur initiale. On l appelle aussi l ordonnée à l origine. Étapes pour calculer la constante : Remplacer dans la règle y = ax + b, le a par le taux de variation le x et le y par un des couples (x 1, y 1 ) ou (x 2,y 2 ) Trouver le b. Exercices : Dans chaque cas, on donne le taux de variation ainsi qu un couple appartenant à une fonction polynomiale de degré 1. Détermine la valeur initiale de chacune de ces fonctions. a) 3 et (2, 0). b) 1 c) et (2, 4). 6 et (5, 7). 4 11

Recherche d une règle : Une fois le taux de variation et la valeur initiale trouvée, il ne reste qu à écrire la règle finale y = ax + b en remplaçant le a par le taux et le b par la valeur initiale (constante). Exemples : #1) La droite passe par (3,28) et (7,72), quelle est la règle de cette droite? #2) Le taux de variation est de -3 et la droite passe par (14,6). Quelle est la règle de cette droite? 12

Exercices : Détermine la règle de chacune des fonctions représentées ci-dessous. a) b) c) 13

4.4 Les types de fonctions La fonction polynomiale de degré 0 : La fonction de variation nulle f (x) a, où a est une constante. Exemple : Soit une fonction de variation nulle. Description verbale Règle Table de valeurs Graphique Peu importe la variation de la variable x, la valeur de y est toujours la même, soit 3. y 3 x y 2 3 1 1 1 3 1 0 3 1 1 3 2 3 0 0 0 0 La fonction polynomiale de degré 1 : La fonction de variation directe Exemple : y 3x La règle s écrit f (x) a, où a 0. Sa représentation graphique est une droite oblique qui passe par l origine du plan cartésien, donc lorsque x vaut 0, y vaut aussi 0. Elle traduit une situation de proportionnalité. 1 1 1 1 Table de valeurs x y 2 6 1 3 0 0 1 3 3 3 3 3 Graphique 2 6 La fonction de variation partielle Exemple : y 2x 1 La règle s écrit f (x) a, où a 0 Table de valeurs Graphique et b 0. Sa représentation graphique est une droite oblique qui ne passe PAS par l origine du plan cartésien, donc lorsque x vaut 0, y ne vaut pas 0. Elle ne traduit PAS une situation 1 1 1 1 x y 2 3 1 1 0 1 1 3 2 5 2 2 2 2 de proportionnalité. 14

Exercices : #1) Représente graphiquement chacune des fonctions suivantes. Indique de quel est le type de fonction. a) f (x) 2x b) g(x) 3x 1 c) h(x) 5 3 x 2 Fonction Fonction Fonction d) i (x) 1 e) x 4 j (x) 3 22 f) k(x) 7x 17 x 3 7 7 Fonction Fonction Fonction 15

#2) À la suite d une coupure de courant, le système de chauffage d une maison cesse de fonctionner. Le graphique ci-contre montre l évolution de la température dans cette maison après cette interruption. a) Si x représente le temps (en min) et y, la température (en C), quelle est la règle de cette fonction? Réponse : b) Quelle est la température dans cette maison après 30 min? c) Après combien de temps la température dans cette maison est-elle de 9 C? Réponse : Réponse : d) Quelle est le type de fonction : Modifier les paramètres : Si on modifie la constante (b) de la règle, on modifie : Si on modifie le taux de variation (a) de la règle, on modifie : Un taux de variation négatif = droite Un taux de variation positif = droite Un taux de variation nul = fonction 16

En ne considérant pas le signe, plus le taux de variation est grand, plus l inclinaison de la droite est grande. 4.5 La fonction de variation inverse Une relation entre deux variables dont le produit des valeurs de chacun des couples est constant et non nul est une fonction de variation inverse. Par exemple : le prix à payer par personne dans un taxi par rapport au nombre de personnes dans le taxi. le montant d une dette à rembourser par jour en fonction du nombre de jour. le prix à payer par personne pour un cadeau en fonction du nombre de personne qui contribuent. La règle d une fonction de variation inverse s écrit : f (x), où x 0 et a 0. Dans cette règle, correspond au produit des valeurs de chacun des couples (x, y) de la fonction. La représentation graphique d une fonction de variation inverse montre une courbe décroissante dont les extrémités se rapprochent de plus en plus lentement des axes sans jamais les toucher. Exemple : Description verbale Règle Table de valeurs Graphique Le produit des valeurs de chacun des couples de la fonction est 20. 20 y x x y 1 20 2 10 4 5 5 4 10 2 20 1 1 20 20 2 10 20 4 5 20 5 4 20 10 2 20 20 1 20 Pour trouver la règle, il suffit de trouver la valeur du a : = 17

Exercices : 1 Complète chacune des tables de valeurs suivantes sachant qu elle est associée à une fonction de variation inverse. a) x y b) x y c) x y d) x Y 20 1 0,2 3 4 12 0,1 100 1 6 15 4 1000 1 24 2 0,001 4 0,25 0,25 2 Représente graphiquement la fonction dont la règle est donnée ci-dessous. a) 12 b) 20 y y x x c) 60 y d) y x 100 x 18

Détermine la règle de chacune des fonctions représentées ci-dessous. 3 a) b) c) Réponse : Réponse : Réponse : d) e) f) Réponse : Réponse : Réponse : 4 Le temps nécessaire à un ordinateur pour accomplir une tâche dépend du nombre de processeurs qu il contient. Le graphique ci-contre représente cette situation. a) Si n représente le nombre de processeurs et t, le temps (en s) nécessaire pour accomplir la tâche, quelle est la règle de cette fonction? b) Combien de temps cet ordinateur prend-il pour accomplir la tâche s il contient 5 processeurs? c) Combien de processeurs l ordinateur doit-il contenir pour accomplir la tâche en moins de 0,3 s? Réponse : Réponse : 19

4.6 La modélisation Les données d une table de valeurs, ou le nuage de points associé à une situation faisant intervenir deux variables, ne montrent pas toujours une régularité systématique ou des points disposés selon une tendance parfaite. On tente alors de déceler si le lien entre les deux variables peut être décrit par un modèle mathématique, c est-à-dire par une fonction dont le comportement est à la fois connu et prévisible. Un modèle mathématique adéquat permet d obtenir une courbe bien ajustée, c est-à-dire une courbe qui est représentative de la majorité des points du nuage. La modélisation à l aide d une fonction polynomiale de degré 0 ou 1 Démarche 1. Déceler une tendance dans le nuage de points. Exemple Les points de ce nuage sont relativement bien alignés, caractéristique graphique d une fonction polynomiale de degré 1. 2. Tracer une droite qui est représentative de la majorité des points en tenant compte des critères suivants : l inclinaison de la droite est celle suggérée par le nuage de points ; si possible, autant de points sont situés de part et d autre de la droite. La droite tracée est représentative de l ensemble des points du nuage. 3. Établir la règle du modèle mathématique. Deux des points de la droite ont pour coordonnées (2, 50) et (12, 5). 5 50 a 12 2 45 10 y ax b y 4,5x b 50 4,5 2 b 4,5 b 59 La règle du modèle mathématique est donc : y 4,5x 59 20

La modélisation à l aide d une fonction de variation inverse La table de valeurs qui représente une situation faisant intervenir deux variables comporte parfois des couples dont le produit des valeurs montre une certaine constance. Pour modéliser une telle situation, on peut utiliser la démarche suivante. Démarche 1. Déceler une tendance dans le nuage de points. Exemple Ce nuage de points montre une tendance qui correspond à celle d une fonction de variation inverse. 2. Chercher unerégularité dans la table de valeurs. x y 5 242 10 136 15 80 20 70 25 46 30 44 35 32 40 26 5 242 1210 10 136 1360 15 80 1200 20 70 1400 25 46 1150 30 44 1320 35 32 1120 40 26 1040 Pour chacun des couples, le produit des valeurs est sensiblement le même, une caractéristique propre à une fonction de variation inverse. 3. Établir la règle de la fonction servant de modèle mathématique à la situation selon le nuage de points et la table de valeurs. La moyenne des produits des valeurs de chacun des couples est de : 1210 1360 1200 1400 1150 1320 1120 1040 8 1225 La règle du modèle mathématique peut donc être 1225 y et la courbe ainsi obtenue est représentative x de l ensemble des points du nuage. 21

Exercices : 1 Pour chacune des tables de valeurs ci-dessous : 1) trace le nuage de points ainsi que la courbe représentative de l ensemble des points ; 2) détermine la règle de la fonction qui peut servir de modèle. a) x y 0,8 1,7 1,6 2,9 3 4 4,5 4,9 5,6 6,3 7,1 7,1 b) x y 2 10 2,4 7,6 3,3 5,4 4,2 3,7 5,7 2,5 7,9 2,1 c) x y 0 930 1 840 2 645 3 410 4 280 5 75 1) 1) 1) 2) 2) 2) 22

d) x y 0,7 9,8 1 8 1,4 6,2 2,3 3,4 3,3 1,9 6,1 0,9 9,1 1 e) x y 3,4 4,6 2,3 3,1 1 2,6 0,4 1,8 1 0,6 2,2 1,6 3,6 2,9 f) x y 0,2 9,6 0,4 7,2 0,7 2,7 1,8 0,8 3,7 0,6 5,9 0,4 8,8 0,2 1) 1) 1) 2) 2) 2) 23

2 Un élève de 3 e secondaire fait une expérience sur le débit d écoulement d un liquide. Cette expérience consiste à vider un même récipient plusieurs fois à l aide d un tuyau de diamètre de plus en plus gros et à mesurer le temps nécessaire pour que le récipient soit complètement vide. Voici les données recueillies par cet élève : Expérience sur le débit d écoulement d un liquide Numéro du tuyau 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Diamètre du tuyau (mm) 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Temps nécessaire (s) 22,01 13,39 9,9 7,94 6,82 5,81 5,07 4,41 4,03 a) Représente ces données par un nuage de points. b) Quel type de fonction constituerait un modèle adéquat pour cette situation? Explique ta réponse. c) Trace la courbe représentative de l ensemble des points. d) Détermine la règle de la fonction associée à cette courbe. Réponse : e) D après ce modèle : 1) en combien de temps ce récipient se vide-t-il si l on utilise un tuyau de 60 mm de diamètre? Réponse : 2) quel devrait être le diamètre du tuyau utilisé si l on désire vider le récipient en moins de 2 s? Réponse : 24

À l aide d un logiciel, on a tracé la droite la mieux ajustée à quelques nuages de points. Voici ces nuages de points : 3 a) Pour quel nuage de points le modèle utilisé te semble-t-il : 1) le plus fiable? 2) le moins fiable? b) Explique le raisonnement qui te permet de juger du degré de fiabilité du modèle utilisé. 25