Programmation linéaire Nazih Abderrazzak Gadhi
Forme standard d un programme linéaire La forme standard d un programme linéaire (P) est : Fondements de la programmation linéaire Nazih Abderrazzak Gadhi 2
Définition : On appelle solution réalisable de (P), tout point x=(x1, x2,, xn) qui vérifie toutes les contraintes de (P). Définition : On appelle ensemble réalisable de (P), l ensemble de toutes les solutions réalisables de (P). Définition : Une solution réalisable est dite optimale réalisable, si elle minimise ou maximise la fonction objectif. Fondements de la programmation linéaire Nazih Abderrazzak Gadhi 3
Proposition : Tout problème de la programmation linéaire peut se mettre sous la forme standard. Démonstration: 1. Contraintes de type : est appelé variable d écart. Fondements de la programmation linéaire Nazih Abderrazzak Gadhi 4
2. Contraintes de type : est appelé variable de surplus. Fondements de la programmation linéaire Nazih Abderrazzak Gadhi 5
3. Existence des variables libres : Méthôde 1 : Méthôde 2 : Fondements de la programmation linéaire Nazih Abderrazzak Gadhi 6
Remarque : Fondements de la programmation linéaire Nazih Abderrazzak Gadhi 7
Exemple : Fondements de la programmation linéaire Nazih Abderrazzak Gadhi 8
Méthôde 1 : Fondements de la programmation linéaire Nazih Abderrazzak Gadhi 9
Méthôde 2 : Fondements de la programmation linéaire Nazih Abderrazzak Gadhi 10
Ainsi, Fondements de la programmation linéaire Nazih Abderrazzak Gadhi 11
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Itération du!!!! Partant d'un sommet du polygone initial, c'est à dire d'une solution de base réalisable initiale, on cherche un sommet adjacent, c'est à dire d'une solution de base réalisable adjacente qui augmente la valeur de la fonction objectif. Si on veut obtenir une méthode de résolution générale (la méthode graphique n'est pas possible en grandes dimensions), il faut donc savoir comment passer d'une solution de base réalisable à une solution de base réalisable adjacente. Nazih Abderrazzak Gadhi 13
Après avoir trouvé un sommet de départ (c.à.d une solution de base réalisable de départ), chaque itération du, qui correspond à un changement de de sommet ( changement de base réalisable ), se déroule en trois étapes : 1. Choix de la variable entrante dans la nouvelle base. 2. Choix de la variable sortante de l'ancienne base. 3. Reformulation du problème en fonction de la nouvelle base. Nazih Abderrazzak Gadhi 14
Résolution algébrique d un (PL) simple On considère le problème : max z = 3x1 + 5x2 sujet à : 3x1 + 2x2 18 x1 4 2x2 12 x1, x2 0 Sa représentation graphique est : Nazih Abderrazzak Gadhi 15
Définition : On appelle sommets adjacents deux sommets que l on peut joindre par une arête. Exemple : Par exemple, (4,3) est adjacent à (2,6) mais (4,3) n est pas adjacent à (0,0). Remarque : Le principe de l algorithme du Simplexe est de déterminer une solution optimale en allant de sommet en sommet adjacent. Nazih Abderrazzak Gadhi 16
Pour pouvoir démarrer l algorithme du Simplexe, il faut ramener les contraintes d inégalité en des contraintes d égalité. Ainsi, notre problème sera sous la forme standard. Remarque : Maximiser z, revient à minimiser ( Z = -z ) puis multiplier par -1. Nous sommes en présence d un système de trois équations à cinq inconnues. Nazih Abderrazzak Gadhi 17
Premier programme de base : Programme initial Pour déterminer le programme initial, on pose habituellement à zéro les variables principales du modèle; ce qui correspond à x1 =0 et x2 = 0. Notre système de 3 équations à 5 inconnues devient alors un système de 3 équations à 3 inconnues que l on va pouvoir manipuler : x3 =18, x4 =4 et x5 = 12 Par conséquent, on obtient la solution de base réalisable (0,0,18,4,12) où Variables hors base : x1 =0 et x2 = 0 Variables de base : x3 =18, x4 =4 et x5 = 12 Pour cette solution de base : Z=0 Nazih Abderrazzak Gadhi 18
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La nouvelle solution de base est : Nazih Abderrazzak Gadhi 20
On exprime maintenant Z en fonction des nouvelles variables hors base : Nazih Abderrazzak Gadhi 21
La nouvelle solution de base est : Nazih Abderrazzak Gadhi 22
On exprime maintenant Z en fonction des nouvelles variables hors base : Finalement, du fait que z = - Z, on obtient zmax= 36. Nazih Abderrazzak Gadhi 23
Méthode du appliquée à L exemple On associe à chaque itération (opération) de l exemple un tableau: Nazih Abderrazzak Gadhi 24
Détermination de la variable d entrée : Nazih Abderrazzak Gadhi 25
On associe à chaque itération (opération) de l exemple un tableau: V.E Nazih Abderrazzak Gadhi 26
Détermination de la variable de sortie : Nazih Abderrazzak Gadhi 27
On associe à chaque itération (opération) de l exemple un tableau: V.E V.S. Nazih Abderrazzak Gadhi 28
Opérations algébriques Nazih Abderrazzak Gadhi 29
V.S. V.E. Nazih Abderrazzak Gadhi 30
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Soit le programme linéaire (P) suivant : Nazih Abderrazzak Gadhi 32
Etape 1 : Nazih Abderrazzak Gadhi 33
Etape 2 : Nazih Abderrazzak Gadhi 34
Etape 3 : Opérations élémentaires du pivot : Nazih Abderrazzak Gadhi 35
Problème ayant une infinité de solutions: C est le cas, si au niveau d un tableau optimal, une des variables hors base a un coût nul. Dans ce cas, si on la fait entrer dans la base, on va obtenir une autre solution de base optimale sans que la valeur de Z ne change. le segment formé par les deux solutions de base optimales contient toutes les solutions optimales du problème. Nazih Abderrazzak Gadhi 36
Exemple: max z = 3x1 + 2x2 sujet à : 3x1 + 2x2 120 x1 + x2 50 x1, x2 0 Nazih Abderrazzak Gadhi 37
T1 x 1 x 2 s 1 s 2 b i s 1 3 2 1 0 120 3 s 2 1 1 0 1 50 -z 3 2 0 0 0 T2 X 1 x 2 s 1 s 2 b i x 1 1 2/3 1/3 0 40 1/3 s 2 0 1/3-1/3 1 10 -z 0 0-1 0-120 Nazih Abderrazzak Gadhi 38
T3 x 1 x 2 s 1 s 2 b i x 1 1 0 1-2 20 x 2 0 1-1 3 30 -z 0 0-1 0-120 Le segment formé par les deux solutions de base optimales (40, 0, 0, 10) et (20, 30, 0, 0) contient toutes les solutions optimales du problème. Nazih Abderrazzak Gadhi 39
Multiplicateurs du Définition : Le vecteur des multiplicateurs du, associé à la base B, est le vecteur colonne tel que :
La base optimale B* est constituée des colonnes des variables de base finales, lues dans le tableau initial. L inverse de la base optimale B* est constituée des colonnes des variables de base initiales, lues dans le tableau final.
Exemple : Tableau initial du : Nazih Abderrazzak Gadhi 42
Tableau final du : Nazih Abderrazzak Gadhi 43
La base optimale B* est constituée des colonnes 1, 4 et 2 (variables de base finales, lues dans le tableau initial ) Nazih Abderrazzak Gadhi 44
L inverse de la base optimale B* est constituée des colonnes 3, 4 et 5 (variables de base initiales, lues dans le tableau final) Nazih Abderrazzak Gadhi 45
De plus, Nazih Abderrazzak Gadhi 46
Application Modification du terme b dans le problème original On modifie b de telle sorte que B* demeure réalisable optimale ( on ne touche pas aux coûts ). Par conséquent: On doit avoir : Peut-on déduire le nouveau Z optimal? Quelle interprétation économique peut-on faire? Nazih Abderrazzak Gadhi 47
Exemple : Nazih Abderrazzak Gadhi 48
On a : Par définition, on a : Nazih Abderrazzak Gadhi 49
Ainsi : Donc : B* demeure une base réalisable optimale. De plus, x1 diminue de 4/3, x4 augmente de 7/3 et x2 augmente de 1. Ainsi, Z* = (-3 * 2/3 )+ (0 * 13/3 )+ (-5 * 7 ) = -37. Nazih Abderrazzak Gadhi 50
On a aussi, Ainsi, Z* = -36 + Z* = -36 1 = -37. Nazih Abderrazzak Gadhi 51
Intérprétation économique : Nazih Abderrazzak Gadhi 52