Théorie quantique: postulats 1 & 2 Pablo Arrighi 04.04.05, Grenoble arrighi@imag.fr, Laboratoire Leibniz, IMAG, post-doc CNRS.
Le problème La solution
: Si on a ψ et φ deux états possibles, Alors α ψ + β φ est possible (avec α 2 + β 2 = 1). Analogie avec le parallèlisme. Chat de Shrödinger.
Postulat 1: Plan L état d un système physique clos est entièrement décrit par un vecteur de nombres complexes de norme un. Autrement dit c est un vecteur ψ C n vérifiant: ψ = ψ 1. ψ n et ψ ψ = ψ 1ψ 1 +... + ψ nψ n = 1. OK pour l informatique quantique de ne considérer que les nombres réels.
Postulat 2: Un système physique clos dans un état ψ, évolue, après une certaine période de temps, en un état φ selon l équation φ = U ψ où U est une matrice unitaire n n, i.e. U U = Id. Notons que les transformations unitaires préservent le produit scalaire et donc la norme. (Rotations complexes). Electronique réversible plus quelques portes telles...
Le clonage est... (α false + β true ) clone (α false + β true ) (α false + β true ) ( ) α 2 α clone αβ β αβ β 2
Le clonage est... (α false + β true ) clone (α false + β true ) (α false + β true ) ( ) α 2 α clone αβ β αβ β 2 interdit [Wootters et al. 82], car pas linéaire!! (e.g. cryptographie).
Mais la copie est... false copy false false true copy true true (α false + β true ) copy α false false + β true true ( ) α α copy 0 β 0 β autorisée, car parfaitement linéaire.
Universalité Plan Soit U est une matrice unitaire n n. V peut-être décomposée en produits de CNOT et de portes sur un qubit. Soit V une matrice unitaire 2 2. V peut-être décomposée avec une précision arbitraire en un produit de portes et T. (Nombre de porte logarithmique avec la précision voulue). Les portes, T et CNOT sont donc universelles dans ce sens approché.
Le problème La solution Nous est donné une boîte noire F : Bool Bool. On souhaite calculer le ou exclusif (dénoté ) de F( true ) et F( false ). Au bout de sa première utilisation la boîte noire s autodétruira! (ou disons juste que son utilisation est coûteuse en temps, argent... )... Clairement, c est mission impossible?
Le problème La solution F implémentée par une boîte quantique: a b U f a (F(a) b) où a et b sont des valeurs booléennes. donc U f unitaire.
Le problème La solution Uf false true
Le problème La solution Uf 1 2 ( false + true ) 1 2 ( false true ) = 1 ( false ( false true ) + true ( false true )) 2
Le problème La solution Uf 1 ( ( 1) F(false) false ( false true ) 2 ) + ( 1) F(true) true ( false true ) = 1 2 (( 1) F(false) false + ( 1) F(true) true ) 1 2 ( false true ) = ± 1 2 ( false + ( 1) F(false) F(true) true )...
Le problème La solution Uf ±(F(false) F(true))...
Des algorithmes plus utiles: Shor, Grover. Une théorie centenaire et vérifiée expérimentalement. Diverses pistes de réalisations physiques: ions, photons, quantum dots...
Les critères de DiVicenzo en concurrence: isolation du sytème, possibilité de le préparer dans un état initial, de le faire évoluer arbitrairement, de le mesurer. Plus le système est grand, plus c est difficile. Mais passé un seuil les codes de correction quantique d erreur prennent le relais. Deutsch-Josza a été implémenté, on a factorisé 15, des systèmes de cryptographie quantique sont commercialisés (cf. prochain cours).